區間二型T-S模糊研究綜述

王文慶，孫麗花

(西安郵電大學 自動化學院，陜西 西安 710121)

Zedeh在1965年提出了一型模糊集，也稱為傳統模糊集[1]，其在高度不確定的情況下無法獲得較好的效果。為了提高系統處理不確定性的能力，Zedeh 在1975年提出了二型模糊集的概念[2]。二型模糊集的隸屬度不是確定值，而是表現為一型模糊集。二型模糊集在提出之時，由于計算代價太大并未得到太多的重視，直到Mendel等[3]提出二型模糊集的簡化計算，二型模糊集及系統才得到了學者們的關注。近些年來，二型模糊集及系統理論逐漸成為學術界的熱點問題，已廣泛應用于理論研究和控制領域的實際應用中。特別是在工業系統控制中，該理論對于復雜系統的處理具有很大優勢。T-S模糊模型具有逼近任意光滑非線性函數的良好能力，并且具有局部線性化的性質，而二型模糊集可以提高處理不確定性的能力。將二型模糊集和T-S模糊兩者結合成二型T-S模糊系統，可以提高處理不確定和非線性的能力。

該研究主要從兩個方面對區間二型T-S模糊控制進行介紹，首先對區間二型模糊集進行概述，再介紹區間二型T-S模糊控制，對區間二型T-S模糊控制研究狀況進行論述。最后，給出關于區間二型T-S模糊控制的總結和展望。

1 區間二型模糊集

1.1 基本概念及應用

一般二型模糊集是三維空間的集合，以論域元素、主隸屬度和次隸屬度為三維坐標軸，而區間二型模糊集是在一般二型模糊集的基礎上，將次隸屬度恒定為1，因此區間二型模糊集是普通二型模糊集的特殊版本。區間二型模糊集與一般二型模糊集相比計算簡單，并且保留了二型模糊集處理不確定性的能力，因此區間二型模糊集在實際應用中更多。區間二型模糊集中比較重要的概念包括上隸屬度函數、下隸屬度函數、不確定覆蓋域和嵌入一型模糊集[4]。

區間二型模糊集的表示定理指出，不確定覆蓋域是所有嵌入一型模糊集的并集。定理指明所有關于二型模糊集合模糊系統的運算，例如區間二型模糊系統推理計算和降型、兩個區間二型模糊集之間的相似度等，這些都需要考慮嵌入一型模糊集，而王飛躍等[5]采用集合形式描述了二型模糊集的特征并簡化了其表述。根據二型模糊集的新定義，將二型模糊集分為離散型、半連通型、連通性及復合型，并列出了不同類型二型模糊集的表達方法。

構造模糊集是模糊理論的重要研究之一，目前專門研究區間二型模糊集構造的方法尚未完善，缺乏指導準則。常用的方法包括利用專家經驗和知識法、利用區間二型模糊C均值聚類法、區間法以及加強區間法等，其中區間法、加強區間法適用于區間型數據。劉帥[6]針對構造區間二型模糊集方法存在的問題，提出了一種具有適用于常見的點集和加權點集，不受模糊因子影響，以及能夠結合數據自身特征和專家經驗優點的區間二型模糊集構造方法。這種方法基于平衡粒原則，先利用目標數據集通過優化的方法構造一型模糊集，再將一型模糊集擴展成區間二型模糊集。

隨著越來越多的構造方案的提出，區間二型模糊集的應用也越來越廣泛。邵東國等[7]提出基于貝葉斯模式平均與區間二型模糊集的分區灌溉方法，基于區間二型模糊集理論對各地下水埋深區域的灌溉制度進行綜合評價，將區間二型模糊集應用在灌溉上。文獻[8]利用區間二型模糊C均值聚類算法，解決遙感影像的復雜模糊性對影像變化檢測結果的干擾問題，提出改進的區間二型模糊聚類的方法。利用區間二型模糊集可以進行語義分析，構建評價模型[9]，也可以用區間二型模糊集表示一個概率語言術語集，在綠色供應商選擇中進行運用[10]。區間二型模糊集還可以應用在風險決策[11]、投資組合[12]和生物模型[13]等各個方面中。

1.2 區間二型模糊系統

使用至少一個區間二型模糊集的模糊邏輯系統便可稱為區間二型模糊系統，其結構示意圖如圖1所示。

圖1 區間二型模糊系統結構示意圖

區間二型模糊系統和一型模糊邏輯系統結構相似，唯一的區別在于區間二型模糊系統有一個降階器，對經過模糊推理后的區間二型模糊集轉換成一型模糊集，最后進行解模糊。也有學者把降階器和解模糊放在一起，直接將推理機輸出的區間二型模糊集映射為一個明確的輸出。

