振動陀螺橢圓參數的離散滑?？刂?/h1>
2022-02-16 06:51:26郜中星陳小煒張勇剛
系統工程與電子技術 2022年1期
郜中星, 彭 斌, 陳小煒, 張勇剛,*
(1. 哈爾濱工程大學物理與光電工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學智能科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001; 3. 陸軍步兵學院石家莊校區軍政訓練系, 河北 石家莊 050083)
0 引 言
滑模變結構控制(簡稱為滑模控制)由蘇聯學者Utkin于1950年提出。作為一種非常受歡迎的非線性控制方法,滑模變結構控制在學術界得到了廣泛的研究,并且由于微處理器技術的巨大進步,使得快速切換成為可能,從而使得滑模變結構控制成功地應用到了工業生產中[1]。滑模變結構控制獲得巨大成功的關鍵還在于其自身擁有很多的優點,例如設計思路簡單、速度快、魯棒性強等[2-4]。因為越來越多的先進控制系統是由計算機控制實施的,離散滑模變結構控制逐漸成為滑?？刂莆墨I研究的熱門話題[5-7]。
振動陀螺作為新一代陀螺儀,具有易于小型化、高精度、低成本、高可靠性、超高穩定性等優點[8-10],在遠洋航海、深空探測、地質鉆探等領域有著廣闊的應用前景[11]。振動陀螺的控制策略關乎振動陀螺儀能否保持在諧振頻率處以穩定的幅度振蕩工作,這是振動陀螺儀正常工作的前提,其控制效果決定了陀螺儀精度的上限。
在振動陀螺的滑模控制研究方面,文獻[12]討論了將滑?？刂七\用于微機械(micro-electro-mechanical system, MEMS)陀螺儀過程中關于降低抖振、抑制不匹配干擾、扇區輸入非線性的自適應補償等方法,并通過仿真驗證了所提策略的有效性和優越性。文獻[13]將滑?？刂茟迷诠ぷ饔诹ζ胶饽Ｊ降腗EMS陀螺儀上,通過數值仿真結果驗證了該控制器對于參數變動具有很好的魯棒性,并且在阻尼和剛度不對稱以及噪聲存在條件下,該控制器仍能保證系統運動狀態跟蹤理想運動軌跡。文獻[14]提出一種新型自適應分數階滑?？刂破?通過新的自適應律更新分數階滑模控制器的增益,使得MEMS陀螺運動具有更高的追蹤精度和更強的抗干擾性。文獻[15]將徑向基函數(radial basis function, RBF)神經網絡與滑?？刂平Y合,解決了MEMS陀螺系統不確定部分的自適應逼近,并且使用快速終端滑?？刂?實現了系統狀態有限時間收斂。文獻[16]針對MEMS陀螺提出了一種快速自適應比例-積分(proportional-integral, PI)滑?？刂撇呗?實現了快速穩定地跟隨輸入信號的目的。文獻[17]提出了一種基于雙環遞歸神經網絡逼近器的MEMS陀螺分數階非奇異終端滑?？刂破?采用內循環和外循環提供反饋信號,以獲得滿意的逼近精度。值得注意的是,雖然目前國內外學者運用滑模控制結合自適應、分數階微分、神經網絡等方法對振動陀螺進行了研究[18],但主要集中在用連續滑?？刂品椒ㄖ苯涌刂普駝油勇莸倪\動狀態,使之跟蹤上一個假設的、幅值和頻率恒定的理想運動軌跡,然后通過跟蹤的快速性、準確性和魯棒性等各方面指標評價滑模控制的效果[19-21],而這與實際中需要運用離散滑?？刂?并且陀螺的諧振頻率會受到干擾因素影響而產生變化有較大出入。
基于滑?？刂片F有的研究成果和存在的實際問題,本文提出從表征振動陀螺工作狀態的橢圓參數出發,將離散滑?？刂剖状螒糜谡駝油勇莸目刂葡到y中,從而減小振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數誤差。本文的結構安排如下:第1節介紹離散滑?？刂频牡竭_性條件,并選取恰當的離散滑?？刂期吔?第2節首先分析橢圓參數并選取主波振幅和正交波振幅作為控制對象,然后對控制對象進行了數學建模,最后結合趨近律和滑模面函數(切換函數)求取離散滑模控制律;第3節給出了比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)控制和離散滑模控制的仿真對比,仿真結果驗證了離散滑?？刂频膬灹继匦?。
