證據獨立性及其對目標識別的影響研究

關 欣, 于昊天, 衣 曉

(海軍航空大學, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

置信函數來源于“lower probabilities”,在20世紀60年代由Dempster提出。到了70年代,Shafer將其引申發展為證據理論,因此證據理論又被稱為Dempster-Shafer證據理論(簡稱為DST)。證據理論用基本概率賦值(basic probability assignment,BPA)函數表征某個命題的信任度。DSmT(Dezert-Smarandache theory of plausible and paradoxical reasoning)克服了DST內在的限制,展現出很大的優勢。

然而,從Smets定義出發,發現Dempster組合規則似乎違反或破壞了證據的獨立性,而DSmT理論并未出現這樣的問題。

當前判斷證據的獨立性沒有統一的方法,其中一種方法是基于概率統計中的相關系數來判斷獨立性。這種方法對于大樣本情形是有效的,但概率論中常用的相關系數本質上是研究隨機變量間線性關系的函數,并不能涵蓋所有的相關關系。小樣本或無樣本情形使得這種方法的可靠性大大降低。本文將從Smets定義出發,針對小樣本或無樣本情形,從目標信息獨立性的角度,提出一種解釋和判斷獨立性的方法。

證據獨立性是Dempster和DSm證據組合規則的前提,然而真實世界的信息之間往往存在著不同程度的相關性。如果忽略證據之間的相關性,或者說默認證據之間的獨立性,直接使用Dempster等組合規則將導致不合理的結果。本文將對Zadeh悖論進行討論,給出新的分析和解釋。

為了解除獨立性對Dempster組合規則的限制,也就是研究相關證據組合問題,目前主要有兩種方法。一種方法是對證據源進行處理從而消除相關性,這種方法認為相關性是由于同一證據源與兩個證據源合成產生的,而這種假設的局限性在于假設共同信息是以共同證據源的形式存在的。另一種方法是對Dempster組合規則進行修改而消除獨立性的限制,來解決相關證據的組合問題。這類方法使用的前提是對于不同證據體的信息共享部分有一定的先驗知識,則可以針對相關部分進行處理,從而消除相關的影響。對于具有高沖突特性的證據組合問題,其處理也暗含了一定的先驗知識。

如何對沒有上述前提的相關證據進行組合呢？由于證據理論是概率論在一定意義上的推廣,因此類比概率論,可以把證據的獨立性關系分為完全獨立、完全相關和混合相關。一定條件下,混合相關情形的概率組合介于獨立和完全相關情形的概率組合結果之間,那證據是不是也有類似結論呢？

綜上,由于目前沒有關于證據獨立性判斷的統一方法,而且基于大樣本情形的相關系數判斷法方法對于小樣本或無樣本情形不適用。因此,針對小樣本或無樣本情形,本文嘗試從邏輯的角度出發探討獨立性判斷問題。基于Smets關于證據獨立性的定義,研究提出一種基于目標信息獨立性的證據獨立性判斷方法。通過對證據獨立性的分析,不僅可以對經典的Zadeh悖論從新的角度進行討論,也可以為目標識別中不同傳感器獨立性的合理判斷提供指導。最后,基于目標識別背景,針對小樣本的相關證據組合問題,考慮從復合事件概率組合中借鑒方法,探索合適的組合方法。

1 證據理論

1.1 BPA

設={,,…,}是一個元素有限的識別框架。

在DST中,元素是完備和互斥的。2表示的冪集,記為2=(,∪)。定義BPA函數:2→[0,1]滿足

(1)

在DSmT中,元素可以相交。令表示的超冪集,記為=(,∪,∩)。其BPA函數滿足

(2)

1.2 經典組合規則

121 Dempster組合規則

Dempster組合規則來源于DST中的Shafer模型。假設識別框架定義在={,,…,}上的兩個獨立的等可靠的BPA：和,則和的Dempster組合規則滿足:

(1)(?)=0;

