拉索-慣質阻尼器體系減振分析 *

劉 菁,梁 棟,2

(1. 河北工業大學 土木與交通學院，天津 300401； 2. 河北工業大學 河北省土木工程技術研究中心，天津 300401)

0 引 言

拉索作為斜拉橋重要的受力構件，具有柔度大、單位長度質量輕且固有阻尼小(通常約為臨界阻尼的1%)[1]的特點，但也容易出現渦激共振、參數共振[2]、尾流馳振、抖振和風雨激振等振動問題[3]。為抑制拉索振動，大跨度斜拉橋會采取各種拉索減振措施，其中附加外置機械阻尼措施可以直接增加拉索的模態阻尼比，是拉索減振措施中最為常用的方法[4]。但附加外置機械阻尼僅能使拉索某一階振動模態獲得最優模態阻尼比，且安裝位置一般不超過索長5%，極大限制了黏滯阻尼器的減振效果[5]。

在研究主動、半主動阻尼器的過程中，人們發現負剛度可使阻尼器以更大位移運動，消耗更多能量并實現更大的阻尼比[6-7]。隨著力學放大機制(如滾珠絲杠、齒輪齒條、杠桿擺，以及利用流體慣性的慣性泵等)的應用，動力質量可以提供較大的表觀質量，相應的慣性力所體現的負剛度效應也逐漸用于結構振動控制。

在拉索減振方面，I.F.LAZAR等[8]將調諧質量阻尼器中的質量部分替換成慣質器，得到了調諧慣質阻尼器(TID)，針對拉索第一階振動的減振分析表明，當安裝高度相同時，TID可使拉索獲得比傳統黏滯阻尼器更高的模態阻尼比;L.SUN等[9]將被動負剛度裝置應用于拉索附加阻尼器系統，以克服由于阻尼器安裝位置限制而引起的附加阻尼不足問題，并討論了由于負剛度引起的控制力非線性對系統分析的影響；J.LUO等[10]利用有限元方法，研究了3種慣質器應用于張緊弦的臨界阻尼比，認為將慣質器應用于拉索減振可獲得較好的減振效果；X.SHI等[11]提出了由提供負剛度的彈簧和油阻尼器合成的負剛度阻尼器，數值分析和試驗驗證了該阻尼器對拉索第一階振型的減振性能遠優于傳統黏性阻尼器；L.LU等[12]采用數值方法分析了黏滯慣性質量阻尼器對拉索的減振效果，拉索第一階振動的最大阻尼比達到了傳統黏滯阻尼器的9倍，當安裝位置降低至距索梁交點處的2%索長時，依然表現出了良好的減振效果；莫凱程[13]對利用滾珠絲杠慣性質量阻尼器抑制拉索振動進行了數值仿真和試驗驗證，研究認為，最優參數不同的慣性質量阻尼器，可以大幅提高斜拉索指定階次的模態阻尼比；崔智鑫[14]用數值方法，討論了3種構型的調諧慣質類阻尼器對拉索第一階振動的減振性能，指出并聯裝置優于串聯。

目前，利用慣性質量對拉索進行減振的研究還處于起步階段，大多只開展了理論研究，至于如何在實際拉索減振中實現慣質減振，還需要開展更加多樣化的慣質系統研究。為方便實現慣質，筆者設計了包括齒輪齒條、慣質元件和黏滯阻尼元件在內的實索用慣質阻尼器。齒輪齒條作為放大機構能夠承受較大的振動荷載，且制作方便，易于實際工程應用。

1 齒輪齒條和黏滯阻尼組合的拉索慣質阻尼器

筆者采用的慣質阻尼器，其使用齒條和齒輪能通過一定齒比組合成為一種力放大的機械結構，將物理質量較小的旋轉飛輪等效為一個虛擬的、具有較大慣性質量的質量塊。其質量比調諧質量阻尼器(TMD)小得多，安裝也相對方便，機械結構如圖1。筆者設計的慣質阻尼器由慣質元件和黏性阻尼元件兩部分組成，該阻尼器對加工精度要求不高，且能承受較大的拉索振動荷載。

