高壓管匯活動彎頭接觸特性分析*

張 國 友

(中石化四機石油機械有限公司)

0 引 言

壓裂技術在油氣田中使用日益廣泛[1]，在非常規(guī)油氣開發(fā)中[2]，通常需要面對復雜的井身結構、復雜的巖性和復雜的流體性質，這對壓裂設備提出了更高的要求，需要有良好的耐高壓、抗腐蝕、耐沖蝕特性。但是目前高壓管匯在實際工作中的壽命遠遠短于其他的壓裂設備，嚴重制約了油氣田整體開發(fā)效益，所以需要對高壓管匯易損件進行研究[3-7]。

為了延長活動彎頭的使用壽命，許多學者進行了大量研究并取得了一定進展。徐曉東等[8]通過對活動彎頭結構和加工工藝改進來延長活動彎頭使用壽命。敬佳佳等[9]利用CFD軟件分析放噴管角度、位置、放噴量、含砂率、顆粒形狀對壁面沖蝕率的影響，指出含砂率對最大沖蝕率的影響較大，彎管位置對最大沖蝕率的影響較小，放噴管最大沖蝕率隨含砂率、顆粒形狀系數(shù)的增大而增大，隨彎管角度和直管段長度增大而減小，隨著放噴量的增加最大沖蝕率先增大后減小。郭登明等[10]針對現(xiàn)有活動彎頭出現(xiàn)明顯壓痕和點蝕的情況，以20CrNiMo活動彎頭為研究對象，將活動彎頭進行滲碳+等溫淬火+回火熱處理，觀察活動彎頭金相組織的變化，發(fā)現(xiàn)工件表面為下貝氏體金相組織，該組織具有良好的耐磨性和抗腐蝕性，內部為下貝氏體和馬氏體的混合金相組織，該組織可以有效防止裂紋擴散。

以上研究多以彎頭加工工藝、彎頭最大沖蝕率、彎頭熱處理工藝為主，對大通徑四滾道活動彎頭接觸特性規(guī)律研究有待完善。筆者以大通徑四滾道活動彎頭為研究對象，采用增廣拉格朗日乘子法[11]，分析不同滾道軸向間距、徑向間距、滾道半徑對活動彎頭最大接觸應力的影響規(guī)律。筆者對滾道接觸應力進行分析總結，以期為活動彎頭的設計、優(yōu)化提供指導。

1 有限元接觸算法

1.1 罰函數(shù)法

罰函數(shù)法相當于在接觸面與目標面之間引入彈簧系統(tǒng)。在未接觸時，彈簧系統(tǒng)不發(fā)生作用；在接觸發(fā)生時，彈簧系統(tǒng)就會阻止接觸物體相互嵌入[12]。為方便系統(tǒng)計算，在不含接觸總位能基礎上引入一個懲罰勢能：

(1)

式中：ΠP(U)為懲罰勢能，J；EP為懲罰因子，N/m；P為嵌入深度，m；U為節(jié)點位移，m。

這樣，接觸問題就等價于無約束優(yōu)化問題：

minΠ*(U)=Π(U)+ΠP(U)

(2)

式中：Π*(U)為接觸總位能，J；Π(U)為不含接觸總位能，J。

罰函數(shù)法受接觸剛度的影響較大。接觸剛度越大，穿透量越小；接觸剛度越小，穿透量就越大。理論上而言，當我們將接觸剛度設定到無窮大時，其穿透量即可以為0，但是剛度矩陣不可能無窮大，否則剛度矩陣呈現(xiàn)病態(tài)。

1.2 拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法[13]是通過類比拉格朗日法的數(shù)學意義，以g(x)為約束條件，f(x)作為目標函數(shù)，引入拉格朗日乘子λ來構造公式：

L(x)=f(x)+λg(x)

(3)

在接觸非線性問題上，拉格朗日乘子法以接觸力的拉格朗日乘子λ乘以無侵徹條件，構造接觸約束條件的附加泛函：

ΠC(U，λ)=λg

(4)

式中：ΠC(U，λ)為含接觸約束條件的附加泛函，J；λ為拉格朗日乘子；g為接觸約束條件。

最終將約束條件極值問題轉化為無條件極值問題：

minΠ*(U，λ)=Π(U)+ΠC(U，λ)

(5)

