對一道漫灰體輻射競賽題的一題多解及深入探討

李 惠

(湖南省株洲市第二中學 湖南 株洲 412007)

【試題】本題考慮熱輻射的問題.有關熱輻射的背景知識敘述如下：

若一物體表面的絕對溫度為T，發射率為e，則該物體表面每單位面積在每單位時間內所輻射出的電磁波能量，稱為輻射能通量，可表述為R=eσT4，式中σ=5.670×10-8J/(s·m2·K4)，稱為斯特凡-波爾茲曼常量.通常e<1，但對黑體而言，e=1(即為完全輻射).如果物體周圍的溫度為T′，則需考慮物體表面對入射輻射能的吸收.假定入射的輻射能通量為σT′4，α為物體表面的吸收率，則該物體表面所吸收的輻射能通量為R′=ασT′4，通常α<1，但對黑體而言，α=1(即為完全吸收).因此物體表面對入射能量的反射率為1-α.如果該物體和周圍的環境達成熱平衡，即T=T′，則物體放射出去的和所吸收的輻射能通量應相等，所以e=α，這就是所謂基爾霍夫定律(Kirchhoff′s Law).

現考慮兩片面積很大且平行相向對立的金屬板A和B，其溫度分別維持在TA和TB，TA>TB.A和 B兩金屬板面的發射率分別為e1和e2.

(1)假想在兩金屬板面之間有一個虛設的平行截面，試求通過該截面的凈輻射能通量，以TA,TB,e1,e2表示.

(2)若是在兩金屬板中間放入另一塊大面積的金屬板C，其發射率為e，則在其達成穩定狀態時的溫度T為何？該溫度是否和金屬板C所放置的位置有關？

(3)在(2)題中，若e=e1=e2，則在穩定狀態時，兩金屬板之間的凈輻射能通量為何？

答案：

(1)

(2)

與板C位置無關.

(3)

(4)

第二種方式較佳.

1 兩種方法求解(1)問

解法一：由于兩金屬板面不是黑體，我們必須考慮熱輻射能量在兩板面之間的來回反射和吸收.先單獨考慮金屬板A的熱輻射情形，把B板看作一個只有反射無熱輻射的裝置；再單獨考慮金屬板B熱輻射情形，此時，把A板看成一個只有反射無輻射的裝置；最后，A,B板間實際的輻射傳熱，即等于二者之差.

依照上述思路，單獨考慮金屬板A的熱輻射情形以及它逐次從板面輻射的輻出度.

首次從A板輻射

(5)

首次被B板反射回

RB1=(1-e2)RA0

(6)

A板第一次反射

RA1=(1-e1)RB1

(7)

第二次被B板反射回

RB2=(1-e2)RA1

(8)

A板第二次反射

RA2=(1-e1)RB2

(9)

第三次被B板反射回

RB3=(1-e2)RA2

(10)

上述列出的是從A板發出的一系列出射波在A,B板之間無窮多次反射的熱輻射能通量，而實際上，熱輻射是不間斷地進行的，上述的RA0,RA1,RA2，…以及RB1,RB2,RB3，…是同時存在于兩金屬板之間的.因此，從A板流向B板的輻射能通量為

RA=(RA0+RA1+RA2+…)-(RB1+RB2+RB3+…)=
(RA0-RB1)+(RA1-RB2)+(RA2-RB3)+…=
e2RA0+e2RA1+e2RA2+…=
e2RA0+e2(1-e2)(1-e1)RA0+
e2(1-e2)(1-e1)(1-e2)(1-e1)RA0+…=
e2RA0[1+(1-e2)(1-e1)+(1-e2)2(1-e1)2+
(1-e2)3(1-e1)3+…+(1-e2)n(1-e1)n]

其中，n→∞，上式中括號中是一個首項為1，等比為(1-e1)(1-e2)<1的等比數列求和.故

(12)

同理可推得，從B板流向A板的輻射能通量為

(13)

則通過兩金屬板間某平行截面的凈輻射能通量為

(14)

解法二：設金屬板單位面積接收輻射能通量為G，吸收eG，反射(1-e)G，同時自身輻射eE，其中E=σT4，滿足斯特凡-玻爾茲曼定律，金屬板穩態平衡時，熱量收支平衡，向外界輻射的有效輻射能通量為Jout.

Jout-G=e(E-G)

(15)

可見Jout與G并不是獨立的兩個變量，而是存在一一對應關系的，收入能通量越大，輻出能通量Jout也越大.由式(15)解得

(16)

所以，金屬板向外界的凈輻射能通量為

(17)

把上述結論分別應用于A,B板：A板向外界的凈輻射能通量為

(18)

B板向外界的凈輻射能通量為

(19)

達到穩態溫度后，金屬板A向外界的凈輻射能通量等于金屬板B向外界輻射的凈輻射能通量的負值，也等于金屬板A和B 的有效輻射能通量之差，即

RA=-RB=JA,out-JB,out

(20)

應用合分比定理得

(21)

2 求(2)問

可利用(1)問結論，在A,B板間插入金屬板C并達到穩態溫度之后，A，C板間的凈輻射能通量RAC等于C，B板間的凈輻射能通量RCB，即

RAC=RCB

(22)

根據式(14)結論，有

(23)

(24)

聯立式(22)～(24)解得

(25)

3 求(3)問

利用式(22)～(24)，并代入e=e1=e2,可得

(26)

聯立式(23)、(26)得插入金屬板C后的凈輻射能為

(27)

4 求(4)問

圖1 A,B板間插入n塊相同的金屬板

由于各金屬板達到穩態平衡時溫度不變，凈輻射能通量相等，根據式(14)，代入e=e1=e2，可得

(28)

其中RAB是A,B板間沒有其他金屬板時的凈輻射能通量，R是A,B板間插入n片金屬板時的凈輻射能通量，可見，多層金屬板相疊，間隙數目越多，單位時間內的輻射傳熱就越少，保溫效果就更好.

5 拓展與提升

筆者給這道題再加兩小問(5)和(6)，從其他方向啟發學生對此類熱輻射問題進行深入思考.

拓展1:(5)常用的隔熱布是多層金屬薄膜構成，兩兩之間以網狀的、聚酯纖維間隔開來.設金屬膜的發射率和吸收率都為e.有一種隔熱布共由11層這樣的金屬膜彼此平行放置構成，用它包裹一個半徑為r，比熱為c，質量為M的均質球形儀器(儀器本身不發熱)，放在距離太陽為d處，設太陽表面積為S，太陽表面溫度為Ts,達到穩態時，該儀器的溫度To是多少？

解：隔熱布的功能并不是阻斷熱輻射，而是降低進出物體的輻射能通量，因此對穩態平衡的溫度沒有影響，而只是讓穩態平衡較慢達成而已.所以，我們可以不用考慮隔熱布的存在，將球形儀器當成黑體，根據球形儀器能量守恒

(29)

得

(30)

拓展2:(6)若該球形儀器本身會發熱，功率為常量P，它和多層隔熱布的最內層(第11層)緊密接觸而保持同溫，隔熱布的總厚度遠小于球形儀器的半徑r.達到穩態時，多層隔熱布最內層的溫度Tin及最外層(第1層)的溫度Tout分別是多少？

解：先考慮最內層熱平衡,則

(31)

式中T10是第10層隔熱布的溫度.接著考慮最外層熱平衡

(32)

式中T2是第二層隔熱布的溫度.又由于各層的輻射凈能通量相同

(33)

聯立，可得

(34)

(35)