在運動方式上，拉索與齒條間使用球鉸連接，使拉索的面內、面外振動均能轉化為齒條的上下振動。拉索振動使齒條進行直線往復運動，齒輪將齒條的直線往復運動轉化為慣質圓盤旋轉運動，同時帶動黏滯阻尼元件葉片在阻尼液中做旋轉運動，實現慣質元件和黏滯阻尼元件減振。

圖1 拉索-慣質阻尼器裝配示意Fig. 1 Assembly diagram of cable-inertial damper

2 慣質阻尼器的單體計算模型

慣質阻尼器的計算模型如圖2，由慣質元件和黏滯阻尼元件兩部分組成。慣質元件和黏性阻尼元件有同樣的振幅、速度和加速度，二者在計算模型上屬于并聯關系。

圖2 慣質阻尼器單體計算模型Fig. 2 Calculation model of inertia damper

忽略各個傳動部件間的轉動阻力與傳動齒輪的質量，阻尼器的阻尼力如式(1)：

(1)

式中：bd為慣質元件產生的慣質；cd為黏滯阻尼元件提供的阻尼系數；u為阻尼器兩端之間的相對位移。在質量類阻尼器中，慣質的估算如式(2)：

(2)

(3)

式中：r1為驅動齒輪組小齒輪的半徑；r2為驅動齒輪組大齒輪的半徑；r3為從動齒輪的半徑；r4為質量圓盤半徑；r5為黏滯阻尼元件的葉片半徑；ρ為慣質圓盤材料密度；h為慣質圓盤厚度；C為折算后阻尼液黏度系數。

將阻尼器的驅動齒輪、從動齒輪的半徑設置為不同值，以實現不同質量放大效果。考慮阻尼器在外荷載作用下，阻尼力的計算由式(1)變為：

(4)

式中：設u=Asin(ωt)，A為簡諧運動的幅值，ω為簡諧運動的頻率。

(5)

式中：ke為等效負剛度。

3 拉索-慣質阻尼器系統分析

為滿足工程應用的需要，設計了的平面內斜拉索減振系統如圖3。設在靜平衡狀態下的索力為T，拉索單位長度質量為m，索的總長為L，阻尼器在距離拉索橋面錨固端l1位置。

圖3 拉索-慣質阻尼器系統分析模型Fig. 3 Analysis model of cable-inertia damper system

為簡化分析，設拉索為張緊弦，不考慮其垂度、抗彎剛度和自身阻尼的影響。拉索的分段動力特性方程為：

(6)

式中：vk為各段拉索的橫向位移，k=1,2；xk為各段拉索的縱向坐標，k=1,2。

式(6)在拉索上除阻尼器安裝點外處處成立，可由以下邊界條件求解：

(7)

由分離變量法可知，滿足微分方程(6)的解具有以下形式：

(8)

3.1 拉索-慣質阻尼器系統復模態分析

慣質阻尼器安裝點的豎向平衡方程為：

(9)

與此同時，拉索的運動方程為：

eστ[cos(φτ)+jsin(φτ)]

(10)

對于拉索-質量型阻尼器系統的每一階振動，將式(10)帶入式(9)，可得：

(11)

式中：μ=bd/mL為質量比。

(12)

通過MATLAB，使用不動點迭代法對式(12)求解，并將方程計算過程驗證。

3.2 方程驗證

取極限條件，將式(12)中的質量比取為0，則該阻尼器可簡化為黏滯阻尼器。與文獻[20]所述的黏滯阻尼器進行比較，文獻中最佳黏性阻尼系數ηopt和對應的模態阻尼比ζopt已由文獻中式(25)、式(26)給出。按文獻[20]所提供的方法，當阻尼器安裝位置為5%索長時，第一、二和三階最優黏滯系數ηopt分別為6.36、3.18和2.12，對應的一、二和三階模態阻尼比近似為2.5%。為驗證式(12)迭代方法的正確性，分別將第一、二和三階的ηopt帶入MATLAB計算，得出的第一、二和三階模態阻尼比分別為2.64%、2.68%和2.74%，與文獻[20]中所給出的近似值相差不大。筆者所使用的迭代計算方法具有較高準確性，以此為基礎開展后續分析。

