應對潮汐客流的城市軌道交通列車節能和乘客節時運行圖優化模型

冉昕晨，陳紹寬，柏 赟，陳 垚，陳哲軒，楊 晨

（北京交通大學 綜合交通運輸大數據應用技術交通運輸行業重點實驗室，北京 100044）

客流潮汐現象主要是指因職住分離導致城市軌道交通高峰客流方向分布不均衡的現象，是當前城市軌道交通運營組織關注的重點。高峰客流方向的不均衡性往往導致大客流方向運能緊張，而小客流方向運能富余。運能緊張的方向滿載率較高，而運能富余的方向通常存在列車滿載率偏低、單位人公里能耗偏高等問題，一定程度上造成了運能與電能的浪費。

為提高運能與需求的匹配程度，國內外既有研究從運營組織層面提出的優化方法可分為3 類：一是靈活設計列車多交路［1?3］、多編組與變編組［4?7］方案；二是組織列車單向加密不對稱運行［8?10］；三是組織列車放空運行，即不載客、過站不停車［11］。3類方法中，多交路、多編組與變編組技術側重于解決客流斷面分布和時間分布不均衡場景下的運營組織優化問題，且要求線路具有組織多交路、多編組或變編組的條件［12?13］；不對稱運行與放空運行技術側重于降低客流方向分布不均衡線路的運營成本，但前者要求線路兩端均有車輛段或停車場［14］，建設成本較大、車底接續較困難。綜合來看，為了在有限的車底資源下維持車底周轉，組織部分列車放空運行實施便捷、成本較低，是一種更適合用于應對潮汐客流的節能運行措施。

綜合既有研究成果來看，組織列車放空運行的理論研究成果相對較少，但實踐中我國深圳地鐵4號線已采用放空運行方案，降低了高峰時段約1/3的制動、起動能耗［11］。同時，實踐中也發現，組織部分列車放空運行雖能達到節能目的，但會導致部分乘客等待時間增加、非站站停的放空列車與站站停的載客列車追蹤距離縮短等問題，仍需在既有研究基礎上，結合實際中存在的問題進一步探究計劃運行圖的優化方法。

為實現客流斷面和客流方向分布不均衡特征下的城市軌道交通運行圖優化，提出一種考慮大小交路和列車放空運行的列車節能和乘客節時運行圖優化模型。首先，結合動態客流需求分析乘客在大小交路和放空運行組織下的上、下車過程；然后，構建以列車總牽引能耗最小化和乘客總等待時間最小化的雙目標運行圖優化模型，采用非支配排序遺傳算法Ⅱ與熵權法相結合的方法進行求解；最后，以具有潮汐客流特征的某條地鐵線路為背景，依托實際中的某工作日早高峰計劃運行圖方案，驗證模型適用性及其優化效果。

1 問題描述

某車站總數為N的城市軌道交通線路示意圖如圖1所示。假設沿車站編號1 至N的方向為上行，反之為下行；車站M具備折返條件，可開行大小交路；車站1—車站M為區域1，車站M—車站N為區域2；車輛段位于線路1 端，與車站1 銜接。為應對斷面和方向不均衡的客流，基于該線路的運行圖優化要解決的問題是：確定上、下行大小交路站站停載客列車和非站站停放空列車的開行序列，在有限的時空與車底資源下實現列車總牽引能耗和乘客總等待時間的雙目標優化。

圖1 線路示意圖

為便于建模，進一步做出如下假設：

（1）不考慮列車越行；

（2）僅考慮線路開行大小交路、且小交路折返位置已知的場景；

（3）向乘客提供服務時遵循“先到先服務”原則，乘客優先選擇直達列車；

（4）研究時段內上、下行方向計劃發車間隔、區間運行時間、停站時間均為已知常量；

（5）為保證運行秩序，放空列車在線路給定運行時分下選擇節能化模式開行。

為便于理解，定義模型主要參數如下：m和n為車站索引；Ns為車站集合，Ns={1，2，…，m，…，n，…，N}；I為上行方向開行列車總數；i為上行列車索引；Iup為上行列車集合，Iup={1，2，…，i，…，I}；J為下行方向開行列車總數；j為下行列車索引；Jdn為下行列車集合，Jdn={1，2，…，j，…，J}；pm，n，t為t時刻起，單位時間內起點車站m—終點車站n的乘客需求，人；和分別為上行列車i和下行列車j經停車站n時的上車乘客數，人；和分別為上行列車i和下行列車j經停車站n時的下車乘客數，人；為上行列車i在車站n—車站（n+1）區間運行時的載客量，人；為下行列車j在車站n—車站（n?1）區間運行時的載客量，人；和分別為上行列車i和下行列車j到達車站n的時刻，s；和分別為上行列車i和下行列車j從車站n出發的時刻，s。