二型模糊系統比傳統模糊系統更復雜，主要表現在二型模糊系統需要進行降型，最早的降型算法是由Karnik等[14]提出的KM(Karnik-Mendel)迭代降型算法。但是KM降型算法的迭代運算量較大，系統運算負擔較重。Mendel針對對稱區間二型模糊集,提出的新的質心計算方式，減少了一半的計算量。隨后，越來越多的降型算法被提出。Wu和Mendel提出的WM降型算法可以減輕區間二型模糊控制器的負擔[15]，張超龍等[16]提出區間二型模糊比例積分(Proportional Integral，PI)控制器解析結構的方法。陳陽等[17]在廣義二型模糊集的α平面表達理論，提出一類二分搜索KM算法完成了廣義二型模糊邏輯系統質心降型。而后又通過數值分析技術中牛頓-科特斯求積公式將KM算法擴展成3種不同形式的加權KM算法，提出了基于加權KM算法的區間二型模糊集質心計算的方法。劉顯亮等[18]提出了新的算法計算區間二型模糊集的質心，二進制算法和擴展二進制算法的有效性通過大量實驗也被證實。

區間二型模糊系統的應用最廣泛的領域莫過于控制領域了，工業系統控制中處理復雜系統區間二型模糊系統具有很大的優勢。工業生產中，區間二型模糊系統可以應用在甲烷氧化過程中[19]、水位的控制[20-21]和青霉素發酵[22]等方面。區間二型模糊系統還可以應用在機器人控制中，將區間二型模糊系統和滑模控制器組合，設計一種區間二型模糊滑模控制系統[23-26],也可以設計一種區間二型模糊PID(Proportional Integral Derivative，比例積分微分)控制器[27-28]，應用在二型精餾塔的控制中。Ahmad 等[29]用低成本單片機實現區間二型模糊PID控制系統。Ashraf等[30]提出一種新型的區間二型模糊供應上管理庫存系統，將區間二型模糊集表示需求和訂單數量，并利用粒子群優化的方法解決模型方案。文獻[31-32]將區間二型模糊系統應用在現場可編程邏輯門陣列(Field Programmable Gate Array，FPGA)，與硬件設備結合，增加了區間二型模糊系統的實用性。此外，區間二型模糊系統也廣泛應用在圖像處理、模式識別等領域中。

2 區間二型T-S模糊系統

T-S模糊模型規則后件是線性表達式，可以用來表示線性子系統，一系列的局部線性子系統結合模糊隸屬度函數可以表示為非線性系統全局的輸入輸出關系，因此可以說T-S模型是非線性系統的局部線性化的描述方法，被廣泛用于非線性系統的建模與控制。

2.1 基本規則與全局模型

區間二型模糊系統具有處理不確定性的能力，而T-S模糊模型具有局部線性化的能力，將兩者結合生成區間二型T-S模糊系統，相比于一型T-S模糊系統，增加了處理不確定性的能力。 二型T-S模糊模型不僅保留了一型T-S模糊模型的優點，而且還增加了處理不確定性的能力。區間二型T-S模糊模型用IF-THEN規則可描述為

Rulei:IFg1(x(t)) isH1i，andg2(x(t)) isH2i，… andgk(x(t)) isHki.

THEN

式中：Hki是前件變量gk(x(t))(k=1,2,3,…,n)在第i(i=1,2,…,n)條模糊規則下的模糊集；x(t)、u(t)、Z(t)和ω(t)分別為系統狀態向量、控制輸入向量、輸出向量和干擾向量，且ω(t)∈L2[0,∞]；Ai、Bi、Ci、Di和Fi是適當維數的常數矩陣；ΔAi和ΔBi為具有不確定性的參數矩陣，且[ΔAi,ΔBi]=GiF(t)[EAi,EBi]，其中Gi、EAi和EBi為已知矩陣，F(t)為未知矩陣，且滿足FT(t)F(t)≤I，I為單位矩陣。

第i個模糊規則的激活強度為

其中，

表示gk(x(t))的上下隸屬函數，并且

即gk(x(t))的上隸屬度函數在下隸屬度函數的上方。

區間二型T-S模糊系統全局模型描述為

其中，

圖2 上、下隸屬度函數

區間二型T-S模糊模型不但可以用來表示參數不確定性的非線性系統，也是設計區間二型模糊控制器的工具。可以把無數個具有確定隸屬函數的一型T-S模糊模型的集合看成是區間二型T-S模糊模型，因此區間二型T-S模糊模型處理不確定的能力比一型T-S模糊模型處理能力更強。

