人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材的比較研究
——以“三角函數(shù)的概念”為例

?哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 汪會婷

為了更好地滿足不同時(shí)期學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的需要，教育部對課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修訂，隨之而來的就是教材的改革.“2004年人教A版普通高中數(shù)學(xué)”(以下稱“舊教材”)在多位教研人員根據(jù)一線教師的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及多年的潛心研究下推出“2019年人教A版普通高中數(shù)學(xué)”(以下稱“新教材”).新教材在結(jié)構(gòu)設(shè)置上更具有邏輯性，在內(nèi)容呈現(xiàn)上銜接也更緊密，更加符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律，能夠在學(xué)生已知已能的基礎(chǔ)上進(jìn)行呈現(xiàn)，與學(xué)生的已有認(rèn)知建立起聯(lián)系，展現(xiàn)出新教材的連貫性與嚴(yán)謹(jǐn)性，有利于提高學(xué)生問題解決的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值.

舊教材“任意角的三角函數(shù)”這一節(jié)在內(nèi)容安排上銜接并不緊密，從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)，僅僅通過一句話“同樣地，我們可以用單位圓定義任意角的三角函數(shù)”作為橋梁，無論是教師還是學(xué)生對于這種過渡都無法真正理解，不能達(dá)到立竿見影的效果.銳角三角函數(shù)主要適用于解三角形，解決的是三角形中邊與邊的比值、邊與角的定量關(guān)系問題；而任意角的三角函數(shù)是用來描述周期變化現(xiàn)象的函數(shù)，刻畫周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.這兩種不同的三角函數(shù)銜接的處理方式不太合理.新教材在“三角函數(shù)的概念”這一節(jié)作了全新的變動(dòng)，通過建立數(shù)學(xué)模型，研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，刻畫其位置變化情況.以單位圓為載體，貫穿始終，循序漸進(jìn)，體現(xiàn)新教材內(nèi)容編排的緊密性，從特殊到一般，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，突出函數(shù)概念的本質(zhì)，讓人耳目一新.

1 新舊教材三角函數(shù)概念所處位置的比較

舊教材中“任意角的三角函數(shù)”位于必修4第一章第二節(jié)，新教材中“三角函數(shù)的概念”位于必修一第五章第二節(jié).從節(jié)與節(jié)的銜接出發(fā)，新舊教材“三角函數(shù)的概念”都是在“任意角和弧度制”這一節(jié)之后進(jìn)行學(xué)習(xí).從章與章的銜接出發(fā)，舊教材此部分內(nèi)容安排在必修1第三章“函數(shù)的應(yīng)用”之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，并在另一冊(必修4)書中出現(xiàn)，與函數(shù)主體部分脫離開來，不利于學(xué)生建立完整的邏輯體系；而新教材則將其安排在同冊書第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”之后進(jìn)行教學(xué)，與函數(shù)主體部分建立起緊密聯(lián)系，具備一定邏輯聯(lián)系，以函數(shù)的概念為基礎(chǔ)，使得三角函數(shù)概念的得出更加水到渠成.

2 新舊教材三角函數(shù)概念知識編排順序的比較

舊教材知識編排順序：復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)→在直角坐標(biāo)系中用銳角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)→用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)→用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)→例題→探究.

新教材知識編排順序：明確通過建立數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)在單位圓上的位置變動(dòng)情況的任務(wù)→探究當(dāng)角取不同值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)如何表示、是否唯一，體會函數(shù)概念的本質(zhì)→下定義并明確任意角三角函數(shù)的符號表示→探究角被局限時(shí)，銳角三角函數(shù)與任意角的正弦、余弦與正切的關(guān)系.

3 新舊教材三角函數(shù)概念的內(nèi)容比較

3.1 節(jié)引言的比較

3.1.1 舊教材的內(nèi)容安排

活動(dòng)1：復(fù)習(xí)初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)，給出銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).

