含液膜的全金屬單螺桿泵柔性支承-轉子系統的非線性響應分析

李大奇 毛志宏 宋玉杰 魏玉芬

（東北石油大學機械科學與工程學院）

單螺桿泵轉子的動力學性能對泵的運行工況和結構性能具有很大的影響。 全金屬單螺桿泵擁有定轉子間隙配合、轉子偏心運動及耐高溫運行等特點［1］，對于稠油井和含氣含砂井舉升具有顯著優勢［2］。隨著轉速的增大，容易出現振動大的問題，會影響桿柱或者地下設備的安全。 想要找到合理的運行參數，使泵平穩運行，就需要研究轉子的動力學性能。 孫健利用理論分析和數值模擬的方法， 分析了單頭單螺桿泵的力學特性，得出應力極限值處于單轉子接觸帶的連接處［3］。 吳志堅和吳筱堅通過Timoshenko梁-軸模型，研究了單螺桿泵抽油桿的動力學特性，求得桿柱運動方程的解析解［4］。姜東利用有限元仿真法，研究了全金屬螺桿泵最高泵效下定轉子之間的配合間隙，得到轉速能較大程度地影響全金屬螺桿泵最優工作區間的結論［5］。

筆者通過研究金屬單螺桿泵轉子的運動過程，不考慮桿件的陀螺效應，將一導程的螺桿泵轉子等效到跨中單盤處［6］，建立一個考慮液膜的兩端柔性支承-偏心轉子系統的動力學模型，并采用變步長四階Runge-Kutta法進行數值計算，研究了轉速比和定轉子配合間隙對偏心轉子系統動態響應特性的影響規律。

1 轉子系統的動力學模型

1.1 柔性支承-轉子動力學模型

考慮到金屬螺桿泵舉升過程中定轉子配合間隙，同時轉子繞轉心進行偏心轉動，繞定子圓心進行公轉運動，建立的一個考慮液膜的兩端柔性支承-偏心轉子系統的動力學模型（圖1）。 設一個質量為m的剛性圓盤位于不考慮質量的彈性軸的跨中，轉軸集中于兩端的等效質量為mb，轉軸的剛度系數為k，阻尼系數為c。 為了便于分析，假設兩端支承一樣，將兩端的柔性支承簡化為一個包含線性彈簧和阻尼的系統，其中剛度和阻尼系數分別為kx、ky、cx和cy。 O、O2和Oc分別是定子圓心、轉子轉心和轉子圓心，且轉子的自轉角速度與公轉角速度的大小均為ωr， 轉動方向如圖1所示。 轉子轉心與圓心的距離為偏心距e，與公轉半徑相同。

圖1 柔性支承的單盤偏心轉子系統示意圖

1.2 液膜力模型

取JDGLB160-18型金屬螺桿泵進行分析，單導程長度160 mm，偏心距e=5.5 mm，轉子直徑2r=50 mm，定轉子配合間隙為0.18 mm［7］。 設轉子所處位置如圖2所示。

圖2 液膜示意圖

根據Reynolds方程得：

以x=rθ為周向坐標，r為轉子半徑，液膜膜厚方向y為徑向坐標，z為軸向坐標，U為轉子表面與定子內壁x方向的相對滑移速度，V為y方向的相對滑移速度。 因螺桿泵轉子除以角速度ωr繞轉心O2轉動外，還需考慮其轉子圓心的水平和垂直移動速度Vcx、Vcy，則：

故代入（1）式得：

1.3 系統的運動微分方程

忽略重力影響， 以定子圓心O建立直角坐標系xOy，設轉子圓心Oc位移為（xc，yc），轉子轉心O2位移為（x，y），柔性支承Ob的位移為（xb，xb），公轉軌跡點O1（x1，y2）。 如圖3所示，各點初始位置分別為Oc′、O2′、O1′、Ob′。

圖3 單截面轉子運動示意圖

因考慮了兩端柔性支承的影響，故能量函數中支承的kx、ky、cx、cy等參數的取值分別是單個支承參數的兩倍［9］。

利用Lagrange動力學模型， 將系統的勢能函數、動能函數、阻尼耗散函數及相應的廣義力代入Lagrange方程［10］，即：

引入Lagrange函數L=T-V， 其中，T為系統的動能函數；V為其勢能函數；Φ為與其阻尼有關的耗散函數；Qj為作用在系統上的廣義力；qj為其獨立廣義坐標；n為其總自由度數。

得到運動微分方程為：

2 數值仿真與結果分析

全金屬螺桿泵轉子系統因受非線性液膜力、定轉子配合間隙和轉子高轉速的影響，在運動過程中具有較復雜的動態響應行為。 綜合考慮多種參數對轉子系統的影響，采用變步長四階Runge-Kutta法進行數值積分計算，轉動角為ωrt，程序運行1 000個周期，舍棄前900個周期，取最后100個的穩定計算結果。 繪制出轉子系統的分岔圖、軌跡圖、相圖、瀑布圖和Poincaré截面圖，得到相關參數與轉子系統響應的關系。