定義模型決策變量為上、下行大小交路站站停載客列車和非站站停放空的列車開行序列：φi和φj分別為確定上行列車i和下行列車j交路類型的0-1變量，大交路時取1，小交路時取0；εi和εj分別為上行列車i和下行列車j是否放空的0-1變量，站站停載客運行時取1，非站站停放空運行時取0。

2 模型構建

乘客上車、乘車和下車過程是計算乘客等待時間與列車牽引能耗的關鍵要素，且這一過程會受到上、下行列車的交路形式與列車開行序列影響。為此，首先結合自動售檢票系統的乘客刷卡數據，推算各站點上、下車乘客數量和各區間載客量；其次建立基于大小交路和列車放空運行的運行圖優化模型，以列車總牽引能耗與乘客總等待時間為優化目標，并考慮滿足實際運營各項約束條件。

2.1 客流計算

通過乘客刷卡數據，可獲線路各時段各OD 對乘客的到達率［15?16］；再結合列車時刻表，可推算得到上、下行列車在某站經停時上、下車的乘客數量和區間運行時的載客量。

1）上車乘客數量

上行列車i經停車站n時，在此站上車的乘客數量為

式中：si，n為0-1 變量，判斷列車i是否在車站n停站上、下客，是則取值為1，反之為0；pn，m，t為t時刻起，單位時間內起點車站n—終點車站m的乘客需求，人；和分別為列車i與列車i′在車站n的有效發車時刻，即乘客能夠登上列車的最晚到達時刻［17］，晚于有效發車時刻后到達的乘客則等待下1 列列車，s；i′為在車站n停站上、下客的列車集合中，位移大于列車i且距其最近1 列列車的編號。

下行列車j經停車站n時，在此站上車的乘客數量需按圖1中區域1與區域2分別計算。

當車站n位于區域1 時，乘客選擇乘坐載客的大交路列車，此時為

式中：sj，n為0-1 變量，判斷列車j是否在車站n停站上、下客，是則取值為1，反之為0；與分別為列車j與列車j′1在車站n的有效發車時刻，s；列車j′1為在區域1 停站上、下客的大交路列車集合中，位移大于列車j且距其最近1列列車的編號。

當車站n位于區域2 時，又可進一步分為車站m位于區域1 與位于區域2 這2 種情況：當車站m位于區域1 時，根據假設（3），乘客選擇乘坐載客的大交路列車；當車站m位于區域2 時，乘客可選擇乘坐載客的大交路或小交路列車。這2 種情況下在此站上車的乘客數量均為

式中：為列車j′2在車站n的有效發車時刻，s；列車j′2為在區域2 停站上、下客的列車集合中，位移大于列車j且距其最近1列列車的編號。

2）下車乘客數量

上行列車i經停車站n時，在此站下車的乘客數量同樣需按區域1 和區域2 這2 種情況分別計算。

當車站n位于區域1時

式中：和分別為列車i和i′1在車站m的有效發車時刻，s；i′1為在區域1停站上、下客大交路的列車集合中，位移大于列車i且距其最近1 列列車的編號。

當車站n位于區域2時

式中：為列車i′2在車站m的有效發車時刻，s；i′2為在區域2 停站上、下客的列車集合中位移大于列車i且距其最近1列列車的編號。

下行列車j經停車站n時，在此站下車的乘客數量同樣需按區域1 和區域2 這2 種情況分別計算。

當車站n位于區域1時

當車站n位于區域2時

3）列車在區間運行時的載客量

上行列車i在車站n—車站（n+1）區間運行時，載客量為

下行列車j在車站n—車站（n?1）區間運行時，載客量為

2.2 目標函數

基于有限的時空與車底資源，運行圖優化的目標為列車總牽引能耗和乘客總等待時間的雙目標最小化。

1）列車總牽引能耗目標

研究時段內，列車總牽引能耗E為上行總牽引能耗Eu和下行總牽引能耗Ed之和，而Eu與Ed又由大小交路列車的牽引能耗組成，即

其中，

式中：ei，n為上行列車i在車站n—車站（n+1）區間運行時的牽引能耗，kW·h；ej，n為下行列車j在車站n—車站（n?1）區間運行時的牽引能耗，kW·h；ei，n和ej，n均可按文獻［18］和文獻［19］提出的方法，通過牽引計算得到。