拉格朗日法不再通過定義剛度來計算接觸力，而是將接觸力作為一個自由度，擴大了剛度矩陣。該算法優(yōu)點是精度高；缺點是失去系數(shù)矩陣正定性，不易收斂。

1.3 增廣拉格朗日乘子法

在增廣拉格朗日乘子法[14]下，系統(tǒng)的總位能由不含接觸約束條件的總位能Π(U)和懲罰勢能ΠP(U)以及含接觸約束條件的附加泛函ΠC構成，構造修正的勢能泛函如下：

Π*=Π(U)+ΠP(U)+ΠC(U，λ)

(6)

增廣拉格朗日是先將程序按照罰函數(shù)法進行開始計算，通過賦予允許穿透的最大值。如果在計算迭代過程中出現(xiàn)穿透量大于許用穿透量，則對剛度矩陣進行更新，將各個接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數(shù)值，形成不斷更新剛度矩陣的罰函數(shù)法，也就是拉格朗日法。隨著剛度矩陣的不斷更新，最終穿透量將小于允許值，計算則停止。極大地克服了罰函數(shù)法的病態(tài)矩陣，以及拉格朗日法的剛度矩陣零對角元問題。

2 活動彎頭有限元接觸分析

2.1 物理模型及網格劃分

本文選取某廠型號為?130.2 mm-105 MPa(5in-15 000 psi)的大通徑活動彎頭為研究對象，采用Solidworks對其進行三維建模。該活動彎頭為四滾道活動彎頭，4個滾道安裝鋼球數(shù)量分別為32、33、34和35顆，其中第一滾道鋼球數(shù)量為32顆。因為活動彎頭活動節(jié)整體結構比較復雜，無法對其直接進行接觸分析。查閱文獻可知，活動彎頭第一滾道接觸應力較大，所以模型以第一滾道32顆鋼球為參考，建立活動彎頭活動節(jié)1/32分析模型，如圖1所示。

圖1 活動彎頭簡化模型示意圖

在活動彎頭使用期間，活動彎頭滾道表面容易出現(xiàn)壓痕和點蝕。其中第一滾道最嚴重。因此，需要對活動彎頭進行彈塑性接觸分析，其中在活動彎頭活動節(jié)塑性階段采用雙線性模型。材料的密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比υ=0.275，屈服強度σs=896 MPa，切線模量Etan=21 GPa。

考慮到彈塑性接觸分析對網格要求較高，本文采用如下網格劃分方式：首先對球體進行切分，切分后可以自動生成規(guī)則的六面體網格；為保證滾道網格基本與鋼球網格一致，采用球體加密網格方式，以鋼球球心為坐標原點，對滾道一圈進行網格加密。對于非接觸區(qū)域不存在塑性變形，順延滾道六面體劃分方式。網格大小設置為5 mm，劃分結果如圖2所示。

圖2 活動彎頭網格劃分

2.2 邊界條件

根據(jù)活動彎頭的實際工況，對活動彎頭有限元網格模型施加載荷和邊界條件。活動彎頭主要承受2種載荷：內壓和軸向載荷。內壓作用在外接頭和內接頭內壁面，外接頭在管壁內壓作用下產生徑向位移，鋼球在外接頭和內接頭共同作用下產生擠壓變形；軸向載荷是在管內流體壓力作用下，將管道看作密閉容器，外接頭和內接頭都將受到管內流體對管道的橫向作用力。在施加載荷時，根據(jù)施加工況直接在外接頭和內接頭管道內表面施加內壓105 MPa的壓力；軸向載荷可以在內接頭端面施加，外接頭端面采用位移約束，約束外接頭端面軸向位移。內接頭端面載荷采用均布載荷方式施加，均布載荷p可以通過下式求得：

(7)

式中：po為管壁內壓，MPa；Si為內接頭外端面內圓的面積，mm2；So為內接頭外端面外圓的面積，mm2；di為內接頭外端面的內徑，mm；do為內接頭外端面的外徑，mm。

活動彎頭鋼球多，鋼球與滾道接觸較多，不利于分析。上文對模型進行簡化，取1/32進行分析，所以對外接頭和內接頭側面需要進行合理約束，本文采用法向無位移約束。施加載荷和邊界條件后的模型如圖3所示。

圖3 邊界條件和載荷施加圖

2.3 網格無關性驗證

通過對數(shù)值模型的試算，鋼球的法向接觸剛度因子與網格數(shù)量對彈塑性接觸非線性仿真分析結果有較大影響，為確保計算結果的正確性，進行無關性驗證。首先計算最大接觸應力與網格大小的關系，計算結果如圖4所示。

