例析數(shù)列問題中的“安全隱患”

?邢臺(tái)市第十九中學(xué) 崔勝峰

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體，同時(shí)也是高考、競(jìng)賽及其他各類考試命題的熱點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，經(jīng)常會(huì)因忽視“安全隱患”而導(dǎo)致解題的失誤.本文中列舉這些“安全隱患”，以期起到防微杜漸的作用.

1安全隱患一：基本概念不清

例1已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N*，an=n2-λn恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

錯(cuò)解1:因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an+1>an恒成立，即λ<2n+1恒成立.

所以，λ的范圍為(-∞，2n+1).

正確1：因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an+1>an恒成立，即λ<2n+1恒成立.

于是有<(2n+1)min.

因?yàn)閚∈N*時(shí)，2n+1的最小值是3，所以λ的取值范圍為(-∞，3).

點(diǎn)評(píng)：求參數(shù)λ的范圍(或值)，應(yīng)該是一個(gè)具體的范圍(或數(shù))，而不應(yīng)是一個(gè)含變量的代數(shù)式.

所以，λ的取值范圍為(-∞，3).

點(diǎn)評(píng)：用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，一定要注意其定義域是N*或其子集這一特性，因而數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn).

錯(cuò)解:設(shè)Sn=(2n+3)k，Tn=(5n+6)k,k≠0.

于是a7=S7-S6=2k，b7=T7-T6=5k.

正確1：設(shè)Sn=kn(2n+3),Tn=kn·(5n+6),k≠0.

于是a7=S7-S6=29k，b7=T7-T6=71k.

2 安全隱患二：忽視公式條件

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解:因?yàn)镾n=3n+1，所以Sn-1=3n-1+1.

故an=Sn-Sn-1=2×3n-1.

正確：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=4.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2×3n-1.

點(diǎn)評(píng)：由Sn求an時(shí)，一定要分n=1和n≥2進(jìn)行討論，因?yàn)閍0,S0是沒有意義的.解出兩段后進(jìn)行驗(yàn)證，若不能統(tǒng)一則要寫成分段函數(shù)的形式.

例4已知等比數(shù)列{an}中，a3=2,S3=6，求通項(xiàng)公式an.

于是2q3-3q2+1=0，即(q-1)2(2q+1)=0.

所以an=(-1)n-124-n.

正解：當(dāng)q=1時(shí)，a1=a2=a3=2,S3=6，符合題意.所以q=1時(shí)，an=2.

綜上所述，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=(-1)n-124-n.

點(diǎn)評(píng)：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要特別注意對(duì)公比q=1和q≠1 進(jìn)行判斷[1]，以免漏掉公比q=1的情形.

3 安全隱患三：忽視隱含條件

例5首項(xiàng)為18的等差數(shù)列{an}，從第10項(xiàng)起開始為負(fù)數(shù)，求公差d的取值范圍.

錯(cuò)解:因?yàn)閍10=a1+9d=18+9d，所以18+9d<0，解得d<-2.

正解：由an=18+(n-1)d，a9≥0,a10<0，得18+8d≥0,18+9d<0.

點(diǎn)評(píng)：上述錯(cuò)解忽略了“開始”一詞的含義，即第10項(xiàng)是等差數(shù)列的第一個(gè)負(fù)項(xiàng)，前9項(xiàng)都是非負(fù)的，所以審題務(wù)必仔細(xì).

例6已知數(shù)列-1,a1,a2,-9成等差數(shù)列，-1,b1,b2,b3,-9成等比數(shù)列，求(a2-a1)b2的值.

當(dāng)b2=3時(shí)，(a2-a1)b2=-8；當(dāng)b2=-3時(shí)，(a2-a1)b2=8.

綜上所述，可得(a2-a1)b2=±8.

正解：因?yàn)?1,a1,a2,-9成等差數(shù)列，所以

故(a2-a1)b2=8.

點(diǎn)評(píng)：b2=(-1)q2<0是題目中隱含的條件，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時(shí)要特別注意這類條件.

4 安全隱患四：忽視內(nèi)在規(guī)律

點(diǎn)評(píng)：上述錯(cuò)解誤以為只添加一項(xiàng)，其內(nèi)在規(guī)律是分子均為1，分母是連續(xù)的正整數(shù)，所以應(yīng)增加4項(xiàng).

例8求1+3+32+33+……+3n的和.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列求和時(shí)，一定要弄清楚項(xiàng)數(shù)，本題是n+1項(xiàng)而不是n項(xiàng)，所以要認(rèn)真審題，觀察出內(nèi)在規(guī)律.

5 學(xué)習(xí)建議

基于以上常出現(xiàn)的這些失誤，提出一些建議，期望在學(xué)習(xí)數(shù)列的過程中對(duì)學(xué)生有所幫助.

(1)掌握基本知識(shí).系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關(guān)概念、表示，特別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和公式.

(2)掌握基本方法.數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，因而可以用函數(shù)的思想解決求通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn的問題；運(yùn)用方程的思想[2]，設(shè)出基本量首項(xiàng)、公差、公比等，列方程求解，特別注意要會(huì)用“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算；運(yùn)用分類討論思想，如對(duì)項(xiàng)數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù)的討論，公比q是否等于1的討論，等等；運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，如an與Sn的轉(zhuǎn)化，非特殊數(shù)列通過加減項(xiàng)轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，等等；另外，如觀察法，類比法，公式法，待定系數(shù)法，換元法，錯(cuò)位相減法，分組求和法，裂項(xiàng)相消法，倒序相加法的使用等.

(3)加強(qiáng)綜合應(yīng)用.把數(shù)列知識(shí)與函數(shù)、方程、不等式、平面向量、二項(xiàng)式定理、解析幾何、概率、實(shí)際問題等相結(jié)合，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.