例談“特例法”與“設元法”的另類應用

?甘肅省張家川縣第一高級中學 馬啟榮

比較大小是近年高考數學中經常考查的一類常規題型，側重考查指數函數、對數函數以及冪函數的圖象與性質在解題中的靈活運用，考查學生的運算求解能力以及邏輯推理能力.基于此，筆者著重歸納整理了含有三個變量的指數式連等(或者對數式連等)的大小比較問題，旨在幫助學生靈活運用“特例法”與“設元法”迅速分析、解決此類問題，進而提高解題能力，提升數學核心素養.

1 三個“指數式連等”的大小比較問題

一般地，分析、解決含有三個變量且涉及三個指數式連等的大小比較問題時，常用的解題方法有兩種：一是先假定其中的某一個變量的取值為常數，再根據這個變量的取值分析其他兩個變量的取值情況，以便靈活運用相關指數運算法則或者其他知識進行大小比較，這種方法稱之為“特例法”；二是先對連等式進行換元，即設連等的指數式為某一個參數，再根據指數式與對數式的互化，將指數式轉化為對數式，從而便于靈活運用相關對數運算法則或者其他知識進行大小比較，這種方法稱之為“設元法”.

例1已知x>0,y>0,z>0，如果2x=3y=5z，那么( ).

A.3y<2x<5zB.2x<3y<5z

C.3y<5z<2xD.5z<2x<3y

解析1：假設z=1，則根據2x=3y=5可得x=log25,y=log35，所以2x=log225

假設y=1，則根據2x=3可得x=log23，所以2x=log29>3y.

綜上所述，3y<2x<5z.故選答案：A.

故選答案：A.

2 三個“對數式連等”的大小比較問題

一般地，處理含有三個變量且涉及三個對數式連等的大小比較問題時，常用的解題方法有兩種：一是先假定某變量的取值為一個常數，再根據該變量的取值分析其他兩個變量的取值情況，以便靈活運用相關對數運算法則或者其他知識進行大小比較，這種方法稱之為“特例法”；二是先對連等式進行換元，即設連等的對數式為某一個參數，再根據對數式與指數式的互化，將對數式轉化為指數式，從而便于靈活運用相關冪函數的單調性或其他知識進行大小比較，這種方法稱之為“設元法”.

所以應選：B.

溫馨提醒，冪函數y=xα在區間(0,+∞)上的單調性可分為以下三種情況：①當α>0時，冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞增；②當α=0時，冪函數y=xα(為常數函數)在(0,+∞)上不具有單調性；③當α<0時，冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞減.

牛刀小試：(多選題)(2021屆江蘇省揚州市高三上學期期中考試)已知正數x,y,z滿足3x=4y=6z，則下列說法中正確的是( ).

解法1：假設z=1，則根據3x=4y=6可得x=log36,y=log46，則x>1,y>1.

綜上所述，應選擇：ACD.

解法2：設3x=4y=6z=k，則k>1，且x=log3k,y=log4k,z=log6k.

因為x+y=log3k+log4k

=log6k·log36+log6k·log46

=log6k·(log36+log46)

綜上所述，應選擇：ACD.

綜上，通過上述歸類舉例解析以及牛刀小試可知，分析、解決涉及三個指數式連等(或者三個對數式連等)的大小比較問題，常用解題方法有“特例法”和“設元法”.對比即知，利用“特例法”解題往往比較簡單，便于迅速獲解；而運用“設元法”解題需要具有較強的對式子進行化簡、變形的能力，同時需要對相關指數函數、對數函數以及冪函數的單調性具有較強的運用能力.總之，希望通過學中“悟”，以達成在“悟”中不斷提升解題能力. 誠如此，那么有關涉及指數式連等、對數式連等的大小比較問題，我們真的可以說：Soeasy！