Banach空間中算子加權群逆的定義方程與表示

胡春梅

(麗江師范高等?？茖W校 數學與信息技術學院， 云南 麗江 674199)

下面給出本文采用的記號與術語.

設Χ和Y為任意可分的Banach空間,L(X,Y)是從X到Y的有界線性算子的全體,特別地, L(X)=L(X,X).對任意算子A∈L(X,Y),記R(A),N(A)分別為A的值域，零空間.若存在B∈L(Y,X), 使得ABA=A, 則B稱為A的(1)-逆,A稱為正則算子, 通常記B=A(1),若B滿足BAB=B,AB=BA,則稱B為A的群逆,記為B=A#.

定義1[1]設A∈L(X,Y)，W∈L(Y,X).稱滿足下列方程組的算子X∈L(X,Y)

(W1)AWXWA=A,(W2)XWAWX=X,(W3)AWX=XWA.

1 引理

引理1.1[2]令A∈L(X,Y)，W∈L(Y,X)，則下列條件等價：

(ii)(AW)#和(WA)#存在，且R(AW)=R(A),N(WA)=N(A);

(iii)R(WA)⊕N(A)=X,N(AW)⊕R(A)=Y.

引理1.2[2]令A∈L(X,Y)，W∈L(Y,X)，(AW)#和(WA)#存在，則：

(i)P1=WA(WA)#=(WA)#WA=PR(WA),N(A)=PR(WAW),N(A);

(ii)P2=AW(AW)#=(AW)#AW=PR(A),N(AW)=PR(A),N(WAW).

引理1.3[3]令A∈L(X,Y)，T與S分別是X與Y的子空間且滿足條件：

T⊕N(A)=X與R(A)⊕S=Y.

(i)AX=PR(A),S,R(X)?T;

(ii)XA=PT,N(A),N(X)?S;

(iii)AXA=A,R(X)?T,N(X)?S.

(1)PL,MA=A?R(A)?L;

(2)APL,M=A?N(A)?M.

這天還發生了一件事。太陽高照，別呦呦把被子拿出來曬，然后她就出去了。晌午，天突然變了，下雷暴雨。別呦呦曬被子，我是知道的，天下雨了，我也知道，虱長老家的門并沒有鎖，我只要走進院子，就能把被子收起來，但我沒那樣做。我沒那膽子。

(i)WAWX=PR(WAW),N(A),R(X)?R(A);

(ii)XWAW=PR(A),N(WAW),N(X)?N(A);

(iii)WAWXWAW=WAW,R(X)?R(A),N(X)?N(A).

(i)AWX=A(WA)#,R(X)?R(A);

(ii)XWA=(AW)#A,N(X)?N(A);

(iii)AWXWA=A,R(X)?R(A),N(X)?N(A);

(iv)(AW)2X=A,R(X)?R(A);

(v)X(WA)2=A,N(X)?N(A).

證明：由定理2.1，有

WAWX=PR(WAW),N(A)=WA(WA)#,

(1)

XWAW=PR(A),N(WAW)=(AW)#AW,

(2)

WAWXWAW=WAW.

(3)

又由引理1.1中R(AW)=R(A)，N(WA)=N(A)，則方程(1)和(2)可分別左、右消去W，即得(i)，(ii).同理，方程(3)可左、右消去W得到(iii).

利用引理1.2和1.4，用AW左乘方程(i)得(AW)2X=AWA(WA)#=APR(WAW),N(A)=A，即方程(i)和方程(iv)同解，同理，方程(ii)和(v)方程同解.定理得證.

證明：(i):由于A#=A(A3)(1)，將其代入定理2.2中的方程(i)，(ii)，得

AWX=AWA[(WA)3](1)WA,R(X)?R(A);

XWA=AW[(AW)3](1)AWA,N(X)?N(A).

(i)(AW+I-AA(1))X=(AW)#A;

(ii)(AW+I-(AW)#AW)X=(AW)#A;

(iii)(AWAA(1)+I-AA(1))X=(AW)#A;

(iv)X(WA+I-A(1)A)=A(WA)#;

(v)X(WA+I-(WA)#WA)=A(WA)#;

(vi)X(A(1)AWA+I-A(1)A)=A(WA)#;

(vii)(AW+I-AA(1))X(WA+I-A(1)A)=A;

(viii)[(AW)2+I-AA(1)]X=A;

(ix)X[(WA)2+I-A(1)A]=A.

證明：約束條件R(X)?R(A)=R(AW)等價于(I-AA(1))X=0或(I-AW(AW)#)X=0，約束條件N(X)?N(A)=N(WA)等價于X(I-A(1)A)=0或A(I-(WA)#WA)X=0，由此，定理2.2中的5個約束方程的惟一解是定理3.2中9個非奇異方程的解.

4 算例

由計算可得

則有

由計算可得

則有