2.1 轉子轉速與系統動態響應的關系

取液膜動力粘度η=0.018 Pa·s， 定轉子配合間隙C=0.18 mm， 將轉子轉速ωr作為系統動力學模型的變量，研究轉速與轉子系統響應關系。 系統的位移分岔圖如圖4所示， 因轉子在運動過程中一直受到液膜力的影響，故其運動狀態一直處于混沌與倍周期運動之間轉換。

圖4 轉子系統的位移分岔圖

當ωr較小時，隨著ωr取值的增大，系統由倍周期運動逐漸進入混沌狀態，轉心軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖如圖5、6所示；當ωr繼續增大，在轉速達到62.6 rad/s（即597.79 r/min）時，系統由混沌的運動狀態演變為較為穩定的多周期運動，轉心軌跡圖、相圖與Poincaré截面圖如圖7所示；轉速ωr繼續增加， 系統繼續由倍周期運動進入混沌狀態， 并在ωr取值為125.6 rad/s （即1 199.39 r/min）時， 進入多周期運動， 轉心軌跡圖、 相圖與Poincaré截面圖如圖8所示。

圖5 ωr=1 rad/s時系統的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

圖6 ωr=20 rad/s時系統的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

圖7 ωr=62.6 rad/s時系統的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

圖8 ωr=125.6 rad/s時系統的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

2.2 定轉子配合間隙變化對系統響應的影響

取液膜粘度η=0.018 Pa·s，轉子轉速ωr=62.6 rad/s，以螺桿泵定轉子配合間隙作為系統仿真的變量，研究間隙對系統動力學特性的影響規律。 考慮到間隙值對金屬螺桿泵泄漏量的影響，取定轉子配合間隙C≤0.001 m［11，12］。 得到轉子振動幅值的瀑布圖，如圖9a所示，對于不同的間隙，系統振動的頻譜出現相似的幅值分量。 從圖9b中可以得到，隨著間隙的增大，系統的最大幅值分量也隨之增大，且間隙越大趨勢越明顯。 而從圖9c中可以看出，系統振動頻率的變化隨著間隙的變化未出現明顯改變。

圖9 定轉子配合間隙與系統響應圖

2.3 轉速和定轉子配合間隙對系統響應的耦合作用

取液膜粘度η=0.018 Pa·s，將轉子轉速ωr和定轉子配合間隙C作為系統的變量進行分析，研究兩者共同作用下的系統響應規律。 根據金屬單螺桿泵的結構和工作特點， 設配合間隙值的取值范圍為0.1～1.0 mm，轉速的取值范圍為10～120 rad/s，得到配合間隙、轉速和最大幅值之間的關系如圖10a所示。 從圖10b中可以得到，當配合間隙較小且處于0.1～0.4 mm時， 間隙值的改變對最大幅值的變化趨勢影響很小，而隨著轉速的增大，最大幅值呈現遞減趨勢；由圖10b、c可得，當配合間隙值較大且處于0.5～1.0 mm時，隨轉速的增加，最大幅值呈現為先增大后減小的趨勢，但在不同的配合間隙下，轉速改變導致的最大幅值相對變動區間基本相同，而在該條件下，配合間隙的改變能較大地影響各轉速下系統的最大幅值，使其隨配合間隙的增大而明顯增大。

圖10 定轉子配合間隙、轉速與系統最大幅值的關系圖

3 結論

3.1 在其他系統參數保持不變的情況下，隨著轉子轉速的增大， 系統的響應情況表現為倍周期-混沌交替的運動規律。轉速在0.0～32.1 rad/s時，由多周期運動向混沌轉變，轉速位于32.1～62.6 rad/s時，系統慢慢歸于多周期運動，并在這一過程中有一較為穩定的運行轉速ωr=62.6 rad/s。 當轉速繼續增大，又出現轉換現象，并在ωr=125.6 rad/s時出現較為穩定的運行狀態。

3.2 在系統其他參數保持不變的條件下，改變定轉子之間的配合間隙，可以得出，隨著配合間隙的增大，系統的振動特性呈現為，其最大振動幅值逐漸增大，且配合間隙值越大，其增加的趨勢越大，但對系統的振動頻率影響不大。

3.3 在改變系統中定轉子配合間隙和轉子轉速的情況下，可以得到，當間隙值小于0.5 mm時，轉速較大地影響著系統的最大振幅，隨著轉速的增加系統最大幅值減?。?當間隙值大于0.5 mm時，間隙較大地影響著系統的最大振幅，且隨轉速的增加，系統最大幅值呈現先增后減的趨勢。