2.2 研究進展

目前，關于區間二型T-S模糊系統的相關問題的研究主要有穩定性分析、控制器設計和工程應用等3個方面。

2.2.1 穩定性分析

穩定性是系統的基本結構特性，也是系統能夠正常工作的前提，因此研究系統的穩定性至關重要。模糊李雅普諾夫函數可以降低穩定性分析的保守性，推導基于區間二型T-S模糊模型控制系統的穩定性條件[33]。工農業生產、生活等各個領域，大量存在時變控制系統，因此時滯現象不可避免。時滯的存在可能會增加系統的不確定性，這種不確定性又可能會引起整個系統的不穩定或者產生震蕩，因此時滯使得系統分析更加復雜，對于系統時滯性的研究具有重要的實際理論和應用價值。文獻[34-37]對時滯的系統進行了研究，對于系統中存在的網絡時滯，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，設計閉環系統漸近穩定的狀態反饋控制器，解決區間二型T-S模糊模型網絡化系統含有時變時滯的鎮定問題。通過建立具有上下級隸屬度綜合信息的多增益控制器，提高了穩定性條件的可解性，進而研究二型T-S模糊系統的魯棒穩定性問題[38]。對于可靠樣數據控制系統的穩定性問題，不同于之前的研究，文獻[39]考慮到整個采樣區間的信息與增廣狀態向量的關系，設計區間二型T-S模糊系統的可靠采樣數據控制。通過對離散區間二型模糊控制系統穩定條件的研究，可以將區間二型T-S模糊模型用于表示受不確定性影響的非線性系統[40]。文獻[41-42]研究了離散二型T-S模糊系統的穩定性分析，但獲得結果依賴于特殊類型的隸屬函數，文獻[43]在文獻[41-42]的基礎上研究了連續二型T-S模糊控制系統的穩定性分析。

2.2.2 控制器設計

研究區間二型T-S模糊模型的控制問題至關重要，提出合適的控制方案才能設計更好的控制器，實際應用也會更簡便。基于區間二型T-S模糊模型，針對有限帶寬、多擾動的非線性網絡系統，Yazmin等[44]提出一種事件觸發的擾動和抑制的控制方案，通過減少控制器更新的頻率，節省了網絡資源。文獻[45]和文獻[46]都研究有限時間控制，而文獻[45]研究了具有范數有界不確定性和時變時滯的區間二型T-S模糊系統的有限時間控制，利用隸屬函數依賴的分析方法，將上下隸屬函數的信息集成到穩定條件中，減少了保守性。文獻[46]研究了不連續互聯系統的有限時間分散控制問題，利用區間二型T-S模糊模型，提出一個統一的二型T-S模糊互聯系統，利用有限時間鎮定理論和廣義Lyapunov泛函方法進行分散控制。針對一類具有非線性輸入輸出關系的非線性系統，基于二型模糊系統理論，王占山等[47]提出區間二型和T-S型模糊控制器相結合的模糊控制方法。陳洪軍等[48]研究了系統參數不確定的區間二型T-S模型網絡系統在拒絕服務(Denial of Service，DOS)攻擊下的安全控制問題。對于模糊脈沖控制的問題，文獻[49]提出了區間二型T-S 模糊脈沖控制方法。自適應逆控制是一種非線性系統控制方法，現已被廣泛研究。高娟娟等[50]提出了一種基于區間二型T-S模糊系統的自適應逆控制方法，可以實現對復雜非線性系統的有效建模與控制。李一民等[51]提出區間二型T-S間接自適應模糊控制，系統的規則前件是區間二型模糊集合，后件為精確數，這種控制方法減少了規則不確定對于系統的影響，提高了系統的精度，同時也減少了系統的規則數。

狀態反饋控制在實際中的應用通常不可測量或者測量代價太高，因此研究輸出反饋控制在實際應用中具有重要的意義。針對外部動態，采用區間二型T-S模糊模型逼近具有多個時變時滯和外部擾動的不確定系統，進而研究區間二型T-S模糊多時變時滯系統的魯棒H∞動態輸出反饋控制[52]。而對于靜態輸出反饋控制系統，利用普通二次李雅普諾夫函數，可以得到隸屬函數形狀獨立鎮定的條件，以及區間二型模糊系統的靜態輸出反饋控制[53]。針對具有范數有界不確定性和時變時滯，設計一種靜態輸出反饋控制器可以用來控制系統的有限時間穩定性[54]。