2）乘客總等待時間目標

研究時段內，乘客總等待時間Tw包含上行方向乘客總等待時間Tw，u和下行方向區域1 與區域2內的乘客總等待時間和，即

其中，

式中：與分別為上行列車i與下行列車j從車站n的出發時刻，s。

2.3 約束條件

模型考慮的約束條件有6 個，包括車底銜接約束、車底規模約束、最小折返時間約束、列車容量約束、最短追蹤距離約束和相鄰2 列大交路站站停列車間的小交路列車和放空列車數量約束。

1）車底銜接約束

上、下行列車在車站N、車站M和車站1（始發站）這3 個折返站的銜接應滿足約束式（12）—式（17）。

式（12）和式（13）用于確保上行列車i與下行列車j在車站N銜接的唯一性。

式中：θN，i，j為0-1 變量，上行列車i的車底在車站N折返后，如果繼續執行下行列車j的任務則取1；否則取0。

式（14）和式（15）用于確保下行小交路列車j與上行小交路列車i在車站M銜接的唯一性。

式中：θM，j，i為0-1 變量，下行小交路列車j的車底在車站M折返后，如果繼續執行上行小交路列車i的任務則取1；否則取0。

式（16）和式（17）用于確保下行大交路列車j最多只能與1 列上行大交路列車i在車站1 銜接。式（16）取等于表示下行列車j在車站1 折返后，繼續上線運行；取小于表示下行列車j下線，返回車輛段。式（17）取等于表示上行列車i由在車站1 折返后的車底執行；取小于表示上行列車i由車輛段發出。

式中：θ1，j，i為0-1 變量，下 行大交路列車j的車底在車站1 折返后，如果執行上行大交路列車i的任務則取1；否則取0。

2）車底規模約束

研究時段內車底總數不應超過車底規模Fmax，即

其中，

式中：Fcon為在車站N、車站M和車站1 這3 個折返站銜接成功的列車總數，列。

3）最小折返時間約束

折返列車的折返時間不應低于折返站的最小折返時間，應滿足約束式（19）—式（21）。

式中：和分別為上行列車i從車站1和車站M的出發時刻，s；和分別為下行列車j到達車站1 和車站M的時刻，s；為 下行 列 車j從車站N的出發時刻，s；為上行列車i到達車站N的時刻，s；，和分別為車站N、車站M和車站1這3個折返站的最小折返時間，s。

4）列車容量約束

上、下行列車在每個區間的載客量應滿足約束式（22）和式（23）。

式中：CAW3為列車最大載客量，人。

5）列車最短追蹤距離約束

由于放空列車與站站停列車存在技術速度差，運行過程中，相鄰2 列列車的追蹤距離應滿足約束式（24）和式（25）。

式中：vi，t和vj，t為上行列車i和下行列車j在t時刻的速度，m·s?1；β為常用制動減速度，m·s?2；Lt為列車長度，m；Ls為后車車頭距前車車尾的最小安全距離，m；i′′為位移大于上行列車i且距其最近1 列列車的編號；δi，i′′，t為0-1 變量，如果上行列車i在t時刻的追蹤對象為列車i′則取1，否則取0；Li，i′，t為t時刻上行列車i的中心線與列車i′′中心線的距離，m；j′′，δj，j′′，t和Lj，j′′，t分別與i′′，δi，i′，t和Li，i′，t含義相似，體現下行方向的類似情況。

6）相鄰大交路站站停列車間的小交路列車和放空列車數量約束

為保證服務水平，避免乘客因開行小交路列車和放空列車而等待時間過長，上、下行相鄰2 列大交路站站停列車間的小交路列車和放空列車的總數應滿足約束式（26）和式（27）。

式中：σ為相鄰2 列大交路站站停列車間最大允許的小交路列車和放空列車總數，列；i*為上行列車索引，即從列車（i?σ）到列車i范圍內的列車編號；j*為下行列車索引，即從列車（j?σ）到列車j范圍內的列車編號。

3 算法求解

求解上述雙目標非線性優化模型時，非支配排序遺傳算法Ⅱ（NSGA-Ⅱ，Non-dominated Sort?ing Genetic Algorithm Ⅱ）［20］是一種應用廣泛、收斂性較好的求解方法。為獲得運行圖的滿意解，本文采用NSGA-Ⅱ和熵權法［21］相結合的方法，通過NSGA-Ⅱ求解列車總牽引能耗和乘客總等待時間的第一非支配前沿；通過熵權法求解第一非支配前沿解集的客觀權重，進而篩選出滿意解。

