初中數學現行三版教材中“統計與概率”內容編排比較分析

張定強 王金燕

摘? ? 要：教材是課程的重要載體，不僅承載可教可學的數學知識，還包含組織和引導教與學的效用，體現“如何教”和“如何學”的動態屬性，以及隱性地承載與傳播社會文化價值的功能.采用以定性為主、定量為輔的教材研究方法，從教學內容的安排與組織兩方面來整體把握研究對象，可以深入挖掘教材的編寫意圖.因“數據分析觀念”是學生發展的十大核心概念之一，故對現行三版教材中的“統計與概率”內容進行分析研究，有助于對各教材的設計理念、呈現意蘊等作精細的挖掘，掌握編寫者編排的真實意圖，從而更好地運用教材服務教學.

關鍵詞：初中數學教材;內容編排;統計與概率

一、研究背景

隨著信息技術的飛速發展和大數據時代的到來，運用數據進行分析、推斷以及決策已經成為21世紀公民必備的素養.《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》將“統計與概率”作為4大內容領域之一列入數學課程，《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）進一步明確“統計與概率”的核心目的是發展數據分析觀念，并將這一核心目的確定為學生發展的十大核心概念之一.這種“觀念”是需要學生在親身經歷的過程中培養出來的對一組數據的“領悟”，由一組數據所想到的、所推測到的，以及在此基礎上，對于“統計與概率”獨特的思維方法和應用價值的認識[1].教材是課程的重要載體，“以教材為依據”已經成為“教、學、研”的一個重要特征.數學教材已不再僅僅靜態地承載可教可學的數學知識，還包含組織和引導教與學的效用，體現著“如何教”和“如何學”的動態屬性，以及隱性地承載與傳播社會文化價值的功能[2].

目前研究教材的思路有兩種.第一種多運用史寧中團隊的課程難度模型，將課程難度量化后進行靜態間的比較[3]，但該模型對“課程”的定位是基于課標視角的，課標和教材屬于上下位關系，二者承載的功能和屬性有所差異，有研究者提出這種模型應用于教材后，對“教材所負載的課程經驗本身的認知困難”的屬性有較好的反映，卻缺乏對“教材編寫或課程開發過程中試圖消解上述認知困難而所作出的努力程度”的反映[4]，特別是在“一標多本”下，教材編寫差異更多地體現在“開發過程中試圖消解認知困難所作出的努力程度”上，而非其“所負載的課程經驗困難程度”上.第二種是運用定性為主、定量為輔的研究方法，從教學內容的安排、組織兩方面整體把握研究對象，深入挖掘教材編寫意圖.本文運用第二種研究思路，對我國發行較多、使用較廣泛的三版教材中的“統計與概率”內容進行比較分析，以期引發教育工作者的思考，提升教材建設和使用的水平.

二、研究設計

（一）研究對象

筆者選取按照《課程標準》編寫、審定通過的由人民教育出版社2012年出版、北京師范大學出版社2013年出版以及華東師范大學出版社2012年出版的三版初中數學教材（以下分別簡稱“人教版”“北師大版”和“華東師大版”），對其中的“統計與概率”內容進行比較分析.

（二）研究方法

筆者采用文本分析法、定性研究法和定量研究法對三版教材的“統計與概率”內容進行比較：在宏觀層面，先從教材的靜態屬性方面加以研究，包括分析“統計與概率”的章節占比、章節體例和目錄設置，然后從動態屬性對章節結構進行分析;在微觀層面，剖析不同版本教材知識的引入和呈現方式.

三、研究結果及分析

（一）章節占比

筆者統計三版教材中“統計與概率”在不同年級所占頁碼數，并計算其占比（不包含詞匯索引和數學實驗附圖等），得到如表1所示的結果：三版中所占的比重都相對較低，均未超過15%.其中，華東師大版各年級占教材的比重隨年級升高而遞增，且總體占比最高;北師大版各年級占比差異大，總體占比居中;人教版占教材的總體比重最低，僅接近10%.

（二）章節體例

三版教材的章節體例如表2.