預測控制是一類利用計算機實現的先進的控制算法，具有處理約束優化控制問題的能力，在工業界和學術界也有了廣泛的關注。針對圓羅賓協議下研究一類區間二型T-S模糊系統的模糊模型預測控制問題，將圓羅賓協議和二型T-S模糊系統建立統一的表示，生成一個新的網格化二型T-S模糊系統[55]。對于非線性系統的預測控制問題，可以采用區間二型T-S模糊模型描述非線性系統，設計一種模糊預測控制器，也可以利用一種基于二型T-S模糊及粒子群優化的預測控制算法，利用混沌粒子群優化算法，避免非線性預測控制中復雜的各種計算，也能快速搜索最優解[56]。

輸出反饋預測控制的研究，大都是利用區間二型T-S模糊模型在非線性網絡控制系統中，采用馬爾可夫鏈描述系統中的隨機丟包，建立數學模型。文獻[57]研究了區間二型T-S模糊模型描述的非線性網絡控制系統動態輸出反饋模型預測控制，不同的是該文獻采用伯努利二進制分布，描述非線性網絡系統中的丟包過程。對于區間二型T-S模糊系統的輸出反饋模型預測控制進行研究，可以設計離線的狀態觀測器，估計真實狀態和預測未來，估計誤差集的界限和優化控制器的增益。不同的是文獻[58]在馬爾可夫丟包的描述系統中，而文獻[59]研究了具有有界擾動的區間二型T-S 模糊系統的輸出反饋模型預測控制。針對存在有界擾動和數據丟失的問題，利用區間二型T-S模糊模型建立非線性網絡控制系統模型,提出了一種基于狀態觀測器和自適應觸發方案的模型預測控制[60]。對于誤差處理，利用區間二型T-S模糊模型對參數不確定的非線性對象進行描述，構建在線更新誤差橢圓集合的基本方法[61]。而考慮具有量化誤差和馬爾可夫數據丟失的區間二型T-S模糊系統的模型預測控制，利用馬爾可夫跳躍模型處理數據丟失，扇區邊界方法處理量化誤差[62]。

基于區間二型T-S模糊模型設計模糊控制器，常用于非線性系統中。針對于區間二型T-S模糊系統處理的參數不確定的非線性系統，提出一種根據系統狀態的值，進行切換的區間二型區域切換模糊控制器[63]，考慮了上下級隸屬函數的信息，減少了穩定性中的保守性。在區間二型T-S模糊模型表示的參數不確定性的非線性時滯系統，在統一框架下設計了系統的濾波器問題[64]。對于系統的有限時間自適應時間觸發耗散濾波問題，區間二型時滯T-S模糊網絡馬爾可夫跳變系統，在設計過程中考慮了模糊濾波器的因素，建立一種自適應時間觸發機制[65]。在多性能指標框架下，文獻[66]研究了區間二型T-S模糊時變時滯系統的濾波器設計，提出前提隸屬函數不匹配的區間二型模糊濾波器，通過矩陣解耦將濾波存在條件表示為線性矩陣不等式。文獻[67-68]都對于故障檢測濾波設計進行了研究，文獻[67]對基于區間二型T-S模糊模型的非線性系統，提出了一種新的隸屬函數相關的有限頻率故障檢測濾波設計方法。文獻[68]研究有限頻率下離散時間區間二型T-S模糊系統的故障檢測濾波設計，利用離散時間傅里葉變換，對有限頻率進行分析，建立了離散區間二型T-S模糊系統的濾波器。

2.2.3 工程應用

模糊系統最早被用于鍋爐和蒸汽機的控制中，隨著科技的發展，T-S模糊控制是基于模型的模糊控制的重要方法，也是非線性系統中常用的工具。模糊系統作為通用逼近器也已經成功運用在模糊控制中，文獻[69]分析了模糊系統作為通用逼近器性能及影響因素，討論改進其結構參數的新方法，并分析了模糊系統研究的熱點問題及研究發展方向。目前，已有較多關于一型T-S模糊系統的研究成果，但關于二型T-S模糊模型的應用還不是很多，還需要進一步研究。文獻[70]提出一種基于量子蜂群聚類的T-S建模方法，并在智能發電運行控制系統中應用。將優化算法和T-S模糊結合的還有文獻[71]，粒子群優化和支持向量機與區間二型T-S模糊系統進行結合，設計了一種分類系統用于性別識別，利用模糊迭代自組織數據分析技術和粒子群優化學習模糊系統前件參數，后件參數通過支持向量機進行學習。利用模糊模型設計分類系統的還有，將神經網絡和加權模糊隸屬度和T-S模糊模型結合，對健康人和帕金森病(Parkinson’s Disease，PD)患者進行分類[72]。