1 離散滑?？刂圃?/h2>1.1 離散滑?；靖拍?/h3>
當離散滑?？刂剖┘佑谙到y時,系統狀態響應一般包括3種模態:趨近模態(reaching mode, RM)、滑動模態(sliding mode, SM)和穩定模態(steady-state mode, SS),如圖1所示。
圖1中有兩種類型的離散系統狀態運動軌跡,分別記為I和II。I型軌跡代表理想狀態軌跡,II型軌跡代表了實際滑?？刂葡到y的狀態軌跡[22]。
需要注意地是,II型軌跡下系統狀態為準滑動模態運動,在切換平面附近形成鋸齒型的軌跡。通過觀察該軌跡可知實際情況下的離散滑?？刂葡到y狀態軌跡應該有以下特點:
(1) 從任意的初始狀態出發,狀態軌跡單調地趨向切換平面并在有限時間內穿越;
(2) 一旦狀態軌跡穿越了切換平面,之后的每一步都要穿越切換平面,圍繞切換平面形成鋸齒形軌跡:
(3) 每一步鋸齒形狀態軌跡的大小是非增的,并且保持在一個特定的準滑動模態帶內。
如果離散滑?？刂仆瑫r滿足以上3個條件,就稱之為滿足了到達性條件[23]。
1.2 趨近律選取
在離散滑模控制系統的設計中,高為炳院士提出的趨近律設計方法是一種簡單有效的方法[22, 24],其主要思想是先構造滿足離散滑模到達性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設計的切換函數求取離散滑模控制律。高為炳院士提出的離散指數趨近律如下所示:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-εTsgn(s(k))
(1)
式中:g>0,ε>0,1-gT>0；T為采樣周期；sgn(·)為符號函數。
基于式(1)設計的離散滑模控制系統具有誤差快速收斂、系統抖振較小等優點,但由于等速趨近項-εTsgn(s(k))的增益為常數,使得系統狀態最終不能趨于平衡點,而是圍繞切換面s=0振蕩。
為了有效地消除穩態時振蕩,并且使系統狀態兼具“向切換面漸近趨近”和“穿越切換面”兩種特性,文獻[6]提出一種改進的離散趨近律:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-F|s(k)|Tsgn(s(k))
(2)
式中:g>0,1-gT>0；T為采樣周期；
其中,Δ為切換帶{x∈Rn||s(x)|<Δ}寬度；λ1和λ2滿足如下條件:
(3)
利用式(2)所示的趨近律設計離散滑模控制器,不僅可以使得系統狀態在有限時間內到達切換帶內,而且系統狀態進入切換帶后將步步穿越切換面,并且抖振逐漸衰減至零。因此,本文選取式(2)作為離散滑?？刂频内吔伞?/p>
文獻[6]對趨近律(2)的到達性條件證明、趨近運動和滑模運動過程分析進行了充分的闡述,故這里不再重復說明。
值得注意的是,由式(2)可得
s(k+1)=(1-gT-FT)s(k)
(4)
調整λ1和λ2的取值大小可以改變切換函數s(k)變化的速度。其規律和影響效果如下:
(1)λ1越大,1-gT-λ1T越小,切換函數s(k)衰減地越快,系統狀態進入切換帶Δ越快,但會使得系統狀態到達切換面時抖振越大;
(2)λ2越小,|1-gT-λ2T|越小,切換函數s(k)衰減地越快,系統狀態趨近切換面越快(s(k)=0),但離散滑?？刂坡傻目垢蓴_能力也越弱。
基于這些變化規律,可以為離散滑?？刂频姆抡嬲{試提供指導。
2 模型建立與控制律求取
2.1 離散滑模控制參數分析
由文獻[25]可知,振動陀螺運動模型可等價為一個質點在二維平面上的橢圓進動模型。將相隔45°的檢測電極上的振動信號分別輸入示波器的X、Y通道,可以觀察到典型的李沙育圖形,如圖2所示。圖2中X軸為0°檢測電極軸方向,Y軸為45°檢測電極軸方向,nθ為主波波腹軸與X軸的夾角,a為主波振幅,q為正交波振幅,φ0為質點運動的初始相位,ω為諧振子振動的角頻率。參照文獻[26]的方法,可以得到各橢圓參數的表達式如下。
