“1”的10用技巧

?浙江省杭州市蕭山第二高級中學 吳葉芳

“1”真是個神奇的數字，從小學開始我們就知道，“1”是一個自然數，是最小的正整數，是奇數，“1”既不是質數也不是合數，還學會了設“單位1”的解題思路與方法[1].到了中學階段，又學會了更多更巧妙地利用“1”的各種性質來解題的方法與技巧.下面我們通過實例來歸納“1”在數學解題中的10種靈活用法.

1 “1”的正用與逆用

例1求證：tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1).

證明：右邊=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1)

=cotα(tan2α+tanα+1)·tanα(cot2α-cotα+1)

=(tanα+1+cotα)·(cotα-1+tanα)

=(tanα+cotα)2-1

=tan2α+cot2α+1

=左邊.

所以原式得證.

點評：在三角函數中，“1”可以變換為“tanα·cotα”，本題正是反復正用和逆用了“1=tanα·cotα”這一性質，使證明過程變得簡捷.

2 巧用“1”求概率

例2某縣選派甲、乙兩所中學的12名學生組隊參加市創客大賽決賽，其中甲中學推薦了3名男生、2名女生，乙中學推薦了3名男生、4名女生.兩校隊員在市教育局集中培訓了2天后，因參賽名額限制，決定從兩校隊員的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人，組成代表隊參加決賽.求甲中學至少有1名學生入選的概率.

點評：本題的思路是利用概率的性質從反面求解；因為所有事件概率的總和等于1，所以可先求出事件A的反面“甲中學無學生入選”的概率，再用1減去這個概率即可.

3 妙用“1”化簡求值

4 換用“1”求極值

5 作中間變量比較大小

例5比較a=ln 2，b=20.3，c=0.32的大小.

解：ln 20.32，所以c

點評：“1”作為中間變量，在比較大小的運算中具有橋梁的作用[2]，很多數的大小都以0,1為臨界點.

6 解決橢圓的相關問題

點評：本題為了避免求a,b,c的值，將方程中的a設為1，再根據橢圓中a2=b2+c2的關系將b2寫成b2=1-c2，然后將上述方程轉換成一個關于e的方程，最后解出e的值即為所求的離心率.

7 化歸構造公式

例7已知A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，試求A-2 003的末尾數是多少？

解：原式左邊乘(2-1),得A=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)·(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1.

因為21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，個位數的特點是每4個一循環，而16÷4=4，所以216的末位數字是6，那么A的末尾數字是5，A-2003的末尾數是2.

點評：運用化歸思想，巧用“1”乘任何數結果不變的特點把“1”變成(2-1)的形式，靈活地構造出能夠運用平方差公式的式子.

8 用代換法解方程

例8解方程：4x-3=1.

解：因為a0=1(a≠0)，則4x-3=40，所以x-3=0，解之得x=3.

點評：本題主要是靈活代換了a0=1(a≠0),將指數方程轉化為一元一次方程，進而輕松獲解.

9 解決函數恒過定點的問題

例9函數y=loga(x-4)的圖象恒過定點______.

解：由對數函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1，0)，得x-4=1，則x=5.

所以函數y=loga(x-4)的圖象恒過定點(5，0).

點評：指數型函數與對數型函數圖象恒過定點問題是高考?？嫉囊粋€知識點，解答這類題型經常會用到常數“1”的轉化技巧.

10 求動點的軌跡方程

例10設A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，若OA⊥OB,OM⊥AB，求動點M的軌跡.

解：(1)當直線AB垂直于x軸時，M(4p,0).

兩邊同除以x2，整理得

y=k(x-4p).

①

又因為OM⊥AB，所以直線OM的方程為

②

由①×②消去k，得y2=-x(x-4p)，即(x-2p)2+y2=(2p)2，且M(4p,0)也滿足這個方程.

所以，動點M的軌跡是以(2p,0)為圓心，2p為半徑的圓.

事實上，“1”的用法何止10種！上述舉例只是窺其一斑而已，要知“全豹”，學習和掌握更多的“1”的妙用技巧，還需要我們在解題過程中不斷探索、不斷反思、不斷總結，學以致用，不斷提高.