模糊控制也被廣泛應用到永磁同步發電機的研究中。對于永磁同步發電機中的非線性系統，多數研究采用模糊模型進行處理，文獻[73]將區間二型T-S模糊系統應用到永磁同步發電機的電流控制中，采用二型T-S模糊系統處理永磁同步發電機系統中的非線性問題。文獻[74]采用自適應T-S模糊模型對永磁同步發電機的非線性系統進行表征，在水動力渦輪系統中進行運行。文獻[75]也采用T-S模糊理論將非線性模型轉換為線性子模型，設計了模糊記憶采樣數據控制器，研究非線性永磁同步發電機風力機系統的鎮定分析。

在工業上，除了文獻[76]研究了二型T-S模糊系統在球磨機料位預測中的應用，即用二型模糊邏輯對球磨機料位進行表示，建立了基于區間二型T-S模糊系統的球磨機料位預測模型。利用模糊C均值算法提取前件參數，通過反向傳播算法對前件參數進行調整，最小二乘法對后件參數進行辨識。還有文獻[77]采用T-S模糊模型，設計一種跳汰機排料系統，解決實際工業系統中的時滯性、非線性等問題。

3 總結與展望

區間二型T-S模糊模型，既有二型模糊集處理不確定性的良好能力，又具有T-S模糊模型萬能逼近的性質和局部線性化良好性質。因此，相比于一型T-S模糊模型不能處理高度不確定的系統，研究二型T-S模糊模型，不僅在理論研究上而且在實際應用中，都具有更重要的價值和意義。通常利用區間二型T-S模糊模型對受參數不確定性影響的非線性系統進行建模，對于時變時滯的系統，基于區間二型模糊系統的也有一些研究。通過概述區間二型模糊集合、區間二型模糊系統、區間二型T-S模糊模型和區間二型T-S模糊系統的控制，可以看到目前關于區間二型模糊集的研究已經有不少成果，但是對于區間二型T-S模糊的研究還需要進一步研究。

雖然區間二型T-S模糊模型要比一型T-S模糊模型處理不確定性能力強，但區間二型模糊模型也要更加復雜，模型簡化是降低高階復雜系統的階來實現。有文獻對離散時間區間二型模糊系統進行降價，而對于區間二型T-S模糊模型的簡化問題的研究仍然處于空白。因此研究區間二型T-S模糊模型的簡化問題有待進一步研究。

目前，基于一型T-S模糊模型的研究已經取得了較多的成果，但基于二型T-S模糊模型的研究仍存在大量的研究課題。有文獻已經對二型T-S模糊模型的穩定性、魯棒性進行研究，也有不少文獻研究模型預測控制問題和控制器設計，但仍然需要擴展區間二型T-S模糊模型的應用方向，因此將區間二型T-S模糊系統與實際工程結合也是待解決的問題。

隨著神經網絡、進化計算等方法的研究深入，將深度學習、強化學習和卷積網絡等機器學習算法應用于二型T-S模糊系統，訓練其后件參數是一個非常有價值的研究方向。神經網絡權值學習的很多方法可以移植到二型T-S模糊推理系統的參數訓練上。而進化計算的全局優化算法，如遺傳算法、蟻群算法和粒子群算法等，則可用于二型T-S模糊系統的結構優化與參數尋優。進一步將人工智能(Artificial Intelligence，AI)工具與二型T-S模糊系統深度融合，構建多層次、智能化的模糊神經大數據挖掘系統也是非常值得期待的研究方向。

模糊系統從其誕生之初就致力于處理人類系統中的不確定性問題，區間二型T-S模糊系統的研究也離不開這一方向。在詞計算、語義挖掘等方面，一型模糊系統已有研究基礎，而二型模糊系統的研究還方興未艾。充分利用區間二型T-S模糊系統在處理高不確定性問題上的優良特性，研究其在詞計算規則，自動從數據中歸納總結模糊語義的模式和結論，以期助力于機器和人類的交流理解，也是二型模糊系統未來重要的研究方向。