(1) 主波振幅a:
(5)
主波振幅代表振動陀螺振動的幅度,陀螺正常工作時要求其保持為恒定值。
(2) 正交波振幅q:
(6)
正交波振幅反應了振動陀螺偏離理想工作狀態的程度,理想情況下應將其抑制到0。
(3) 相位差δ:
(7)
相位差指的是參考信號發生器產生的參考信號與陀螺檢測電極產生的電壓信號之間的相位差,將其鎖定到0°即完成了對振動陀螺的鎖頻和鎖相工作,即振動陀螺保持在其諧振頻率處振動。其中,E、Q、L由振動陀螺檢測信號和參考信號經調制解調組合得到,其含義與文獻[26]中一致,故不再贅述。
由以上分析可知,控制振動陀螺工作的橢圓參數有3個:主波振幅a、正交波振幅q和相位差δ。由于鎖定相位差δ涉及因素較多、難度較大,并且在現行PID控制下也已經有了較高控制精度,恰恰主波振幅a和正交波振幅q仍有較大提升空間。進一步分析,借助文獻[25]中的積分平均法,將振動陀螺非理想運動方程轉化為橢圓參數方程[27],可得到關于駐波進動角θ的表達式:
(8)
綜上所述,在本文的離散滑?？刂蒲芯恐?主波振幅和正交波振幅用離散滑模控制,相位差仍用之前相同參數的、經典的PID控制。
2.2 控制對象數學模型的建立
針對所控制的對象a和q建立數學模型,并寫成狀態方程的形式:
(9)
式中:Esmc和Qsmc分別代表幅值控制信號和正交控制信號。
為方便敘述,將式(9)記作:
(10)
由于rank([BABA2BA3B])=4,說明式(10)所描述的系統狀態是完全可控的,即說明控制輸入Esmc和Qsmc有能力將a和q控制到設定值[28]。
將式(10)用離散化公式進行離散化[29],得到如下形式的離散系統:
X(k+1)=ΦX(k)+ΓU(k)
(11)
式中:
2.3 離散滑?？刂坡汕笕?/h3>
對跟蹤問題,設計切換函數(滑模函數)為
S(k)=[sa(k);sq(k)]=CE(k)=C[Xd(k)-X(k)]
(12)
在本文設計的離散滑模控制中,a和q的切換函數分別為
(13)
(14)
為了保證對應的多項式p+c1和p+c2滿足Hurwitz穩定,需要多項式p+c1=0和p+c2=0的特征值實數部分為負數,即要求
(15)
由式(12)和式(13)可得
S(k+1)=C[Xd(k+1)-X(k+1)]=
C[Xd(k+1)-ΦX(k)-ΓU(k)]
(16)
式中:Xd(k+1)為下一時刻的目標值。
在多輸入問題下,式(2)所示的趨近律改寫為
S(k+1)=(I-gT)S(k)-TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))
(17)
式中:diag(|S(k)|)表示以向量|S(k)|中的元素構造對角矩陣。
聯立式(16)和式(17)可得離散滑模控制律:
U(k)=(CΓ)-1[CXd(k+1)-CΦX(k)-
(I-gT)S(k)+TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))]
(18)
3 模型搭建和仿真對比
3.1 仿真模型搭建
根據振動陀螺的非理想運動方程、位移至電壓轉換的檢測原理、檢測信號與參考信號的解調原理、橢圓參數的解算方法、控制輸出的調制原理以及靜電力的驅動原理[30-32],分別搭建相應的Simulink模塊,互聯之后組成振動陀螺的仿真平臺如圖3所示,圖中以順序序號1～6依次標出所搭建的模塊。仿真模型中的振動陀螺工作在全角(速率積分)模式下,即駐波進動角可以直接表征外界的轉動角度。
離散滑?？刂苹騊ID控制方法可在圖3中編號5所示的控制輸出調制模塊內搭建實現。為了后續能更方便地將仿真中離散滑?？刂坡梢浦驳綄嶋H工程中應用,離散滑模控制使用自定義的通用函數模塊且以編程的方式實現?？紤]實際情況中驅動信號比檢測信號的幅值通常大2個數量級以上,因此驅動信號與檢測信號在實際的電路中會存在串擾問題。當擾動較大時,甚至會導致振動陀螺起振時的鎖頻失敗。為了使仿真更接近實際情況,在圖3中編號為2的檢測模塊和編號為6的驅動模塊內加入了信號串擾的模型。