圖4 最大接觸應力與網格大小關系圖

通過對網格無關性驗證可以得到，隨著網格不斷減小，網格量不斷增大，結果趨于收斂。網格尺寸在0.65～1.05 mm時接觸應力波動較為平穩(wěn)，分布較為均勻。若將網格繼續(xù)加密，接觸應力開始出現(xiàn)不規(guī)則，分布不均，開叉等不正常現(xiàn)象。網格尺寸在0.65～1.05 mm范圍內的最大接觸應力為2 264.5 MPa，最小接觸應力為2 145.2 MPa，誤差為5.26%，精度滿足要求。綜合上述分析，本文選取網格大小為1.05 mm，在此基礎上選擇合適的法向接觸剛度因子，計算最大穿透量、最大接觸應力與接觸面法向接觸剛度因子的影響，如圖5所示。

圖5 最大接觸應力、最大穿透量與接觸剛度因子關系圖

查閱文獻可知[15]法向剛度控制接觸面和目標面之間的穿透量。較高的法向剛度會降低貫入量，但會導致整體剛度矩陣的病態(tài)和收斂困難。較低的法向剛度可能導致一定數(shù)量的穿透，并產生不準確的解決方案。理想情況下，需要一個足夠大的法向剛度，使?jié)B透足夠小。通過對不同法向剛度分析計算，可以看出隨著接觸面法向剛度的增加，接觸面與目標面的最大穿透量不斷減少趨于收斂；最大接觸應力逐漸增大直至穩(wěn)定，綜合考慮，選取法向接觸剛度因子為10。

2.4 仿真計算結果

采用Workbench軟件對活動彎頭進行彈塑性接觸非線性分析，得到滾道接觸應力如圖6和圖7所示。由圖6和圖7可知，接觸應力云圖呈現(xiàn)橢圓形，與赫茲理論假設一致，分析結果合理。外接頭和內接頭第一滾道接觸應力都明顯大于其余滾道，呈現(xiàn)逐漸減小趨勢，與現(xiàn)場第一滾道壓痕最為嚴重的現(xiàn)象一致。對比外接頭與內接頭滾道最大接觸應力可以發(fā)現(xiàn)，外接頭滾道最大接觸應力比內接頭大。

圖6 外接頭滾道接觸應力云圖

圖7 內接頭滾道接觸應力云圖

圖8為活動彎頭結構示意圖。本文將結構劃分為6個區(qū)域。由上文可知，活動彎頭所受載荷主要有2種。活動彎頭內壁在承受載荷時，活動彎頭所有區(qū)域在徑向上都會外擴，區(qū)域1壁厚較大，在區(qū)域5共同作用下，不易變形；區(qū)域4壁厚較大，在區(qū)域6共同作用下，不易變形；相較于區(qū)域1、區(qū)域4，區(qū)域2、區(qū)域3徑向變形較為容易。在內壓作用下，區(qū)域3推動區(qū)域1，區(qū)域4推動區(qū)域2，區(qū)域3可以過濾內壓能量不如區(qū)域4，剩余能量都由區(qū)域1承擔；區(qū)域4過濾較多的內壓能量，剩余的能量到區(qū)域2，又因為區(qū)域2徑向易變形，而區(qū)域1不易變形，所以造成滾道嚴重偏載。活動彎頭在承受軸向載荷時，所有區(qū)域在徑向上都會有遠離鋼球的趨勢，在第一滾道和第二滾道都有徑向易變形區(qū)和不易變形區(qū)，所以軸向載荷并不是造成滾道偏載的主要原因。

圖8 活動彎頭結構示意圖

以外接頭滾道最大接觸應力為判定依據(jù)，通過對活動彎頭內壓和軸向載荷單獨分析,再與載荷共同作用進行對比，得出不同載荷下滾道所受最大接觸應力，分析結果如表1所示。

表1 不同載荷工況下滾道最大接觸應力

由表1可以看出，在軸向載荷單獨作用下，滾道最大接觸應力相差不大；在管壁內壓單獨作用下，第一滾道相對第四滾道最大接觸應力降低了44.68%；在軸向載荷和管壁內壓共同作用下，最大接觸應力降低了31.70%。由此可見，軸向載荷對管壁內壓導致的滾道接觸應力偏載有一定的緩解作用。