算法求解流程如圖2所示。圖中：x和X分別為迭代次數索引和最大迭代次數；x′為滿意解持續不變的最大代數；Y為種群規模；pc為交叉概率，pm為變異概率。

圖2 算法流程圖

算法的主要步驟如下。

步驟1：生成Y個可行染色體，每個染色體的編碼由大小交路和放空列車的0-1 決策變量φi，φj，εi和εj構成。

步驟2：計算種群內每個解的列車總牽引能耗與乘客總等待時間。

步驟3：根據每個解的目標值，對種群進行快速非支配排序和擁擠度計算。

步驟4：采用熵權法對第一非支配前沿解集的雙目標進行極差正規化、信息熵計算求得雙目標的客觀權重，然后選取第一非支配解集上綜合加權目標最小的解作為當前代數的滿意解。

步驟5：通過二元錦標賽法選擇Y個父代，經交叉、變異生成Y個子代，并合并父代與子代。

步驟6：判斷是否終止迭代，若迭代次數x達到X或滿意解持續x′代保持不變，轉入步驟7；否則，返回步驟2繼續迭代。

步驟7：終止迭代，輸出滿意解，并解碼生成運行圖。

4 案例分析

為驗證模型與算法的有效性，選取某市地鐵線路A 進行研究。該線路包含12 座車站和1 個車輛段，列車為6B 編組。線路A 在早、晚高峰時段按大小交路組織列車運行，小交路折返站M位于車站8。以2018年4月某工作日的客流數據為基礎，以10 min 為統計間隔，對線路A 各時段上、下行方向乘客總進站量進行統計，結果如圖3所示。可見，線路A 客流呈現潮汐現象，早、晚高峰客流方向不均衡性明顯。

圖3 線路A上、下行方向的進站客流時間分布

選取線路A 早高峰時段進行大小交路和放空運行組織下的運行圖優化。主要參數設置如下：平均發車間隔時間為3 min，上、下行列車總數I和J均為41 列，車底規模Fmax為22 列，列車最大載客量CAW3為1 880 人，相鄰2 列大交路站站停列車間最大允許的小交路列車和放空列車總數σ為1 列。上、下行列車計劃停站時間與區間運行時間分別見表1和表2。表中放空列車在所有中間站不停站通過，且旅行速度與其同方向、同交路的站站停載客列車一致。

表1 上行列車計劃停站時間與區間運行時間

表2 下行列車計劃停站時間與區間運行時間

4.1 運行圖優化效果驗證

為驗證運行圖優化模型的列車節能與乘客節時效果，利用NSGA-Ⅱ和熵權法對模型進行優化，并通過運行圖對比優化方案與實際方案、單一大交路站站停方案（不開行小交路且不允許列車放空）在列車總牽引能耗和乘客總等待時間等方面的差異。

實際運行圖采用某工作日的真實早高峰計劃運行圖方案，早高峰大小交路比例為1∶1 且下行方向（小客流方向）所有小交路列車放空運行，如圖4所示。

圖4 實際運行圖

設算法種群規模為100 個，最大迭代次數為500次，滿意解持續保持不變的最大代數為100代，交叉概率為0.9，變異概率為0.1。列車總牽引能耗和乘客總等待時間的收斂過程如圖5所示。隨著迭代次數的增加，列車總牽引能耗波動下降、乘客總等待時間波動上升，在第66 代后開始收斂，列車總牽引能耗穩定為11 497 kW·h，乘客總等待時間穩定為1 462 h。

圖5 算法收斂過程

算法收斂后，模型優化滿意解方案為歸一化加權總目標值最小的方案，對其解碼后的優化運行圖如圖6所示。對比圖4和圖6可看出，優化方案將圖4中上行小交路列車021017和141029調整為圖6中上行大交路列車171017 和021029，使在列車161016—181018、列車011028—031030 之間到達車站1—車站8 的乘客總等待時間減少；但同時優化方案增加了830 以后時段下行大交路放空列車的數量，使列車222026—142041 之間到達乘客的總等待時間增加。

圖6 優化運行圖

列車總牽引能耗和乘客總等待時間的第一非支配前沿與歸一化加權總目標如圖7所示。經熵權法計算，列車總牽引能耗和乘客總等待時間的客觀權重分別為0.499 3 和0.500 7。圖7表明：乘客總等待時間隨列車總牽引能耗增加而降低；僅追求列車總牽引能耗最小化的方案結果為11 276 kW·h 和1 528 h，相比于實際方案可實現3.60%的列車節能，但同時會增加2.00%的乘客總等待時間；僅追求乘客總等待時間最小化的方案結果為12 062 kW·h 和1 413 h，相比于實際方案可實現5.67%的乘客節時效果，但同時會增加3.12%的列車總牽引能耗；而通過熵權法篩選出的優化方案結果為11 497 kW·h 和1 462 h，相比于實際方案能同時實現與1.71%的列車節能和2.40%的乘客節時，實現了二者的共同優化。

