向量方法在立體幾何問題中的常見應用

?陜西省鎮巴中學 馬應雄

1 證明直線與平面平行

圖1

圖2

又因為AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF.

2 證明直線與平面垂直

運用向量方法證明直線與平面垂直的大致過程為：①建立合理的空間直角坐標系；②證明所證直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直；③證明線面垂直.如下面例2的解題思路與步驟所示.而常見的用直線的方向向量與平面的法向量共線的思路證明線面垂直，常常會因為法向量的運算求解變得復雜，與應用向量方法的最初目的背道而馳.

圖3

例2如圖3，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2,H，F分別是線段AB，PD的中點.

證明：PD⊥平面AHF.

圖4

所以PD⊥AF，PD⊥AH.

又因為AF∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.

3 求解空間角

圖5

例3如圖5,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1,∠ABC=90°，點E，F分別是棱AB，BB1的中點，求直線EF和BC1所成角的大小.

圖6

解析：建立如圖6所示的空間直角坐標系B-xyz，設AB=BC=AA1=2.

確定點A，B，C，A1，B1，C1的坐標，可得

向量方法在立體幾何問題中的應用十分廣泛，能使線面平行證明問題、線面垂直證明問題以及空間角度求解問題的解答更加高效準確.向量方法的解題思路大致分為三步：首先根據已知的條件建立合適的空間直角坐標系，其次把空間關系轉變為數量關系，最后運算求出.增強對向量方法的理解和合理運用，可以使許多立體幾何問題順利解決.