(2) ?(≠?)∈2,有≠時：

(3)

其中,表示沖突度：

的使用前提是當且僅當式(3)的分母非零,即<1。

122 經典DSm組合規則

假設同一識別框架下兩條獨立、不確定、高沖突的信源、,以及定義在上的兩個廣義BPA函數、,經典DSm組合規則定義為對?∈-{?}。有:

(4)

式中：()(?)=0,除非在特殊的例子中信源把非零值賦給空集(如Smets的概率轉換模型)。

2 證據獨立性判斷方法

1976年Glenn在《A mathematical theory of evidence》書中提出信度函數的組合基于證據體的獨立性,這一組合的前提條件被很多組合規則采納。例如,DSmT遵從了Smets對證據獨立性的定義。

2.1 Smets對證據獨立性的定義

在文獻[5,29]中,Smets如下定義了證據體的獨立性。

(1) 如果一個信度函數滿足:除了全集以外,所有真子集的信度值均為0,那么這種信度函數稱為空信度函數。

(2) 證據體對應的限定于空間中的一個區域。對于空間和。給定證據體1表示的一個子集為真,證據體2表示的子集為真,在某個新的空間上構造信度函數Bel和Bel。考慮由證據體1(為真)誘導出的上的信度函數Bel(·|),以及由證據體2(為真)誘導出的上的信度函數Bel(·|)。如果兩個信度函數都是空信度函數,那么就稱這兩個證據體是獨立的。因此,兩個證據體獨立的條件是:其中一個證據體對另一個證據體的信度值完全不知道。

基于上述定義回顧Dezert給出的例子。

一個75歲的老人和他9歲的孫子看到了一個45歲左右的搶劫犯正在搶奪一個老婦人的包。警察向他們詢問搶劫犯的信息(年齡大還是小)。基于識別框架={=年輕,=年老},利用DSm模型將證詞記為

這兩個證據體存在高沖突性。利用DSmT組合規則,得到新的BPA：

=0009 9+0009 9+
0000 1∪+0980 1∩

因此,結論是∩,即警察確認搶劫犯比老人年齡小且比孫子年齡大。

如果令和分別代表由老人和孫子提供的證據所對應的概率空間。基于老人的認知,的子集和分別對應年輕和年老。同樣,基于孫子的認知,的子集和分別對應年輕和年老。

現在,假設警察還對其證詞一無所知。顯然,在空間和上的置信度分布函數都是空置信函數。假設是真,即搶劫犯相對于老人是年老。一般來說,搶劫犯相對孫子也應該是年老,這就是說是真的可能性也很大,同時是真的可能性很小。換句話說,基于“是真”條件下,上的置信度函數不是空置信函數。同樣的方法,基于“是真”條件下,上的置信度函數也不是空置信函數。所以,由老人和孫子提供的證據體是非獨立的。

2.2 Dempster組合規則中的獨立性問題

對于識別框架的兩個證據和,,,… 和,,… 分別是兩個證據的焦元。用表示合成之后的證據。對于Dempster組合規則,如果∩=?,則認為,是矛盾的,∩不可能發生,即(|)=0。

于是,對于證據上的信度函數Bel,有Bel(|)=0且Bel(-|)=1。因此,按照Smets對獨立性的定義,由(為真)誘導出的上的信度函數Bel(·|)一定不是空函數,即與不是獨立的。基于此,Dempster組合規則中,把∩=?當做矛盾處理與證據獨立性這個條件是背離的。而對于DSm理論模型,允許組合后∩的存在,就不會出現這樣的問題。

事實上,僅從組合的計算形式上來看,兩個獨立證據源所涉及的事件之間不存在矛盾,但是實際中,某些事件組合不可能發生,因此人為將其歸為空集(如∩=?),這實際上是引入了新的信息,或加入了限制。換句話說,在加入這種特定限制之前,證據是嚴格獨立的,這種限制的引入在一定程度上破壞了獨立性,引入了相關性。從這個角度來講,對于利用沖突再分配策略的組合方法,都不是嚴格意義上的基于獨立性的組合方法。或者說,沖突再分配策略處理的證據組合問題,證據之間不是嚴格獨立的。

