物理模型與高斯過程融合驅動的殘余應力疲勞狀態評估

梁天佑， 尹愛軍， 陳 平， 方 杰

(重慶大學 機械工程學院 機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044)

金屬構件受振動、沖擊等作用易導致疲勞失效，如支撐、連接螺栓等在長期振動作用下導致疲勞斷裂，繼而引發生產事故[1-2]。國內外研究表明，殘余應力可以表征金屬構件的疲勞狀態[3]。振動引發疲勞可由殘余應力表征，慕琴琴等[4]研究了發動機盤類零件振動-應力-壽命關系。周磊等[5]對不同軌道結構形式下地鐵車輛部件振動及應力進行分析，研究彈簧疲勞壽命。Kodama[6]通過疲勞試驗探究了載荷反復作用下殘余應力與疲勞加載周期之間的關系提出了殘余應力和疲勞循環周期的對數線性關系。Zhuang等[7-8]提出了基于初始殘余應力的殘余應力-疲勞循環周期模型。Zhang等[9]通過車軸鋼疲勞試驗，認為高周循環載荷作用下殘余應力與裂紋萌生及擴展有關。郭振坤等[10-11]則通過仿真模型研究了構件的疲勞壽命演化。

殘余應力松弛模型中常用的參數估計方法，主要有非線性最小平方(nonlinear least squares，NLS)法、貝葉斯法(Bayesian method，BM)、粒子濾波(particle filter，PF)法[12]等，對于包含隱變量的則有最大期望(expectation-maximization，EM)算法[13]等。NLS法是將非線性模型轉化為線性模型，再通過最小二乘法求解。BM是先假設模型未知參數符合某種先驗分布，在某一范圍選擇合適初始值，利用先驗分布采樣值的后驗概率值變化更新參數值，并迭代到收斂。PF法類似于BM，通過采樣大量帶權粒子確定物理模型參數。在殘余應力對疲勞壽命影響研究中，常采用NLS方法進行參數估計。

傳統物理模型如Kodama提出的對數線性模型等往往未充分考慮初始殘余應力與構件疲勞狀態間的關系，以及材料、環境等因素的影響。本文在有限數據條件下，考慮初始殘余應力，試樣差異性以及環境因素等對疲勞狀態的影響，利用傳統物理模型設計高斯過程核函數，建立物理模型和數據驅動的高斯過程融合的殘余應力疲勞狀態評估模型(Kodama-Gaussian process，K-GP)，并通過鋁合金進行了對比試驗，驗證了模型有效性。

1 殘余應力壽命模型

基于殘余應力的壽命模型已得到相關研究。研究表明，殘余應力越穩定，材料疲勞壽命越高。Kodama通過研究退火碳鋼噴丸處理后單軸循環加載下表面殘余應力演化規律，提出如式(1)的對數線性模型。

σN,rs=A+mlnN

(1)

式中：σN,rs為當前循環周期對應殘余應力；A,m為待定超參數；N為當前循環周期。然而該模型僅適用于殘余應力的緩慢松弛階段。

殘余應力松弛現象同時與應力梯度、應力比、材料應力應變、冷作硬化、粗糙度[14-16]有關。在考慮冷作硬化等因素的條件下，有如式(2)所示的壽命模型。

(2)

(3)

式(1)和式(3)模型均僅適用于構件的緩慢松弛階段，式(3)同時考慮了初始殘余應力的影響。

2 基于殘余應力的K-GP疲勞狀態評估

由于材料高應力幅值會加速殘余應力馳豫速率，使傳統物理模型計算結果在低周疲勞階段失準。因此在評估時，一般不考慮低周數據。而基于擬合回歸的參數估計方法，要求物理模型本身簡潔，因此評估誤差會增大。由數據驅動的高斯過程，將殘余應力松弛模型引入高斯過程核函數，建立構件疲勞循環周期預測模型。

2.1 高斯過程

高斯過程回歸(Gaussian process regression，GPR)假設多變量特征符合聯合高斯分布，從而通過計算聯合分布的邊緣概率密度獲得目標條件分布。GPR廣泛用于機械性能評估，壽命預測，金融股票走勢預測等問題有諸多研究和運用[17-19]。

(4)

式中：f(X*)為關于Y*的高斯分布，其分布參數與X*有關；K為核函數，用于定義樣本空間的內積關系；K(X,X)為以K(xi,xj)為元素的矩陣。

則f(X*)概率分布的均值μ(X*)以及協方差Σ*如式(5)和式(6)。

μ*=K(X*,X)[K(X,X)+σ2I]-1×

[Y-μ(X)]+μ(X*)

(5)

Σ*=K(X*,X*)-K(X*,X)×

[K(X,X)+σ2I]-1K(X,X*)

(6)

式中，σ2為高斯噪聲的系數[20-21]。

根據上述分析，高斯過程回歸關鍵在于設計核函數K[22]。不同的核函數有不同的超參數，通常采取優化極大似然邊緣概率估計核函數的超參數。設超參數向量為θ，則有

L(θ)=-ln[p(y|X,θ)]=

(7)

式中，Σθ為超參數θ下的協方差矩陣。

2.2 K-GP狀態評估模型

假設構件當前循環周期關于殘余應力符合高斯過程。根據式(1)物理模型，可得到如式(8)的增量表達式。

σN,rs+ΔσN,rs=A+mS+mΔS

(8)