1.相同之處

從表2可看出：三版教材在體例上均按照章節順序展開.章首有章前言，小節內容是教材的核心，節內設置有問題或問題情境、探究過程、小貼士、例題、練習和習題等，還包括拓展延伸性質的諸如“實驗與探究”“讀一讀”“閱讀材料”等欄目，章末設置復習題.

2.不同之處

在章前言，人教版用較多的篇幅介紹背景知識以引出本章探討的主要問題，章主題圖為真實情境;北師大版以多個簡短的提問為主，列有明確的章學習目標，主題圖為虛擬人物;華東師大版呈現一個完整且圖文并茂的問題情境，情境下方包含與本章核心內容強相關的一則引語.在章末，人教版和華東師大版設置“小結”欄目，給出本章知識結構圖和要點回顧;北師大版設置“回顧與思考”欄目，以問題串為主啟發學生自主梳理章節知識，建立個性化的認知框圖.

對于“統計與概率”活動，人教版在節末和章末分別設置了“課題學習”和“數學活動”欄目，從兩種形式上助推學生發展[5];北師大版在書末設置了與本冊內容相關的“綜合與實踐”欄目，值得一提的是，盡管北師大版九年級下冊沒有“統計與概率”章節，但依然提供了兩個與統計、概率相關的“綜合與實踐”活動，便于學生鞏固知識和綜合應用;而華東師大版則在每章末尾設置了與章內容相呼應的“綜合與實踐”活動.

（三）目錄設置

分析三版教材“統計與概率”內容目錄，可知人教版共有3章9節內容（含兩節課題學習）、3個數學活動;北師大版共有4章13節內容、6個“綜合與實踐”活動;華東師大版共有4章9節內容（分為21個小節）、4個“綜合與實踐”活動.

縱向觀察目錄設置，筆者發現：人教版的結構體系最凝練，章節命名簡明，以“實驗與探究”“信息技術應用”“閱讀與思考”等拓展欄目升華本小節知識，數學味濃厚;北師大版章節數目居中，從“統計圖的選擇”“從統計圖分析數據的集中趨勢”等章節名可知，其較為重視學生對圖表的靈活運用;華東師大版的結構體系最為翔實，部分小節名以問句形式呈現，如“數據有用嗎”“這樣選擇樣本合適嗎”等，引導學生自主思考，小節名稱和拓展欄目中多次提到計算器和計算機的使用，說明教材較注重與信息技術的融合.此外，華東師大版拓展欄目的數量是最豐富的，在內容上還將文學、英語等知識與“統計與概率”內容進行了跨學科統整.

（四）章節結構

三版教材“統計與概率”內容中統計和概率知識都是分章獨立編寫的，其中：人教版統計占2章，概率占1章，結構安排為先統計后概率;北師大版統計和概率各占2章，并且交替呈現;華東師大版統計占3章，概率占1章，呈現順序為統計—概率—統計.

1.結構呈現

具體而言，人教版和北師大版統計部分的結構設計較為相似，均遵循數據從收集、整理、描述（表示）到分析、預測的過程;華東師大版先呈現了數據的收集、表示和初步處理，最后在九年級下冊用單獨一章來闡述“樣本與總體”.這樣，人教版和北師大版基本按照“收集數據→全面調查（普查）和抽樣調查→統計圖→數據的集中趨勢→數據的離散程度”的順序呈現知識，而華東師大版則是以“收集數據→扇形統計圖→數據的集中趨勢→數據的離散程度→普查和抽樣調查（含直方圖）”的順序呈現知識.

在概率部分，三版教材各有特點：人教版遵循“隨機事件→概率→用列舉法求概率→用頻率估計概率”的順序，經歷了“理論分析→重復試驗求隨機事件的概率”的過程;北師大版遵循“可能性→頻率穩定性→概率→等可能事件概率→用樹狀圖或表格求概率→用頻率估計概率”的順序，相較人教版對概率的直接引入，北師大版以試驗中頻率的趨近值引出概率，經歷了“從重復試驗→理論分析→重復試驗求隨機事件的概率”的過程;而華東師大版的知識順序為“不確定現象→不確定現象的規律→概率→頻率與概率→用樹狀圖或表格求概率”，經歷了“重復試驗→理論分析→重復試驗→理論分析求隨機事件的概率”的過程，可以看出華東師大版是先讓學生反復體會頻率和概率的辯證關系，最后引出用樹狀圖或表格求概率的方法.