2.3 證據組合的內涵

在目標識別中,通過觀察和測量手段獲取目標的特征信息,經過信息處理,得到一個目標的像或模型,這個像包含了對目標的所有認知信息。對于多源信息融合系統,需要對多個信源的信息進行融合,每個信源都提供了目標的一部分或全部信息,為得到目標最終的像提供依據。

從證據理論的角度來看,每個信源提供的證據都代表了一種目標的像,包含了目標的一部分或全部信息。證據組合的過程就是對這些信息重新整合，從而建立一個新的像。所以,證據組合的內涵就是對證據所提供信息進行組合,組合的對象是目標信息而非信源。圖1和圖2分別是證據組合的外在表現和內涵示意圖。

圖1 證據組合的外在表現Fig.1 Outward expression of combining evidence

圖2 證據組合的內涵Fig.2 Connotation of combining evidence

實際問題中,多個證據可以基于同一個識別框架,但是這些證據隱含的意義是不同的。如例1所述,老人和孫子對同一識別框架的認識是有差別的,因為其判斷標準不同。但是其所提供的證據仍然不是獨立的,那是因為都是基于目標的同一屬性(即搶劫犯的年齡)做出的判斷。所以說,真正影響獨立性的不是判斷標準是否一致,而是目標的屬性是否一致。一般來講,在對一個目標做出判斷的時候,依據的是目標的某些屬性(特征)。例如,中國寓言故事《盲人摸象》中,盲人們分別給出大象是蘿卜、簸箕、石頭、木臼等結論,實際解釋則是大象在牙齒、耳朵、頭、腿這些屬性上與上述這些描述是一致的。

因此,如果目標有多個屬性,而信源基于目標屬性進行目標識別,那么證據體對識別框架的解釋是:目標的某個或幾個屬性與識別框架中的元素具有一致性,BPA的大小則反映了一致性的相對程度。

考慮一個多傳感器數據融合的例子。設表示戰斗機,表示多用途或地面攻擊飛機,表示轟炸機,目標識別框架={,,}。傳感器系統使用電子支援措施、紅外、光學成像3種傳感器,提供的證據分別為、和。

那么()=02表示目標在射頻(radio frequency,RF)頻率、脈沖寬度(pulse width,PW)這兩個屬性上,與戰斗機的一致性程度是02;()=()=03則表示目標分別在波長和光學設備這兩個屬性上,與戰斗機的一致性程度都是03。雖然()=(),但是其對識別框架的解釋完全不一樣。

因此,在應用證據理論進行信息融合之前,需要對不同證據包含的意義做出準確的分析。這一點,在關于Zadeh悖論討論還會有涉及。

2.4 一種獨立性的邏輯判斷方法

證據組合的內涵是對證據所蘊含目標的信息進行組合,因此可以依據是否包含目標共同的信息來判斷獨立性,即包含共同信息的證據一定是相關的。反之,獨立性的證據不包含共同信息。文獻[15-18]則依據共有知識判斷相關性。

實際應用中如何判斷是否包含共同信息,可以從信息特征或目標屬性的角度來分析。關于獨立性的判斷,這里提出兩個判斷準則。

(1) 證據體獨立性的判斷應當依據不同信源所掌握目標信息的獨立性而不是信源的獨立性。信息源于目標,信源是信息的渠道或載體。信源的獨立性說明了獲取信息途徑的方法或過程是獨立的,但是對于信息是否獨立沒有決定性作用。一方面,不同信源可以對目標的同一信息給出結論。例如,對于一個人身高的判斷,可以從不同角度(正面、側面、背面)判斷,可以從不同媒介(照片、視頻)判斷,甚至可以通過影子的長度來判斷,但是不同方法最終聚焦在身高這個特征信息上。再來看“指認搶劫犯的例子”,老人和孫子雖然可以獨立給出證詞,但都是關于年齡這同一信息的判斷。另一方面,同一信源可以對目標的不同信息給出結論。例如,對一個人的聲音和身形兩個方面的信息,可以同時獲得,也可以只獲得其中一個。所以,依靠信源的獨立性來判斷證據的獨立性是值得商榷的。同時,由于不同信源的可靠性不同,或多或少都存在誤差,所以不同信源對同一信息得到的結果也是有差別的。

