折疊問題的解題策略

何婷

本課選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科教研核心團隊名師公益學堂”，旨在引領教師專業發展，服務學生自主學習，減輕學生學業負擔。

折疊問題通常以三角形或四邊形為原始圖形，折疊的過程是作軸對稱變換的過程，其隱藏條件較多，如：折疊過程一定會產生全等圖形，有線段相等、角相等、面積相等的結論;折痕具有雙重身份——其所在直線是對稱軸（即對應點連線的中垂線，通常是引輔助線的依據），折痕所在的射線是角平分線.

折疊問題的破解策略：首先要抓住折痕，找全折疊隱含的條件，再識別基本模型，運用模型轉化邊角關系，最后結合數據直接或列方程求解.

模型構建

一、軸對稱全等模型

如圖1，將[△A]BC折疊，[DE]為折痕，點A的對應點為點A'，則[△A]DE ≌ [△A']DE，從而得到兩對相等的邊和三對相等的角，折痕[DE]所在射線是∠ADA'和∠AEA'的平分線，所在直線是對應點A ，A'的連線的中垂線.（注意：一定是折痕垂直平分對應點的連線.）

因此，求解折疊問題要先抓折痕，找出軸對稱全等模型.

二、8字型全等模型與平行中點8字型全等模型

如圖3，AD[?]BC，AB[?]DC，折疊四邊形[ABC]D，[BD]為折痕，點C的對應點為點C'，由軸對稱模型有[△]CBD ≌ [△C']BD，得到相等的邊和角，易得[△]AOB ≌ [△C']OD，可得一對8字型全等模型. 若條件中再有平行或中點，則可考慮平行中點8字型全等模型.

在圖2中，折疊矩形ABCD，EF為折痕，點D對應點B，點C對應點D'，則[EF]垂直平分BD，易得平行中點8字型全等模型[，即△DOE≌△BOF].

三、鐵三角模型

如圖3，由“折痕所在射線為角平分線”和平行線的性質可得∠1 = ∠3，則[△OBD]為等腰三角形.

由此我們發現：若圖中有角平分線（∠1 = ∠2）、平行線（∠2 = ∠3），就能得到等腰三角形，通過這三個角的邊，我們可以構建出一個基本模型.

我們還能進一步發現：只要平行線、角平分線、等腰三角形這三個條件中有兩個成立，就能將第三個作為結論推出，即知二得一. 我們把這個模型稱為鐵三角（如圖3）. 該模型常見于折疊問題，其作用是轉化相等的邊.

變式演練

原題：如圖4，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，D為AC邊上一點，連接BD，將[△]BCD沿BD折疊至[△]BC'D的位置，使BC落在AB邊上，則C'D的長為___________. （解題過程略，答案是3[3] - 3）

變式1：如圖5，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，E為AB邊上一點，連接CE，將[△]BCE沿CE折疊至[△]B'CE的位置，使BC落在AC邊上，則BE的長為___________.

學法指導：如圖5，軸對稱全等模型顯而易見，可轉化線段長和角度. 設BE = [x]，則B'E = [x]，AE = 3[3] - [x]，由∠A = 30°，∠AB'E = ∠B = 90°，則AE = 2[x].若將題目條件一般化，去掉∠A = 30°，換成已知AB等于3[3]，則3[3] - [x]是通法. 在折疊后產生的Rt[△A]B'E中，利用勾股定理列方程求得[x] = [3]，即BE = [3].

變式2：如圖6，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，E為BC邊的中點，D為AB邊上一點，連接DE，將[△]BDE沿DE折疊至[△]B'DE的位置，B恰好落在AC邊上，求BB'和DE.

學法指導：此題為軸對稱模型加中點的綜合應用.由軸對稱模型知BE = B'E，DE垂直平分B'B，結合E為BC的中點，得BE = B'E = CE（此為我們熟悉的雙等腰模型），可得∠CB'B = 90°，BB'既可用含30°角的直角三角形的性質，也可用等積法求解. 易得DE[?]AC，則∠EDB = ∠A = 30°，從而DE = 2BE = 3.

變式3：如圖7，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，D為AC邊的中點，連接BD，將[△A]BD沿BD折疊至[△A']BD的位置，[A']B交AC于點E，連接[A']C，求A'C的長.

學法指導：識別軸對稱模型，可知∠2 = ∠3，∠A = ∠4 = 30°，[AD] = [A']D，又由D為AC的中點，可知[CD] = [A]D，[CD] = [BC]，則[A']D = [BC]，易看出[△]DCB為等邊三角形，則∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°，即∠4 = ∠1 = 30°，則[A']D[?]BC，易證[得A']C = BD = 3.

變式4：在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 12，按如圖8的方式折疊，使點B與點F重合，AC為折痕，則AE = .

學法指導：圖8中有[△A]BC與[△A]FC全等組成的軸對稱模型，有[△A]FE與[△]CDE組成的8字型全等模型，有角平分線加平行線組成的鐵三角模型，那么哪個模型對求解這道題有幫助呢？顯然，與待求線段AE相關的是鐵三角模型和8字型全等模型，其中鐵三角模型不需證明全等，轉化邊更方便，因此設[CE] = [A]E = [x]，DE = 12 - [x]，則在Rt[△]DEC中可求得[x] = [16924]，故應填[16924].

如圖9，∠ABC = 40°，點E是射線BC上一動點，把△ABE沿AE折疊，點B的對應點為點D，當直線AD⊥BC時，∠ABC等于 .（答案見第33頁）