2.分析討論

綜合來看，人教版和北師大版中的統計和概率既分章獨立編寫，內容上也沒有明顯的銜接或相互融通，基本上是先學統計再學概率，這是因為統計數據中隱藏著概率特性[6].華東師大版雖然也分章編寫，兩部分內容卻相互聯系，這種聯系既包括統計對概率知識的鋪墊，也包括概率對統計知識的加深理解.

例如不同于從直方圖中引出頻數，華東師大版在“統計與概率”內容的學習伊始第15章第1節《數據的收集》中就已明確介紹了頻數和頻率的概念，設計擲骰子收集數據、記錄頻數和頻率的活動，與第25章第1節《在重復試驗中觀察不確定現象》形成過渡與銜接.同樣，第28章第3節《借助調查做決策》中的“例2”與第25章第2節第1小節《概率及其意義》中的“思考”欄目前后呼應，幫助學生在第三學段末綜合理解“統計與概率”的內容.這也就能解釋為何華東師大版要把“樣本與總體”作為單獨一章放在九年級下冊學習.基于推斷性統計分析是利用樣本數據去推測總體的情況，因此，理解用樣本估計總體是這塊知識需要突破的重難點.經過概率一章的學習，學生已經對“隨機”的含義有了更為深刻的理解，能進一步感悟數據的隨機性和規律性.在這種認知基礎下，以擲骰子中“幾次試驗說明不了什么問題”來闡述樣本的代表性，理解“樣本容量應該足夠大”這一內涵，學生接受起來將更為容易，也能揭示出概率思想對理解統計的重要意義.而直方圖能較好地反應數據分布情況，華東師大版用逐漸擴大的樣本分布直方圖來代表趨近于總體數據的分布情況，為樣本估計總體的意義解析提供了新視角.這一視角對理解簡單隨機抽樣或直方圖的性質，都能起到很好的支撐作用，同時也能為學生在高中階段將要學習的正態分布統計模型奠定基礎.

（五）知識的引入和呈現方式

教材中的知識內容以什么樣的方式引入和呈現，直接影響著教師的教和學生的學.筆者發現，三版教材中“統計與概率”部分在內容的引入和呈現上存在共同點，如都注重使用不同類型的問題情境引入內容、利用圖表幫助學生建立數據分析觀念等，但同時也各具特色.

1.人教版更為概括和抽象

人教版將“統計與概率”內容用9節講完，其余2節為應用性質的課題學習.在統計部分，以第10章第1節《統計調查》為例，人教版以一個完整的數據統計過程向學生傳達了從調查問卷的選取和設計、字母代替數的計數技巧、劃記法記錄表格到條形圖、折線圖的回顧、扇形圖角度算法等知識，接續介紹了抽樣調查的代表性和簡單隨機抽樣，最后以一個歸納概括結束本小節.相比之下，同樣的內容北師大版用了2.5節講授，華東師大版用了1章外加2小節，可見人教版的知識介紹簡單直接，注重數學知識的統整應用.概率部分也是如此，相較于北師大版和華東師大版2～3次的螺旋進階，人教版從理論分析到用頻率估計概率完成了概率內容的全部講解，每個知識點環環相扣，從引入、概念、例題到歸納，內容的抽象性和概括性較為明顯.