關于信息獨立性的判斷和衡量可以借鑒概率論中事件獨立性判斷方法。數據分析可以作為一種方法,但在缺乏數據或小樣本的情形下,則需要通過邏輯上的判斷。

(2) 對于具有獨立屬性的目標,由該目標不同屬性產生的信息是獨立的,基于這些獨立信息的證據也是獨立的。但是同一個目標的不同屬性不一定是獨立的,這些屬性間也可以存在聯系。例如,水果的味道和外觀是兩個屬性,但是一般情況下,味道和外觀都能獨立的作為判斷水果種類的依據,所以這兩個屬性之間的相關性很強。由于真實世界中,事物的聯系是普遍存在的,因此只能在一定誤差范圍內對獨立性做一個大致的判斷。

這種判斷方法是滿足Smets定義的。事實上,設目標包含可列個獨立屬性{,,…},對任意屬性(=1,2,…)存在狀態集合(),選定狀態集合：

={(,,…)|()∈(),=1,2,…}

取、為兩個不同屬性的狀態集合()、(),那么對于任意?()和?(),其選取互相沒有影響,因此上的信度函數Bel(·|),以及上的信度函數Bel(·|)也一定都是空信度函數。

對于空中目標識別來說,多個傳感器得到的信息既可以是動態數據,也可以是身份信息。動態信息描述目標運動的動態參數,通常包括位置、速度和加速度。身份信息則是有助于確立目標身份的命題或陳述,目標身份信息包括傳感器信號、屬性信息、身份說明等。

在沒有其他信息的情況下,動態信息與身份信息可以看作是不同屬性的信息,基于這些獨立信息的證據是獨立的。例2中,3個傳感器分別依據RF、PW、波長以及光學特征對目標進行判斷,因此其是獨立的。

但是對于都是測量位置信息的傳感器,如紅外傳感器和激光傳感器,雖然其輸出數據有角度、高度或者坐標等不同形式,但是對目標非獨立屬性進行的識別,所以作為證據源,應該是非獨立的或者完全相關的。但是,由于測量存在系統誤差和隨機誤差,不同傳感器測量的誤差一般被認為是獨立的。事實上,兩者并不矛盾,從測量屬性的角度來講是關于同一屬性的測量,在證據組合時應選用相關的方法融合;而測量結果的誤差是獨立的,對誤差分析需要用獨立性的方法來處理。

2.5 Zadeh悖論

基于本文判斷方法,回顧一下著名的Zadeh悖論。1982年,Zadeh提出了下面的例子來說明Dempster規則會產生不合常理的結論。

兩位醫生A和B對同一個病人做檢查,都認為病人可能患的疾病為腦膜炎(meningitis,M)、腦震蕩(concussion,C)或腦瘤(brain tumor,T)。因此，識別框架可以記為={,,}。兩位醫生對疾病的判斷用BPA形式表述就是：

=099·+0·+001·

和

=0·+099·+001·

當使用Dempster規則組合和時,有：

這就意味著病人患有的疾病確定是腦瘤。而兩位醫生都認為病人患腦瘤的可能性很小,只有001,這就產生了巨大的矛盾。Dempster組合規則在高沖突情形下會產生不合理的結論,這為該方法招致了很多批評。