為了驗證離散滑?？刂频挠行?分別選取靜止0°/s和100°/s旋轉輸入2種情況進行仿真對比實驗。
3.2 靜止條件下仿真
設置外界輸入轉速為0°/s,目標值矩陣Xd=[40 000;0;0;0]。
使用PID控制時,PID的參數選取如下:
Pa=30
Ia=1
Pq=1 000
Iq=1
Pf=3 000
If=1 000
需要說明的是,選取上述PID參數的依據是仿真程序在調試過程中抗串擾效果最好。而離散滑模控制可以通過控制量的切換使系統狀態在受到干擾時具有強魯棒性,因此能更好地降低串擾帶來的影響。
當對主波振幅a和正交波振幅q使用離散滑?？刂茣r,控制律式(18)中各參數的取值如下:
c1=c2=30
Δ=0.5
其中:
其余參數與PID控制仿真情況下設置一致。將這2種控制方法得到的仿真結果放置在同一張圖中對比,如圖4和圖5所示,圖中藍色實線表示PID控制的結果,紅色實線表示離散滑?？刂频慕Y果,黑色實線表示理論的駐波進動角度。
從圖4可得到:
(1) PID控制作用下,主波振幅a在0.4 s后進入振蕩階段,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變為40 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.9～1.1,取整后結果為1 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.011 1°～0.011 3°。
(2) 離散滑模控制作用下,主波振幅a以更快的速度跟蹤上目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度下降,在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.1～0.4,取整后為0 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.011 1°～0.011 3°。
3.3 旋轉條件下仿真
設定外界輸入轉速為100°/s,振動陀螺進動因子γ為0.27。用第3.2節同樣的PID參數、離散滑?？刂茀岛湍繕酥稻仃?得到仿真結果如圖6和圖7所示。
從圖6中可得到:
(1) PID控制下,主波振幅a可在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變為40 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為-2～2 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.008°～0.014°。
(2) 離散滑?？刂葡?同樣實現了主波振幅a更快速度地跟蹤目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度仍然是遜色于PID控制,在0.2 s后進入固定幅值范圍振蕩,但跟蹤精度有所提升,振蕩范圍為-1～1 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.008°～0.014°。
4 結 論
本文提出了將離散滑?？刂埔氲秸駝油勇輽E圓參數的控制系統中,用來控制主波振幅和正交波振幅,提高了主波振幅和正交波振幅的跟蹤精度,進而減小了振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數誤差。從10 s內的PID控制與離散滑?？刂频姆抡娼Y果對比可知:① 0°/s靜止條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;振動陀螺的角度漂移速率減小了0.36°/h。② 100°/s旋轉輸入條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;標度因數誤差減小了5 ppm。仿真結果體現了離散滑?？刂频聂敯粜院涂焖偈諗啃?。