4 實際拉索算例與設計

4.1 新型慣質阻尼器的拉索減振效果

對比慣質阻尼器與黏滯阻尼器和減振效果。某橋梁工程中的拉索參數如表1。

表1 某實際橋梁工程中的拉索參數Table 1 Cable parameters of an actual bridge project

根據分析結果，以拉索的前三階振動，開展慣質阻尼器的減振效果分析。

控制拉索前三階振動的多參數分析如圖4，圖中橫坐標η(l1/L)為阻尼系數，縱坐標μ為質量比，豎坐標ζ/(l1/L)為模態阻尼。分別控制一、二、三階振動，前三階振動最優結果如表2。

圖4 拉索前三階振動多參數分析Fig. 4 Multi-parameter analysis of the first three order vibration of cable

由表2可知：

1)為了抑制較低階的振動，慣質類阻尼器需要較大的慣質。隨著振動階數增加，在達到最優模態阻尼時，階數越高則所需的慣質越小。各階振動間為達到最優減振效果所需要的慣質差距較大，由抑制一階振動的7.7倍逐步變為抑制第三階振動所需要的0.9倍。

表2 前三階振動最優結果Table 2 Summary of optimal results of the first three order vibration

2)黏滯系數有類似趨勢，隨著階數升高，黏滯系數呈現出逐漸遞減的趨勢，為抑制第三階振動，黏滯系數從第一階的7.92降低至2.71。

3)慣質類阻尼器在經過調諧之后對抑制單階振動有較好效果，經過參數最優處理之后，即使在安裝位置為較低時(即拉索全長的1.27%)，第三階振動阻尼仍能達到較為理想的3.66。

綜上，慣質阻尼器對單階振動具有較好的減振效果

5 慣質阻尼器多階減振廣譜性分析

經過參數最優處理之后，阻尼器的減振性能能夠針對特定振動階次達到較高的阻尼水平。但針對風雨激振等引起的高階振動[15-16]仍需要進行更高階的廣譜減振分析。但是針對慣質類阻尼器的某一特定的阻尼器參數，進行同時抑制多階振動的“廣譜減振”[17]研究還處于起步階段。筆者在針對不同安裝位置、不同質量比的慣質類阻尼器，對其多階廣譜減振特性進行了分析，并與普通黏滯阻尼器進行比較。

圖5為阻尼器安裝位置l1/L=1.27%時，拉索前八階振動的模態阻尼曲線，M1～M9分別表示一階至八階振動的模態阻尼曲線。圖5(a)中μ=0，可認為是拉索安裝普通黏滯阻尼器時前八階振動的模態阻尼曲線，圖5(b)、(c)、(d)與(e)分別表示μ為0.1、0.2、0.5、0.8時的阻尼曲線。M1與M4的交點M1&M4表示前四階廣譜減振的最優點，M1與M8的交點M1&M8表示前八階廣譜減振最優點。在μ為0.5、0.8時其低階振動減振效果較好，但M1與M8不存在交點，所以無法同時達到前八階最優。

圖5 l1/L=1.27%,μ取不同值時的附加慣質阻尼器拉索模態阻尼曲線Fig. 5 Modal damping curve of cable with additional inertia damper with l1/L=1.27% and μ with different value

圖6為阻尼器安裝位置l1/L=2.00%時，拉索前八階振動模態阻尼曲線。圖6(a)中μ=0，可認為是拉索安裝普通黏滯阻尼器時前八階振動模態阻尼曲線，圖6(b)、(c)、(d)與(e)分別表示μ為0.1、0.2、0.5、0.8時的模態阻尼曲線。在μ為0.5、0.8時其低階振動的減振效果較好，但M1與M8不存在交點，所以無法同時達到前八階最優。