3 活動彎頭接觸應力影響因素分析

由上述仿真可知，活動彎頭存在接觸應力過大和偏載現(xiàn)象，筆者對接觸應力偏載做出了解釋，并在此基礎上分析活動彎頭結構參數(shù)對滾道接觸應力的影響。彎頭結構參數(shù)主要包括滾道軸向間距、滾道徑向間距和滾道半徑。

3.1 滾道軸向間距

在滾道結構參數(shù)不變的情況下，選取不同大小的滾道軸向間距分別為27.4、31.4、35.4、39.4和43.4 mm。研究滾道軸向間距對活動彎頭滾道接觸應力的影響規(guī)律，整理數(shù)值仿真數(shù)據(jù)可得活動彎頭滾道最大接觸應力隨滾道軸向間距的變化規(guī)律，如圖9所示。

圖9表明，隨著活動彎頭滾道軸向間距的增大，第一滾道、第二滾道最大接觸應力呈現(xiàn)上升趨勢，第三滾道最大接觸應力上下波動，第四滾道最大接觸應力呈現(xiàn)下降趨勢。因為隨著滾道軸向間距的增大，外接頭內壁面承載內壓面積增大，單個鋼球所需承載的載荷增加，但是區(qū)域3過濾內壓能力沒有區(qū)域4強，所以導致活動彎頭滾道最大接觸應力的增加。

圖9 不同滾道軸向間距下的最大接觸應力

3.2 滾道徑向間距

在滾道結構參數(shù)不變的情況下，選取不同大小的滾道徑向間距分別為0、1.1、2.1、3.1、4.1、5.1和6.1 mm。研究滾道徑向間距對活動彎頭滾道接觸應力的影響規(guī)律，整理數(shù)值仿真數(shù)據(jù)可得活動彎頭滾道最大接觸應力隨滾道徑向間距的變化規(guī)律，如圖10所示。

圖10 不同滾道徑向間距下的最大接觸應

圖10表明，隨著活動彎頭滾道徑向間距的增大，第一滾道、第二滾道最大接觸應力呈現(xiàn)上升趨勢，第三滾道最大接觸應力上下波動，第四滾道最大接觸應力呈現(xiàn)下降趨勢。這是因為隨著彎頭滾道徑向距離變大，區(qū)域1和區(qū)域4的壁厚變大，區(qū)域2和區(qū)域3的壁厚沒有改變，導致區(qū)域4承載的內壓比例增加，分配給區(qū)域2的內壓能減少；區(qū)域3承載的內壓比例基本不變，但是區(qū)域1壁厚增加，導致結構剛度增加，更加不易發(fā)生形變，致使鋼球形變增大，所以接觸應力增大。

3.3 滾道半徑對滾道接觸應力的影響

在鋼球直徑、外接頭與內接頭滾道中心距一定的情況下，在9.60～9.72 mm范圍內均勻選取7組不同大小的滾道半徑，研究滾道半徑對活動彎頭滾道接觸應力的影響規(guī)律。整理數(shù)值仿真數(shù)據(jù)可得活動彎頭滾道最大接觸應力隨滾道半徑的變化規(guī)律，如圖11所示。

圖11表明，隨著滾道半徑的增大，滾道最大接觸應力先減小后增大，在滾道半徑為9.66 mm時達到最低。這是由于在鋼球半徑不變情況下，改變滾道半徑，相當于改變了鋼球與滾道的接觸角，導致滾道最大接觸應力產生變化。

圖11 不同滾道半徑下的最大接觸應力

4 結 論

(1)活動彎頭各滾道接觸應力云圖均呈現(xiàn)橢圓形，符合赫茲理論假設；外接頭和內接頭第一滾道接觸應力都明顯大于其余滾道，呈現(xiàn)逐漸減小趨勢，與現(xiàn)場第一滾道壓痕最為嚴重的現(xiàn)象一致；因管壁內壓直接作用于外接頭，造成外接頭滾道最大接觸應力比內接頭大。

(2)活動彎頭滾道最大接觸應力隨著滾道軸向間距的增大而增大，隨著滾道徑向間距的增大大致呈現(xiàn)增長趨勢，隨著滾道半徑的增大先減小后增大，在滾道半徑為9.66 mm時達到最低。

(3)因為活動彎頭各個部分彎頭的壁厚不一致，所以其徑向剛度有所差別，最終造成滾道接觸產生偏載。活動彎頭產生偏載的動力原因主要來自管壁內壓，活動彎頭在軸向載荷的作用下，有利于緩解內壓產生的偏載。