很多文獻對該例子進行了分析討論,這里采用一種新的思路。

第一種情形:如果醫生們的檢測方法大致相同,或者其檢測的是患者同一類身體指標,那么,依據判斷方法,這兩個醫生給出的證據是相關而不是獨立的。因此,不應該使用Dempster規則進行證據組合。而此時,兩位醫生給出的證據之間的巨大沖突主要來自于檢測結果的巨大誤差。

如果兩個醫生的檢測都是可信的,就是說在誤差允許范圍內,兩名醫生對患者患病概率的估計是可信的,即患者患病的真實概率分配={(),(),()}滿足：

∈(Bel,)∩(Bel,)

(5)

其中,

Bel={Bel(),Bel(),Bel()}

和

Bel={Bel(),Bel(),Bel()}

分別是由、兩個醫生分別給出的信度函數;、分別表示兩個醫生的判斷誤差,而(,)表示在空間中以為中心為半徑的鄰域。

于是,兩個醫生給出的證據間沖突主要來源于判斷誤差、。根據本例的數據,實際沖突很大,說明兩個誤差中至少有一個很大。因此,如果兩個醫生的可信度是一致的,那么比較合理的結論是：

Bel(),Bel()∈[0,099]

Bel()=001

這是因為在沒有額外信息的情況下,無法判斷哪個醫生的判斷更準確,對Bel(),Bel()給出了較為寬泛的區間估計,區間較長是由大沖突引起的,但是可以確定Bel()依然很小,這與實際是相符的。

第二種情形:如果醫生們的檢測方法是完全不同的,或者說醫生是對患者不同的(相對獨立的)身體指標進行檢測,那么此時的證據是獨立的。當然,兩個證據的意義是不同的。假設病人具有兩種完全獨立的病征和(正如球的大小和顏色是球的兩個完全獨立的特征)。醫生針對病人出現的病征進行檢測,得到結果顯示,病征與腦震蕩完全不一樣,而病征與腦膜炎和腦瘤相似的程度分別為099和001。(這一相似程度來源于:具有病征的病人中,腦膜炎和腦瘤患者人數的比例)。也就是說醫生排除了腦震蕩。同樣的,醫生基于病征給出了判斷。在這一假設下,腦膜炎和腦震蕩分別被病征和所排除,那么唯一的可能性就是腦瘤。在這種情形下,結論與直觀認識還是一致的。事實上,病人去醫院檢查身體,會被要求做各種不同的檢查,例如血液檢查、超聲波、射線檢查等。這些檢查很大程度上是獨立的,由其所得到的結論(證據)在很大程度上也是獨立的,因此可以使用Dempster規則進行組合。

3 證據獨立性對目標識別的影響

假設一個未知目標有3個屬性、、,并且依據第(=1,2,3)個屬性,該目標與已知目標匹配的概率為。傳感器能夠識別到目標、屬性的信息,給出目標為的概率為;傳感器能夠識別到目標、屬性的信息,給出目標為的概率為。表示綜合3個屬性未知目標為的概率。

假設傳感器、識別結果如表1所示。

表1 傳感器A和B對目標的概率識別結果Table 1 Probabilistic recognition results of sensors A and B on targets

從傳感器、的識別信息可以發現,兩個傳感器可以是獨立、混合相關或完全相關的。

3.1 置信度以概率方式給出

假設對某一空中目標的識別采用“與”匹配方式,即當目標的所有屬性均與匹配,才能推斷未知目標是。事實上,大部分目標識別的組合都屬于“與”匹配,如例2,只有RF、PW、紅外波長和光學設備屬性都匹配時,才作出識別判斷。

從識別概率角度來說,有=,=,=。

一方面,結合≤1,可知=≥。同理，=≥。于是≥max{,}。進一步有:

且當=max{,}時,等號可以成立。

另一方面,由于≤1,所以==≥。且當=1時,等號可以成立。

綜上,得到∈[,min{,}]。基于此,有以下分析。

(1) 由于傳感器沒有考慮屬性的影響,所以給出的目標概率中混入了不符合的情形,從而整體概率會變小。同理,整體識別概率要比傳感器給出的概率也要小。

(2) 如果屬性不對識別結果產生影響,此時可把屬性去掉,得到表2。

表2 傳感器獨立的情形Table 2 Sensor independent case

此時,、是完全獨立的情形。可以利用獨立事件概率計算方法,得到整體識別概率為,這也正好等于的下界。

(3) 如果屬性、不對識別結果產生影響,即兩個傳感器都是針對屬性給出的識別結果,那么其是完全相關的。由于識別環境不同,識別結果差距主要來源于識別誤差。在兩個傳感器的可靠性一致的情況下,既可以采取平均的方法消除誤差(即=(+)2),也可以對做區間估計(即∈[min{,},max{,}])。

(4) 需要說明的是,混合相關的上界是由=1推導得到的,此時就是完全相關情形。考慮到傳感器的探測誤差,采取了平均方法,這對于混合相關情形也是適用的。因此,混合相關情形的上界也可以寫成(+)2的形式。

綜上,討論了獨立、相關、混合相關情形下的整體概率的估計,識別概率與相關性關系如表3所示。特別地,無論哪種匹配方式,混合相關的組合概率均處于獨立情形與相關情形之間。

表3 識別概率與相關性Table 3 Recognition probability and correlation

由于=,且∈[max{,},1],與成反比例,因此:① 當=1時,、完全獨立,越大說明屬性對整體識別概率的影響越小,則獨立性越強;② 當=max{,}時,兩者相關,且越小,相關性越強;③ 獨立性越強,整體概率越接近獨立情形,相關性越強,整體概率越接近相關情形。

3.2 置信度以證據形式給出

前文是置信度以概率形式給出情況,現在分析識別置信度是以證據形式給出的情形。設傳感器、給出的證據:

(6)

(7)

首先,分別計算上下界。一方面,由于:

綜上,可得

(8)

類似第31節的討論,的上界是在傳感器沒有誤差的情況下得到的。而此時正是在=1也就是完全相關情形,因此在沒有其他信息的情況下,為了消除誤差,較好的方法是用平均方法計算上界,即

(9)

進一步將式(7)代入式(9)得

(10)

通過式(10),置信度以證據形式給出的情形下,混合相關情形識別概率也是介于獨立情形和完全相關情形之間。而證據的相關性程度決定了組合結果更接近哪種情形。

于是,如果令和分別表示獨立性和相關性情形的證據組合結果,則混合相關情形的組合結果結果介于前兩者之間,即

(11)

3.3 算例分析

例4 傳感器、識別結果如表4所示。

表4 傳感器A和B對目標的BPA識別結果Table 4 BPA recognition results of sensors A and B on targets

識別結果是以證據體BPA給出的,通過計算信任函數和似然函數得到兩個傳感器的置信區間∈[06,08]、∈[065,09]。按照上文所述方法得到整體概率滿足∈[039,085]。

通過Dempster、DSmT以及平均組合方法可以得到:

4 結 論

證據體之間相關性的不同,適用的組合方法也不同,需要依據相關性選用合適的方法進行組合。本文主要做了以下工作。

(1) 從Smets在1986年給出證據獨立性定義出發,研究了證據組合的內涵、證據對識別框架的解釋以及證據組合中的獨立性問題。認為證據的獨立性來源于證據源獲取的目標信息而不是證據源,并從證據源信息屬性的角度提出了一種判斷證據獨立性的方法,即對于具有獨立屬性的目標,由該目標不同屬性產生的信息是獨立的,基于這些獨立信息的證據也是獨立的。基于該方法,從新的角度研究了經典的Zadeh悖論,給出了新的分析和結論。

(2) 多傳感器單目標識別為背景,研究了傳感器獨立性、相關性對識別置信度的影響。分別對置信度以概率形式和證據形式給出的情形進行研究,發現混合相關傳感器的組合結果應介于獨立傳感器和完全相關傳感器的組合結果之間。在沒有額外信息的情況下,給出了識別置信區間。