運用分類討論思想解題“五緊扣”法

?福建省廈門市第六中學 王 楠

1 引言

分類討論的數學思想和方法，在高中數學解題中運用十分廣泛.由于這種方法在解答題型較復雜、難度較大、綜合性較強的數學問題中具有極大的靈活性、便捷性與實用性[1]，深受命題人的青睞，成為歷年來高考的高頻考點，因此我們要高度重視和加強分類討論思想的學習與訓練，特別是要熟練地掌握“五緊扣”法的答題方法與技巧.

2 運用分類討論思想解題“五緊扣”法

2.1 緊扣概念的定義

例1解不等式：3|x+2|+3|x-1|≥28.

綜上所述，原不等式的解集為{x|x≤-2,或x≥1}.

例2設復數z=cosα+(1-sinα)i，α∈[0,2π)，求復數z的輻角主值argz.

思路與方法：解本題的關鍵是緊扣輻角主值的概念進行分類討論，z=r(cosθ+isinθ)(r>0)中在[0,2π)內的θ稱為復數z的輻角主值.

2.2 緊扣運算的要求

很多數學運算都有一定的要求.例如，分解因式、解方程、解不等式等問題，要弄清楚是在實數范圍內還是復數范圍內解答；在實數范圍內，被開方數開偶數次方時不可以為負數，代數式的運算順序與法則都有明確的要求；等等.

例3解方程：x2-2xysinθ+y2=0(θ為常量).

解：原方程可變形為(x-ysinθ)2+(ycosθ)2=0.

當cosθ=0時，又分為下列兩種情況：

思路與方法：本題是緊扣運算要求進行二級分類，需要注意的是，解答時不能只簡單地按cosθ(除數)是否為零進行一級分類，這樣很容易出錯，尤其是在解三角形類問題中更要注意.

解：原方程變形為ax-a-x=b·ax+b·a-x,即

(1-b)a2x=1+b.

①

當b=1時，①式無解，原方程無解；

思路與方法：當題目出現多個參數時，為了避免盲目性，應該先考慮變形，在明確“方向”后再考慮分類討論.例4中就出現了a，b兩個參數，應先將原方程變形，然后把a看作已知數，再對參數b進行分類討論.

2.3 緊扣公式定理的限制條件

解：原方程與下面混合組

同解，其中⑤式即x2+2(a-1)x+a2=0的判別式為

Δ=4(a-1)2-4a2=4(1-2a).

思路與方法：在分類討論時要遵循“不重復，不遺漏”的原則，本題最后的綜述就未忘記a≤0的情況，這樣就可以防止出現遺漏現象.

解：當q=1時，由Sn=n，Sn+1=n+1，可得

思路與方法：本題將分類討論的結果用分段形式簡潔地表示出來，給人以清晰的感覺，同時分類討論也做到了不重不漏，一清二楚.

2.4 緊扣函數的性質

對某些涉及到函數的單調性、值域范圍等數學問題，要緊扣函數的性質以及分類討論參數的不同取值情況.

例8已知a>0,a≠1，解關于x的不等式

loga(x2-2ax-2a2)>2.

所以x<-a，或x>3a.

思路與方法：解對數不等式必須考慮相應對數函數的單調性，因此需對含有參數的底數進行分類討論，這既是解題的要求，也是要掌握的方法與技巧.

2.5 緊扣圖形的位置變化情況

在幾何題型中，經常會碰到圖形可能涉及多種位置的不同情況，因此需要分類討論.

例9a，b，c，d是空間四條直線，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( ).

A.a∥b或c∥d

B.a∥b且c∥d

C.a，b，c，d中至多有一對直線互相平行

D.a，b，c，d任何兩條直線都不平行

解：若a，b相交，必能確定一個平面α，由題設可知c⊥α，d⊥α，則c∥d；

若a∥b，滿足題設的直線c，d位置關系不定，可能平行、可能相交、也可能異面；

若a，b異面，由c⊥a，c⊥b，則c平行或重合于a，b的公垂線，同理，d也平行或重合于a，b的公垂線，得c∥d.

綜上所述，四線之中必有一對相互平行.故選：A.

思路與方法：本題中涉及四條直線，元素較多，關系復雜，我們只能先按其中某兩條直線的位置關系進行分類討論.

例10若復數z，z2，z3在復平面上所對應的三點A，B，C組成直角三角形，且|z|=2，求z.

解得z=±ki，于是|z|=|k|=2.故z=±2i.

思路與方法：根據題設條件，A，B，C三點都有可能作為直角頂點，所以要分三種情況進行討論.

3 總結

從上述典型例題的解答中可以看出，分類討論是一種很重要的思想方法.運用這種方法的關鍵是要處理好“分化”與“組合”、“局部”與“整體”之間的辯證統一關系[2]，在此基礎上還要多練習，勤思考，善于總結，長此堅持下去，一定能夠不斷提高數學解題能力.