本文基于振動陀螺得到的研究成果可廣泛應用到半球諧振陀螺和MEMS陀螺等慣性傳感器的研發與設計中,從而有效提升陀螺傳感器的性能水平。
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振動陀螺作為新一代陀螺儀,具有易于小型化、高精度、低成本、高可靠性、超高穩定性等優點[8-10],在遠洋航海、深空探測、地質鉆探等領域有著廣闊的應用前景[11]。振動陀螺的控制策略關乎振動陀螺儀能否保持在諧振頻率處以穩定的幅度振蕩工作,這是振動陀螺儀正常工作的前提,其控制效果決定了陀螺儀精度的上限。
在振動陀螺的滑模控制研究方面,文獻[12]討論了將滑?？刂七\用于微機械(micro-electro-mechanical system, MEMS)陀螺儀過程中關于降低抖振、抑制不匹配干擾、扇區輸入非線性的自適應補償等方法,并通過仿真驗證了所提策略的有效性和優越性。文獻[13]將滑?？刂茟迷诠ぷ饔诹ζ胶饽Ｊ降腗EMS陀螺儀上,通過數值仿真結果驗證了該控制器對于參數變動具有很好的魯棒性,并且在阻尼和剛度不對稱以及噪聲存在條件下,該控制器仍能保證系統運動狀態跟蹤理想運動軌跡。文獻[14]提出一種新型自適應分數階滑?？刂破?通過新的自適應律更新分數階滑模控制器的增益,使得MEMS陀螺運動具有更高的追蹤精度和更強的抗干擾性。文獻[15]將徑向基函數(radial basis function, RBF)神經網絡與滑?？刂平Y合,解決了MEMS陀螺系統不確定部分的自適應逼近,并且使用快速終端滑?？刂?實現了系統狀態有限時間收斂。文獻[16]針對MEMS陀螺提出了一種快速自適應比例-積分(proportional-integral, PI)滑?？刂撇呗?實現了快速穩定地跟隨輸入信號的目的。文獻[17]提出了一種基于雙環遞歸神經網絡逼近器的MEMS陀螺分數階非奇異終端滑?？刂破?采用內循環和外循環提供反饋信號,以獲得滿意的逼近精度。值得注意的是,雖然目前國內外學者運用滑模控制結合自適應、分數階微分、神經網絡等方法對振動陀螺進行了研究[18],但主要集中在用連續滑?？刂品椒ㄖ苯涌刂普駝油勇莸倪\動狀態,使之跟蹤上一個假設的、幅值和頻率恒定的理想運動軌跡,然后通過跟蹤的快速性、準確性和魯棒性等各方面指標評價滑模控制的效果[19-21],而這與實際中需要運用離散滑?？刂?并且陀螺的諧振頻率會受到干擾因素影響而產生變化有較大出入。
基于滑?？刂片F有的研究成果和存在的實際問題,本文提出從表征振動陀螺工作狀態的橢圓參數出發,將離散滑?？刂剖状螒糜谡駝油勇莸目刂葡到y中,從而減小振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數誤差。本文的結構安排如下:第1節介紹離散滑?？刂频牡竭_性條件,并選取恰當的離散滑?？刂期吔?第2節首先分析橢圓參數并選取主波振幅和正交波振幅作為控制對象,然后對控制對象進行了數學建模,最后結合趨近律和滑模面函數(切換函數)求取離散滑模控制律;第3節給出了比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)控制和離散滑模控制的仿真對比,仿真結果驗證了離散滑?？刂频膬灹继匦?。
1 離散滑?？刂圃?/h2>1.1 離散滑?；靖拍?/h3>
當離散滑?？刂剖┘佑谙到y時,系統狀態響應一般包括3種模態:趨近模態(reaching mode, RM)、滑動模態(sliding mode, SM)和穩定模態(steady-state mode, SS),如圖1所示。