疑難：銳角三角函數(shù)是用來研究三角形中邊與邊比值的一種工具，這對于剛學(xué)習(xí)完集合與函數(shù)知識點(diǎn)的學(xué)生來說跨度比較大.此外每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是不同的，并非所有的學(xué)生都能清楚“比值”二字到底是指邊與邊還是邊與角.

活動(dòng)2：提出一道思考題——在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)如何表示銳角三角函數(shù)？

疑難：在這節(jié)課之前，學(xué)生并未接觸過角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，腦海中也無法建立相應(yīng)的圖形，又怎么會進(jìn)行真正有效的思考！此外，這個(gè)思考題是為接下來的教學(xué)內(nèi)容作鋪墊的，并不是學(xué)生自己主動(dòng)建構(gòu)引發(fā)的，無法實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為本、發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性的目的.

3.1.2 新教材的內(nèi)容安排

活動(dòng)1：復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)過的弧度制的相關(guān)知識.

亮點(diǎn)：使學(xué)生了解到角已經(jīng)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍，為后續(xù)揭示函數(shù)概念的本質(zhì)作鋪墊.

活動(dòng)2：研究上節(jié)課點(diǎn)在圓上的運(yùn)動(dòng)問題，并強(qiáng)調(diào)不失一般性，先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

亮點(diǎn)：對三角函數(shù)概念的研究又回歸到圓周運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)研究之前提出的問題，與其性質(zhì)相符，有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).對于教師而言，需要進(jìn)行反復(fù)推敲，精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，使學(xué)生對從圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過渡到單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)清晰明了.

活動(dòng)3：明確研究任務(wù)——點(diǎn)在單位圓上旋轉(zhuǎn)，通過建立模型，刻畫點(diǎn)的位置變化情況.

3.2 抽象概念環(huán)節(jié)的比較

3.2.1 舊教材的內(nèi)容安排

困難：這部分內(nèi)容因?qū)W生并未接觸過單位圓，教材在使OP特殊化后的圖中作出單位圓，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生迷惑，這個(gè)圓為什么會出現(xiàn)？

活動(dòng)2：引出單位圓的知識點(diǎn)，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)去表示銳角三角函數(shù)，進(jìn)而利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)去表示任意角的三角函數(shù).

困難：首先，這種推廣使得三角函數(shù)周期性的呈現(xiàn)并非水到渠成，而且兩種不同性質(zhì)的函數(shù)的過渡也讓知識的銜接不再緊密.其次，在利用單位圓定義銳角三角函數(shù)的時(shí)候，并沒有圖示加以說明；但是在定義任意角三角函數(shù)時(shí)，直接將單位圓放在任意角中，不利于學(xué)生理解.此外，在整個(gè)研究過程中點(diǎn)的位置多次發(fā)生轉(zhuǎn)變，從銳角終邊上任一點(diǎn)到銳角的終邊與單位圓的交點(diǎn)再到任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，這種轉(zhuǎn)變很容易造成理解上的困難，加重學(xué)生的理解負(fù)擔(dān)[1].

活動(dòng)3：教材給出正弦、余弦、正切的定義，并探討了角x的范圍，引出三角函數(shù).

困難：對于定義的引出，教材并沒有進(jìn)行對應(yīng)關(guān)系的鋪墊，而是僅僅通過“利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)也可以表示任意角的三角函數(shù)”，并未突出三角函數(shù)概念的本質(zhì).另外教材中的定義是符號化的，這與學(xué)生之前學(xué)過的特殊函數(shù)定義方式有所不同，例如，函數(shù)y=xa(x是自變量，α是常數(shù))叫做冪函數(shù)，對學(xué)生的思維轉(zhuǎn)變有挑戰(zhàn).此外教材給出正弦、余弦和正切定義后未給出正弦、余弦和正切函數(shù)的定義，而是直接給出三角函數(shù)的定義，這種大幅度跳躍的概念不利于學(xué)生理解.