圖7 算法優化結果

進一步地，分上、下行方向分別對比3 種方案的運行圖指標見表3。

由表3對比優化方案與單一大交路站站停方案可知：組織大小交路和列車放空運行不僅有利于節能，還能減少車底數量，節省企業的運營成本與車輛購置成本。

由表3對比優化方案和實際方案可知：2 種方案在不同方向的列車節能和乘客節時效果存在差異；在列車節能效果方面，優化方案通過增加圖6中8：30 以后時段下行大交路放空列車的數量，降低了列車總牽引能耗的6.09%，但放空下行大交路列車使圖6中列車222026—142041 之間到達乘客的總等待時間增加了16.67%；在乘客節時效果方面，優化方案以增加上行大客流方向2.29%的列車總牽引能耗為代價，降低了大客流方向4.69%的乘客總等待時間；雖然早高峰時段組織開行的下行大交路放空列車增加了部分乘客的等待時間，但由于下行總客運量較小，僅為上行的1/11，總體上仍是節時的；早高峰時段留乘總人數降低了26.62%，總體上滿載率均衡性得到提高。

表3 實際方案與單一大交路站站停方案、優化方案的指標對比

綜上所述，相比于單一大交路站站停方案，優化方案減少了車底數量；相比于實際方案，優化方案在不增加車底數的前提下在上行大客流方向實現了乘客節時，在下行小客流方向實現了列車節能，總體上實現了列車總牽引能耗和乘客總等待時間的共同優化。

4.2 靈敏度分析

優化模型中，相鄰2 列大交路站站停列車間最大允許的小交路列車和放空列車之和σ是影響解空間大小，并由此成為影響運行圖列車總牽引能耗與乘客總等待時間的重要參數。在其余條件均不變的前提下，通過僅調整σ取值的形式優化運行圖。當σ>4時，部分乘客等待時間將超過15 min，不符合實際。因此分別考慮σ=1，2，3和4時，優化運行圖的列車總牽引能耗和乘客總等待時間的變化趨勢，結果如圖8所示。

圖8表明：隨著σ的逐步遞增，列車總牽引能耗遞減，而乘客總等待時間遞增；以σ=1 為對比組，當σ分別取2，3 和4 時，列車總牽引能耗分別降低了2.13%，7.84%和8.29%，而乘客總等待時間分別增加了3.42%，21.61%和24.08%，特別是當σ從2增至3時，2個目標的取值均發生了明顯變化，這是因為σ增加后，大交路區段站站停列車的發車間隔將被延長，導致乘客等待時間大幅增加。因此，在考慮組織大小交路和放空運行時，不宜將σ設置過大，在本案例平均發車間隔為3 min的早高峰時段，σ不宜超過2。

圖8 列車總牽引能耗和乘客總等待時間隨σ的變化情況

5 結 語

針對城市軌道交通客流斷面和客流方向不均衡的線路，結合客流時空動態變化，綜合考慮車底銜接、車底規模、列車容量、安全間隔以及相鄰2 列大交路站站停列車間小交路列車和放空列車數量等實際約束，提出了一種考慮大小交路和列車放空運行的列車節能和乘客節時運行圖優化模型，并以某市具有潮汐客流特征的某地鐵線路為背景，依托實際中的某工作日早高峰計劃運行圖方案，驗證了模型的適用性及優化效果。結果表明：優化后的運行圖通過組織列車開行大小交路和放空運行，在不影響車底總數的前提下降低了大客流方向乘客總等待時間和小客流方向列車總牽引能耗，在實際運行圖的基礎上進一步實現了1.71% 的列車節能和2.40%的乘客節時。此外，為了在節能節時的同時保證一定的服務水平，實際運營中應合理控制相鄰2 列站站停大交路列車之間小交路列車與放空列車的數量。

本文從牽引能耗指標角度考慮了運行圖的耗能情況，但未考慮再生制動能在多列車之間的傳遞過程。下一步可考慮多列車間能量的協同，實現牽引能耗與再生制動能的協同優化。此外，本文考慮了大小交路下的運行圖優化問題，今后可將深入分析多交路下乘客的路徑選擇，豐富運行圖優化模型的適用場景。