圖1中有兩種類型的離散系統狀態運動軌跡,分別記為I和II。I型軌跡代表理想狀態軌跡,II型軌跡代表了實際滑?？刂葡到y的狀態軌跡[22]。
需要注意地是,II型軌跡下系統狀態為準滑動模態運動,在切換平面附近形成鋸齒型的軌跡。通過觀察該軌跡可知實際情況下的離散滑?？刂葡到y狀態軌跡應該有以下特點:
(1) 從任意的初始狀態出發,狀態軌跡單調地趨向切換平面并在有限時間內穿越;
(2) 一旦狀態軌跡穿越了切換平面,之后的每一步都要穿越切換平面,圍繞切換平面形成鋸齒形軌跡:
(3) 每一步鋸齒形狀態軌跡的大小是非增的,并且保持在一個特定的準滑動模態帶內。
如果離散滑?？刂仆瑫r滿足以上3個條件,就稱之為滿足了到達性條件[23]。
1.2 趨近律選取
在離散滑模控制系統的設計中,高為炳院士提出的趨近律設計方法是一種簡單有效的方法[22, 24],其主要思想是先構造滿足離散滑模到達性條件的趨近律,然后利用趨近律和所設計的切換函數求取離散滑模控制律。高為炳院士提出的離散指數趨近律如下所示:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-εTsgn(s(k))
(1)
式中:g>0,ε>0,1-gT>0；T為采樣周期；sgn(·)為符號函數。
基于式(1)設計的離散滑模控制系統具有誤差快速收斂、系統抖振較小等優點,但由于等速趨近項-εTsgn(s(k))的增益為常數,使得系統狀態最終不能趨于平衡點,而是圍繞切換面s=0振蕩。
為了有效地消除穩態時振蕩,并且使系統狀態兼具“向切換面漸近趨近”和“穿越切換面”兩種特性,文獻[6]提出一種改進的離散趨近律:
s(k+1)-s(k)=-gTs(k)-F|s(k)|Tsgn(s(k))
(2)
式中:g>0,1-gT>0；T為采樣周期；
其中,Δ為切換帶{x∈Rn||s(x)|<Δ}寬度；λ1和λ2滿足如下條件:
(3)
利用式(2)所示的趨近律設計離散滑模控制器,不僅可以使得系統狀態在有限時間內到達切換帶內,而且系統狀態進入切換帶后將步步穿越切換面,并且抖振逐漸衰減至零。因此,本文選取式(2)作為離散滑?？刂频内吔伞?/p>
文獻[6]對趨近律(2)的到達性條件證明、趨近運動和滑模運動過程分析進行了充分的闡述,故這里不再重復說明。
值得注意的是,由式(2)可得
s(k+1)=(1-gT-FT)s(k)
(4)
調整λ1和λ2的取值大小可以改變切換函數s(k)變化的速度。其規律和影響效果如下:
(1)λ1越大,1-gT-λ1T越小,切換函數s(k)衰減地越快,系統狀態進入切換帶Δ越快,但會使得系統狀態到達切換面時抖振越大;
(2)λ2越小,|1-gT-λ2T|越小,切換函數s(k)衰減地越快,系統狀態趨近切換面越快(s(k)=0),但離散滑?？刂坡傻目垢蓴_能力也越弱。
基于這些變化規律,可以為離散滑?？刂频姆抡嬲{試提供指導。
2 模型建立與控制律求取
2.1 離散滑模控制參數分析
由文獻[25]可知,振動陀螺運動模型可等價為一個質點在二維平面上的橢圓進動模型。將相隔45°的檢測電極上的振動信號分別輸入示波器的X、Y通道,可以觀察到典型的李沙育圖形,如圖2所示。圖2中X軸為0°檢測電極軸方向,Y軸為45°檢測電極軸方向,nθ為主波波腹軸與X軸的夾角,a為主波振幅,q為正交波振幅,φ0為質點運動的初始相位,ω為諧振子振動的角頻率。參照文獻[26]的方法,可以得到各橢圓參數的表達式如下。
(1) 主波振幅a:
(5)
主波振幅代表振動陀螺振動的幅度,陀螺正常工作時要求其保持為恒定值。
(2) 正交波振幅q:
(6)
正交波振幅反應了振動陀螺偏離理想工作狀態的程度,理想情況下應將其抑制到0。
(3) 相位差δ:
(7)
相位差指的是參考信號發生器產生的參考信號與陀螺檢測電極產生的電壓信號之間的相位差,將其鎖定到0°即完成了對振動陀螺的鎖頻和鎖相工作,即振動陀螺保持在其諧振頻率處振動。其中,E、Q、L由振動陀螺檢測信號和參考信號經調制解調組合得到,其含義與文獻[26]中一致,故不再贅述。