式中：ΔσN,rs為殘余應力增量；S=lnN為對數疲勞周期；ΔS為對數疲勞周期增量。式(8)表明表示殘余應力改變時(增量ΔS)引起對數疲勞周期變化(ΔσN,rs增量)成線性關系。

結合式(8)的線性過程和式(9)所示的高斯過程線性核函數

(9)

有

(10)

根據式(5)和式(10)，可建立式(11)所示的高斯預測模型。

(11)

對于式(1)所示的物理模型，通常只適用緩慢松弛階段。而由式(3)，初始殘余應力和疲勞周期呈指數關系。考慮構件材料差異、環境因素以及測量誤差等因素影響，本文在線性核函數的基礎上，融合式(12)所示的徑向基函數核

(12)

式中，σ2和l2為超參數，形成式(13)的殘余應力疲勞狀態評估模型核函數。

K=KlKrbf+Kl

(13)

上述模型融合了物理模型和數據驅動方法，解決了數據驅動建模過程中的模型缺乏可解釋性問題，并綜合了初始殘余應力對評估的影響。

3 試驗驗證

3.1 試驗試樣

根據GB/T 228.1—2010《金屬拉伸試驗標準試驗類型及尺寸》，設計了如圖1所示的2024鋁合金試樣，其試件中間噴完部位表面粗糙度0.4 μm，材料性能參數如表1所示。

圖1 試驗樣件Fig.1 Experimental samples

表1 2024鋁合金力學性能Tab.1 Mechanical properties of 2024 aluminum alloy

3.2 試驗過程

3.2.1 表面噴丸強化

表面強化技術可在基本不改變材料基體的前提下可顯著提高其材料表層的抗疲勞性能[23]，噴丸區域如圖2框選區域，噴丸丸粒直徑0.3 mm，出口壓力0.3 MPa, 噴丸時間30 s, 覆蓋率100%。

圖2 噴丸件實物Fig.2 Shot peening parts

3.2.2 初始殘余應力檢測

采用μ-X360nX射線衍射儀檢測各試樣的初始殘余應力，并選取其中7個殘余應力相近的試樣進行后續試驗。初始殘余應力檢測結果如表2所示。1號試樣用來載荷測試。2號試樣是3.3節中全壽命試驗樣件，3號、4號、5號、6號、7號試樣用于階段疲勞試驗。

表2 各樣件初始殘余應力表Tab.2 Initial residual stress of each piece

3.2.3 拉伸疲勞試驗

應力比為0.1，正弦加載，頻率為20 Hz，加載載荷為15 kN。2號試樣全壽命加載試驗結果如表3所示。4～7號試樣階段加載，結果如表4所示。

表3 2號試樣疲勞殘余應力檢測結果Tab.3 Fatigue residual stress test results of No.2 sample

表4 階段性試驗疲勞殘余應力檢測結果Tab.4 Test results of fatigue residual stress in step test

3.3 疲勞狀態評估

通過全壽命試驗以及階段性試驗數據建立模型，結合蒙特卡洛方法對初始殘余應力以及當前殘余應力進行隨機采樣增加樣本總量，評估對象是對數疲勞周期。圖3(a)是融合模型評估結果;圖3(b)中不同初始殘余應力下殘余應力-疲勞循環周期曲線，每條曲線對應一個試樣。該曲線簇反映不同試樣具有不同初始殘余應力下的演化特性。圖4、圖5分別是式(1)、式(3)利NLS方法得到評估結果(以Kodama模型和Omar模型表示)。

圖3 K-GP評估結果Fig.3 Assessment results of K-GP

圖4 Kodama模型評估結果Fig.4 Assessment results of Kodama model

由圖4圖5可知，可驗證傳統物理模型并不適用于構件疲勞的低周階段，圖5橫坐標為殘余應力比即當前殘余應力與初始殘余應力比值，說明構件疲勞過程與初始殘余應力有關，圖3(c)中表明不同初始殘余應力則對應于不同的構件疲勞曲線，但是其變化趨勢是相似的，且KGP適用于低周疲勞階段。

圖5 Omar模型評估結果Fig.5 Assessment results of Omar model

誤差結果如圖6所示，以2號樣件總壽命百分比表示，誤差計算公式為

圖6 評估誤差對比Fig.6 Evaluation error comparison

(14)

Nf_t取二號試樣的總疲勞周期。由于我們評估模型輸出的是對數周期，因此需將對數周期轉換為周期，對數周期在KGP中認為是符合正態分布，則周期符合對數正態分布，其期望計算公式為

E(Np)=eE(S)+Var(S)/2

(15)

式中，S為模型評估的對數周期。

圖6給出各個點對應誤差并通過3階多項式擬合給出誤差趨勢，相較于其他疲勞壽命模型，本文提出的K-GP模型引入初始殘余應力，有效的提高了疲勞狀態評估的準確性，Omar模型效果最差。

4 結 論

本文分析了殘余應力演化傳統物理模型的局限性，結合初始殘余應力，將數據驅動的高斯過程融入到物理模型中，提高了殘余應力疲勞狀態評估模型的準確性并使模型適用于低周疲勞階段。K-GP模型目前涉及初始殘余應力對疲勞狀態評估的影響，后續可考慮表面粗糙度，冷作硬化等對模型的影響；并優化模型，減小對樣本數據量的依賴。