3.2.2 新教材的內(nèi)容安排

活動(dòng)1：首先以函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和直角坐標(biāo)系為背景，探究具體角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，以及坐標(biāo)是否唯一確定，再思考任意一個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)是否唯一確定.

亮點(diǎn)：將此部分設(shè)為探究環(huán)節(jié)，有利于學(xué)生的獨(dú)立思考與合作交流.大部分學(xué)生在合作思考中，通過作垂線利用初中學(xué)習(xí)的勾股定理計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)它們確實(shí)是唯一確定的，既可以提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，又能體會成功的樂趣.在思考任意一個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)是否唯一確定這一問題時(shí)，對于教師而言，需要進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，可以使用信息技術(shù)手段，例如用《幾何畫板》進(jìn)行直觀呈現(xiàn)，給學(xué)生以最佳的視覺效果，突出三角函數(shù)概念的本質(zhì)，得出任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是唯一的，從而得到兩組對應(yīng)關(guān)系.新教材的這種設(shè)計(jì)方式使得定義的呈現(xiàn)水到渠成而且環(huán)環(huán)相扣，由特殊到一般，突出函數(shù)概念的本質(zhì)[2].

活動(dòng)2：給出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，并明確指出正切無意義時(shí)角x的范圍，進(jìn)一步給出正切函數(shù)的定義，表明三角函數(shù)的一般形式.

亮點(diǎn)：前后銜接特別緊密，使學(xué)生能明確三角函數(shù)的定義以及三要素，緊接著給出一般形式，與學(xué)生的已有認(rèn)知建立聯(lián)系，與學(xué)生頭腦中原有的函數(shù)形式相契合，方便學(xué)生領(lǐng)悟.

活動(dòng)3：設(shè)定探究環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)，并使角在特定范圍下，提出問題——同一個(gè)銳角用銳角三角函數(shù)定義求得的正弦與按本節(jié)課所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義求得的正弦是否相等，對于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？

亮點(diǎn)：此部分將銳角三角函數(shù)的定義與本節(jié)所學(xué)三角函數(shù)的定義建立起聯(lián)系，有利于新舊知識的融合，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)推理能力，并以相似三角形的相似比作為橋梁將二者聯(lián)系在一起，使學(xué)生學(xué)會解決問題的新方法，拓展學(xué)生思維，也為后續(xù)例題呈現(xiàn)作鋪墊.

3.3 例題的比較

3.3.1 舊教材的例題安排

活動(dòng)1：第一道例題是求角的正弦、余弦和正切值.學(xué)生通過建立直角坐標(biāo)系，作角，運(yùn)用勾股定理計(jì)算角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)定義便可以直接得出三角函數(shù)值.此過程學(xué)生能夠明晰求三角函數(shù)值的步驟，進(jìn)一步理解三角函數(shù)的內(nèi)涵.

3.3.2 新教材的例題安排

3.4 習(xí)題的比較

舊教材的習(xí)題設(shè)置在整節(jié)結(jié)束后，并沒有在例題講完后直接設(shè)置,與新教材相比并沒有起到及時(shí)鞏固的作用，很容易造成學(xué)生對三角函數(shù)概念的遺忘.

新教材在例題后直接設(shè)置4道習(xí)題：利用三角函數(shù)定義求不同角的正弦、余弦和正切值；已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三個(gè)三角函數(shù)值；點(diǎn)在圓上按順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為1 rad/s，圓的半徑為2，求某時(shí)刻點(diǎn)的位置.第4道題與其他題目有所不同，給出了物理量角速度，可促使學(xué)生從另一個(gè)角度理解三角函數(shù)的概念.這4道習(xí)題題型很豐富，突出了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，加深學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解與應(yīng)用，促使學(xué)生能夠融會貫通、學(xué)以致用，提升理解與應(yīng)用能力.