由以上分析可知,控制振動陀螺工作的橢圓參數有3個:主波振幅a、正交波振幅q和相位差δ。由于鎖定相位差δ涉及因素較多、難度較大,并且在現行PID控制下也已經有了較高控制精度,恰恰主波振幅a和正交波振幅q仍有較大提升空間。進一步分析,借助文獻[25]中的積分平均法,將振動陀螺非理想運動方程轉化為橢圓參數方程[27],可得到關于駐波進動角θ的表達式:
(8)
綜上所述,在本文的離散滑?？刂蒲芯恐?主波振幅和正交波振幅用離散滑模控制,相位差仍用之前相同參數的、經典的PID控制。
2.2 控制對象數學模型的建立
針對所控制的對象a和q建立數學模型,并寫成狀態方程的形式:
(9)
式中:Esmc和Qsmc分別代表幅值控制信號和正交控制信號。
為方便敘述,將式(9)記作:
(10)
由于rank([BABA2BA3B])=4,說明式(10)所描述的系統狀態是完全可控的,即說明控制輸入Esmc和Qsmc有能力將a和q控制到設定值[28]。
將式(10)用離散化公式進行離散化[29],得到如下形式的離散系統:
X(k+1)=ΦX(k)+ΓU(k)
(11)
式中:
2.3 離散滑?？刂坡汕笕?/h3>
對跟蹤問題,設計切換函數(滑模函數)為
S(k)=[sa(k);sq(k)]=CE(k)=C[Xd(k)-X(k)]
(12)
在本文設計的離散滑模控制中,a和q的切換函數分別為
(13)
(14)
為了保證對應的多項式p+c1和p+c2滿足Hurwitz穩定,需要多項式p+c1=0和p+c2=0的特征值實數部分為負數,即要求
(15)
由式(12)和式(13)可得
S(k+1)=C[Xd(k+1)-X(k+1)]=
C[Xd(k+1)-ΦX(k)-ΓU(k)]
(16)
式中:Xd(k+1)為下一時刻的目標值。
在多輸入問題下,式(2)所示的趨近律改寫為
S(k+1)=(I-gT)S(k)-TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))
(17)
式中:diag(|S(k)|)表示以向量|S(k)|中的元素構造對角矩陣。
聯立式(16)和式(17)可得離散滑模控制律:
U(k)=(CΓ)-1[CXd(k+1)-CΦX(k)-
(I-gT)S(k)+TFdiag(|S(k)|)sgn(S(k))]
(18)
3 模型搭建和仿真對比
3.1 仿真模型搭建
根據振動陀螺的非理想運動方程、位移至電壓轉換的檢測原理、檢測信號與參考信號的解調原理、橢圓參數的解算方法、控制輸出的調制原理以及靜電力的驅動原理[30-32],分別搭建相應的Simulink模塊,互聯之后組成振動陀螺的仿真平臺如圖3所示,圖中以順序序號1～6依次標出所搭建的模塊。仿真模型中的振動陀螺工作在全角(速率積分)模式下,即駐波進動角可以直接表征外界的轉動角度。
離散滑?？刂苹騊ID控制方法可在圖3中編號5所示的控制輸出調制模塊內搭建實現。為了后續能更方便地將仿真中離散滑?？刂坡梢浦驳綄嶋H工程中應用,離散滑模控制使用自定義的通用函數模塊且以編程的方式實現?？紤]實際情況中驅動信號比檢測信號的幅值通常大2個數量級以上,因此驅動信號與檢測信號在實際的電路中會存在串擾問題。當擾動較大時,甚至會導致振動陀螺起振時的鎖頻失敗。為了使仿真更接近實際情況,在圖3中編號為2的檢測模塊和編號為6的驅動模塊內加入了信號串擾的模型。
為了驗證離散滑?？刂频挠行?分別選取靜止0°/s和100°/s旋轉輸入2種情況進行仿真對比實驗。
3.2 靜止條件下仿真
設置外界輸入轉速為0°/s,目標值矩陣Xd=[40 000;0;0;0]。
使用PID控制時,PID的參數選取如下:
Pa=30
Ia=1
Pq=1 000
Iq=1
Pf=3 000
If=1 000
需要說明的是,選取上述PID參數的依據是仿真程序在調試過程中抗串擾效果最好。而離散滑模控制可以通過控制量的切換使系統狀態在受到干擾時具有強魯棒性,因此能更好地降低串擾帶來的影響。
