多解思維，多層拓展，多向歸納
——以2021年高考數學新高考Ⅰ卷第15題為例

?山東省淄博第七中學 孫麗云

函數的最值問題，一直是高考中比較常見的一類題型，背景新穎，創新多變．此類問題可以選擇題或填空題的形式出現，也可融入解答題中，形式多樣．既可以基本初等函數的組合形式來設置，也可與其他數學知識的交匯與融合來設置，變化多端．具體破解時，思維多樣，方法多變，可以很好地考查學生的數學知識、數學思想方法和數學能力等，充分體現高考的選拔性與區分度．

1 真題呈現

高考真題(2021年高考數學新高考Ⅰ卷第15題)函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為______．

2 真題剖析

該題題目簡潔明了，條件簡單易懂，以一個“一次函數的絕對值”與一個“對數函數”的差式來建立相應的函數，進而確定該函數的最小值．以簡單條件進行復合與提升．

破解本題的思維各異，方法多樣，可以通過去絕對值符號進行分類討論，結合函數的單調性來確定相應的最小值；也可以借助函數圖象，通過數形結合并利用導數的幾何意義加以求解；還可以借助“對數不等式”的重要結論合理放縮，巧妙轉化，利用不等式的性質加以處理等．

3 真題破解

方法1：分類討論法.

解析：函數f(x)=|2x-1|-2lnx的定義域為(0，+∞).

所以當x=1時，f(x)取得極小值為f(1)=2×1-1-2ln 1=1.

而2ln 2=ln 4>ln e=1，所以函數f(x)在x=1時取得最小值，且最小值為1.

故填答案：1．

點評：根據函數的解析式確定函數的定義域，結合絕對值定義對自變量x進行分段處理，進而分類討論.一方面直接利用函數的單調性來確定極值，另一方面通過對函數求導，結合函數的單調性來確定相應的極值，最后再確定函數的最小值．分類討論法綜合了函數的單調性、導數及其應用等．

方法2：導數的幾何意義法.

解析：令f(x)=0，可得|2x-1|=2lnx.

圖1

在同一平面直角坐標系中，作出函數g(x)=|2x-1|，h(x)=2lnx的圖象，如圖1所示.

所以當x=1時，函數f(x)=|2x-1|-2lnx取得最小值f(1)=|2×1-1|-2ln 1=1.

所以函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1.

故填答案：1．

點評：根據函數與方程的轉化，將題目條件中的函數解析式轉化為兩個基本初等函數，通過作出對應函數的草圖，數形結合確定函數取得最小值時的情形，結合導數的幾何意義，進而求解對應的最小值．利用數形結合法，在考試中只能作出簡單的草圖，加以直觀想象，巧妙應用．

方法3：重要結論法.

解析：根據“對數不等式”的重要結論“lnx≤x-1，當且僅當x=1時等號成立”，可知

f(x)=|2x-1|-2lnx≥|2x-1|-2(x-1)≥(2x-1)-2(x-1)=1.

當且僅當x=1且2x-1≥0，即x=1時等號成立.

所以函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1.

故填答案：1．

點評：“對數不等式”的重要結論作為一個基本結論，在一些小題(選擇題或填空題)中可以直接應用，利用其來合理放縮，化歸轉化，巧妙應用，是破解一些相關不等式問題比較常用的手段．“對數不等式”這一重要結論，作為課外知識的提升與拓展，有必要對其加以理解與掌握．

4 變式拓展

通過適當改變條件，以不同的形式來巧妙設置問題，得到以下對應的變式問題．

變式1函數f(x)=x2-2lnx的最小值為______．

解析：函數f(x)=x2-2lnx的定義域為(0，+∞).

當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(1，+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增.

所以當x=1時，f(x)取得最小值，且最小值為f(1)=12-2ln 1=1.故填答案：1．

變式2已知函數f(x)=ax2-x+lnx，當x≥1時，試求函數g(x)=|f(x)-2lnx|的最小值．

解析：g(x)=|f(x)-2lnx|=|ax2-x-lnx|.

可設函數h(x)=ax2-x-lnx，x≥1.

綜上可得，當a≤0時，函數g(x)的最小值為1-a；當a≥1時，函數g(x)的最小值為a-1；當0

5 解后反思

破解函數的最值問題常見的思維方法主要有以下幾種：

(1)導數方法領銜

通過對函數進行求導運算，結合導函數零點的確定，利用導函數的正負取值情況確定函數的單調性，進而確定對應的極值，從而確定函數的最值問題．直接通過導數運算，可以解決一些熟悉或不熟悉的函數問題，合理求導，以代數運算代替邏輯推理，通過運算來分析與判斷．

(2)數形結合判斷

通過作出相應函數的圖象，結合函數的圖象與性質來分析與處理．利用數形結合判斷函數的最值問題時，必須是一些常見的基本初等函數，或一些熟悉的特殊函數，或把不熟悉的函數合理分解并轉化為熟悉的函數后再數形結合．對于復合類或不熟悉的函數類型，無法借助圖象來數形結合處理．

(3)不等式性質放縮

在具體解決一些特殊函數的最值問題時，有時根據函數的對應關系式的特征，借助基本不等式或柯西不等式、不等式性質以及特殊的不等式，如上面提到的“對數不等式”的重要結論等，也可以很好地處理函數的最值問題.

函數最值問題的求解，借助合理的代數運算與變形，結合通分、因式分解、配湊、平方、配方、構造等運算手段加以輔助處理，或導數方法領銜，或數形結合判斷，或不等式性質放縮等，全面促進數學知識的理解與掌握，有效提高數學能力，提升數學品質，培養數學核心素養．