2.北師大版更注重分步驟和多視角

每個學習者接受知識的程度和建構知識的方式不同，因而在接受新概念或程式的過程中，分步驟和多視角的講解就能給學習者更多的理解空間.與其他兩版相比，北師大版在某些知識的講述上要更為細致和多樣.例如《數據的表示》一節，北師大版在問題情境中以三步提問啟示學生用扇形統計圖表示數據，展現從計算扇形百分比到親自繪制統計圖的步驟.除此之外，還在“做一做”中引發學生對扇形統計圖的整體感知和逆向思考，在“議一議”中提示學生兩個扇形圖區域不能直接看百分比大小進行比較，在“想一想”中表明未加處理的重復數據不能直接繪制扇形統計圖等.對于直方圖，北師大版以條形統計圖在實際應用中的局限性作為引導，讓學生整體感知和體會直方圖存在的必要性，這里并不要求學生的掌握程度一次到位，而是在后續知識中詳細介紹了如何對相對復雜的數據進行分組、確定組距、統計頻數、畫直方圖等步驟.學生通常容易混淆條形圖和直方圖，不理解二者的本質區別，這樣分步講解，既能讓學生明晰兩種統計圖的性質，又突破了畫直方圖的重難點.用頻率穩定性引出概率時，北師大版的第一個實驗活動是擲圖釘，擲圖釘的結果自然不同于傳統拋硬幣得到的正反兩面頻率相近，盡管初中的概率問題大多是等可能事件，但在學習伊始就經歷這樣的數學活動，卻能很好地消解學生對隨機事件概率所持有的一種“特殊感”.

3.華東師大版更注重經歷各種活動

教材在展現人類文明精華的同時，也要考慮學生探究時的心理邏輯、歸納時的同化順應以及認知中的整合建構，“統計與概率”內容的獨特性在于學生是在數據活動中學習新知的，因此設計各種“統計與概率”活動就顯得尤為重要.三版教材在引入和呈現知識時都注重探究性和活動性.相比之下，華東師大版提供了各種填空和空白圖表讓學生補充、繪制，如“拋擲兩枚硬幣頻數、頻率統計表”“頻率隨拋擲次數變化趨勢圖”“平均投擲骰子幾次擲得1次6”和附錄中的“男/女同學身高、體重數據表”等，甚至在練習題中也設置了各種空圖表，意在讓學生經歷活動后統計填寫，這樣將活動過程顯化和量化，能在一定程度上促進師生對“統計與概率”活動的重視程度和實踐水平.另外，華東師大版對活動經歷的注重程度還體現在計算器和計算機的使用上.一方面，教材中使用計算器和計算機的頻率較高，如“用計算器求平均數”“用計算器求方差”“用計算器模擬試驗”“用計算機畫圖”“用計算機求平均數、中位數和眾數”等;另一方面，教材對使用計算器和計算機的講解過程較為詳細，例如《用計算器求平均數》一小節是將前一節的例題作為數據對象，分步講解了數據的輸入和輸出過程，展示真實的操作流程圖，最后提出讓學生實際動手操作，求得計算結果.

值得一提的是，華東師大版多次呈現了“試錯”過程和“不完美”情境.如在《利用統計圖表傳遞信息》一節中有這樣一個問題：“與29屆北京奧運會相比，我國代表團在30屆獲得的獎牌總數有所下降，你怎么解釋這個結果呢？”此處提供的問題情境并不完全按照學生預期的走勢發展，需要結合實際背景剖析現象，理性分析，客觀地評價和認識數據，進而真正了解研究對象.又如在引出“方差”概念時，華東師大版先提供了一種學生容易想到的“用數據與平均數差值的累加來反映一組數據離散程度”的方案，方案被否決后，又讓學生自行設計表示離散程度的方法，從而探索“方差”所蘊含的本質思想，后續“思考”欄目中的問題“7次測試中小明因故缺席2次，怎樣比較誰的成績更穩定”，也是引導學生去解決那些在生活中普遍存在的“不完美”“不理想”的現象，進而更好地理解和掌握“方差”.同樣，在說明簡單隨機抽樣的樣本量要足夠大時，華東師大版也以試錯的方式，分別用樣本數為5，10，40的直方圖分布情況和總體直方圖分布情況進行對比，帶領學生逐步感悟用樣本估計總體的本質和關鍵.

四、結語

隨著課改的有序推進，“一標多本”下各教材間同一性與多樣化并存的現實使得教材的設計理念、呈現意蘊有所不同，這就為教材的豐富與發展提供了空間，也為教材的使用者留下了廣闊的探索機會，教師需要更加精細化地挖掘教材間的異同，掌握編寫者編排的真實意圖，從而更好地運用教材服務教學.

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：95.

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