當對主波振幅a和正交波振幅q使用離散滑?？刂茣r,控制律式(18)中各參數的取值如下:
c1=c2=30
Δ=0.5
其中:
其余參數與PID控制仿真情況下設置一致。將這2種控制方法得到的仿真結果放置在同一張圖中對比,如圖4和圖5所示,圖中藍色實線表示PID控制的結果,紅色實線表示離散滑?？刂频慕Y果,黑色實線表示理論的駐波進動角度。
從圖4可得到:
(1) PID控制作用下,主波振幅a在0.4 s后進入振蕩階段,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變為40 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.9～1.1,取整后結果為1 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.011 1°～0.011 3°。
(2) 離散滑模控制作用下,主波振幅a以更快的速度跟蹤上目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度下降,在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.1～0.4,取整后為0 LSB;相位差δ在5 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.011 1°～0.011 3°。
3.3 旋轉條件下仿真
設定外界輸入轉速為100°/s,振動陀螺進動因子γ為0.27。用第3.2節同樣的PID參數、離散滑?？刂茀岛湍繕酥稻仃?得到仿真結果如圖6和圖7所示。
從圖6中可得到:
(1) PID控制下,主波振幅a可在0.4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為40 023～40 024 LSB,10 s后振蕩范圍變為40 017～40 018 LSB,并有逐漸減少的趨勢;正交波振幅q在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為-2～2 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為0.008°～0.014°。
(2) 離散滑?？刂葡?同樣實現了主波振幅a更快速度地跟蹤目標值,a可在0.1 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍為39 999～40 000 LSB;正交波振幅q跟蹤速度仍然是遜色于PID控制,在0.2 s后進入固定幅值范圍振蕩,但跟蹤精度有所提升,振蕩范圍為-1～1 LSB;相位差δ在4 s后進入固定幅值范圍振蕩,振蕩范圍同樣為0.008°～0.014°。
4 結 論
本文提出了將離散滑?？刂埔氲秸駝油勇輽E圓參數的控制系統中,用來控制主波振幅和正交波振幅,提高了主波振幅和正交波振幅的跟蹤精度,進而減小了振動陀螺在全角模式下駐波進動角的漂移誤差和標度因數誤差。從10 s內的PID控制與離散滑?？刂频姆抡娼Y果對比可知:① 0°/s靜止條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;振動陀螺的角度漂移速率減小了0.36°/h。② 100°/s旋轉輸入條件下,主波振幅a誤差減小了16 LSB;正交波振幅q誤差減小了1 LSB;標度因數誤差減小了5 ppm。仿真結果體現了離散滑?？刂频聂敯粜院涂焖偈諗啃?。
本文基于振動陀螺得到的研究成果可廣泛應用到半球諧振陀螺和MEMS陀螺等慣性傳感器的研發與設計中,從而有效提升陀螺傳感器的性能水平。
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