圖7為阻尼器安裝位置l1/L=3.00%，μ為0、0.1、0.2、0.5、0.8時拉索前八階模態阻尼曲線。

圖6 l1/L=2.00%, μ取不同值時的附加慣質阻尼器拉索模態阻尼曲線Fig. 6 Modal damping curve of cable with additional inertia damper with l1/L=2.00% and μ with different value

圖7 l1/L=3.00%, μ取不同值時的附加慣質阻尼器拉索模態阻尼曲線Fig. 7 Modal damping curve of cable with additional inertia damper with l1/L=3.00% and μ with different value

圖5～圖7計算結果及慣質黏滯阻尼器相比于黏滯阻尼器的增幅效果如表3。由表3可知：當阻尼器安裝位置較低，如l1/L不超過2%，且μ=0.1時，慣質阻尼器相比于黏滯阻尼器的廣譜減振結果均有提高，但無論是前四階減振結果還是前八階的廣譜減振結果均提高有限(10%以內)。當提高質量比后，較低階廣譜減振效果有大幅度提高(超過10%)，但是較高階廣譜減振效果嚴重降低，高階廣譜減振效果甚至低于現有的黏滯阻尼器。高階廣譜減振效果隨著質量比μ的增長有“先增高后降低”的趨勢。出現這種情況，是因為對于較低階振動慣質阻尼器中，負剛度項-bdω2的存在增大了拉索在阻尼器處的位移，使拉索具有更“柔”的特性，加快了黏滯阻尼元件葉片的旋轉速度，使黏滯阻尼器消耗更多的振動能量。同時對于高階高頻振動，較高的負剛度項對于拉索起到了較強的“嵌固作用”，導致了高階減振效果大幅降低。提高阻尼器的安裝位置，如l1/L>3.00%時，慣質阻尼器對于高階廣譜減振效果的“嵌固作用”更為明顯，甚至當質量比μ=0.1時，前八階廣譜減振效果就相比黏滯阻尼器降低了3%。

表3 廣譜減振結果匯總Table 3 Summary of broad-spectrum damping results

6 新型慣質阻尼器的實用性分析

為了滿足工程的實際應用，以表1中某實際工程拉索為例，其阻尼器安裝位置為l1/L=1.27%。結合第一、二和三階減振及前八階廣譜減振的各減振參數的需求，給出了滿足其減振指標的阻尼器各參數，并根據式(2)、式(3)給出了質量放大倍數和黏滯阻尼放大倍數。慣質阻尼器用較低的物理質量和較低的黏度系數，就能起到預期的減振作用。針對前八階做廣譜減振分析，可得到慣質圓盤提供的慣質為10 733.76 kg,為拉索總重的20%，但其實際物理質量為37.24 kg，易于工程實踐，計算結果如表4。

表4 阻尼器物理參數及質量、黏滯阻尼放大倍數Table 4 Physical parameters, mass and magnification of viscous damping of damper

7 結 論

2)慣質阻尼器在經過調諧之后，有著很強的單階減振能力，其減振能力優于現有黏滯阻尼器一個數量級。

3)對于高階廣譜振動控制，慣質類阻尼器的安裝位置不宜太高，在抑制高階振動時，所需要的慣質較小，僅為索總重的10%～20%左右；在抑制低階振動時所需要的慣質較大，阻尼器所要提供的慣質接近或者超過索總重。以實際工程為例，拉索安裝位置為索長的1.27%，針對前八階做廣譜減振分析，慣質圓盤提供的慣質為拉索總重的20%，但其實際物理質量為37.24 kg，易于工程實踐也提高了阻尼器的廣譜減振效果。

4)在實際工程應用中，慣質bd和黏滯阻尼系數cd均可按照筆者所提出的式(2)、式(3)進行計算，且要根據控制的目標模態來進行bd和cd的設計。提出的設計方法具有較好的工程指導意義，論證了實際工程應用的可行性。