雙穩態余弦梁非線性隔振器的動力學與隔振特性研究

2022-02-16 01:18:18王文波李雙寶

振動與沖擊 2022年2期

關鍵詞：系統

張威，王文波，李雙寶

(1. 中國民航大學航空工程學院，天津 300300； 2. 中國民航航空地面特種設備研究基地，天津 300300；3. 中國民航大學理學院，天津 300300)

針對這一問題，有學者發現并聯三根正剛度彈簧得到的裝置，理論上不僅具有高靜載支撐能力與低動剛度特征，而且還能實現準零剛度，進而可用于低頻隔振。其中，Carrella等[4-7]較早研究過具有高靜低動特征的三彈簧并聯隔振系統的靜力學與隔振傳遞率特性，結果表明其具有低頻隔振性能。但是，具有準零剛度特征的隔振器的設計難點在于構造負剛度。其中，橫向線性彈簧并聯構造的負剛度結構是最常見的形式，其負剛度原理和復雜的非線性動力學現象被Cao等[8-11]進行過深入的研究，其中Hao等[12]基于Cao等的研究，對一種用于低頻地面振動測試(ground vibration test,GVT)非線性支撐系統的準零剛度振子模型的未擾系統動力學進行了研究，得到滿足準零剛度的結構參數。近年來在負剛度彈性元件的構造上出現了以磁彈簧[13-14]、剪刀架結構[15]、滾輪-凸輪-彈簧機構(cam-roller-spring mechanisms,CRSM)[16]、碟形彈簧[17-18]、空氣彈簧[19]、新材料構造的新結構[20-21]以及梁或桿[22-26]等。其中梁有直梁和曲梁兩種，曲梁又分為兩端受載屈曲梁和兩端固支余弦梁。Benjamin等將兩端固支屈曲梁低頻隔振器用于抗沖擊試驗研究，得到其隔振峰值大大降低，但未對其動力學進行理論分析。王云峰等[27]基于拉格朗日原理建立了兩端固支屈曲梁隔振器的動力學模型，并對其隔振性能進行了分析，結果表明其低頻隔振性能優于線性系統。然而兩端固支屈曲梁具有明顯的缺點，即難以精確控制其預壓力，從而極大限制了其在工程中的應用。

由文獻[28]可知余弦梁在不需要兩端施加載荷情況下就具有雙穩態特性，還可通過改變拱高與梁厚得到不同的力與位移關系，以及實現負剛度等。因此，在考慮小變形的情況下，本文提出雙穩態余弦梁非線性隔振器，其由兩端剛性固定的余弦梁負剛度元件與垂向正剛度線性彈簧并聯構成。通過分析該系統無阻尼未受擾動情況下的動力學模型，得到滿足該系統準零剛度平衡點的充要條件。對其進行靜力學分析，提出可以通過改變余弦梁的高厚比，進而改變系統的剛度以實現低頻隔振。本文還定義了雙穩態余弦梁非線性隔振器的準零剛度平衡點。通過分析雙穩態余弦梁非線性隔振器的力傳遞率，得到了系統的起始隔振頻率值。

1 雙穩態余弦梁非線性隔振器的靜力學分析

1.1 雙穩態余弦梁

如圖1所示為兩端固支的雙穩態余弦梁結構，其中：l為兩固定端的距離；δ為梁截面厚度；H為初始時刻梁軸線中點距兩端點連線的垂直距離即梁的拱高；E為彈性模量；I為慣性矩；X為壓縮位移。兩端固支曲梁在文獻[29]中已被研究，但未給出其靜力學方程。Qiu等研究了兩端固支余弦梁橫向受載時的回復力，得其前三階回復力與位移關系式(1)。

圖1 雙穩態余弦梁受橫向載荷示意圖Fig.1 The bistable cosine-shaped beam with cross force

(1)

(2)

所得無量綱的作用力Φi(i=1,2,3)與位移的關系，如圖2所示。當h=1.65時，Φ1與Φ2在Δ=1處相切。本文考慮當h≤1.65時，即余弦梁受壓過程中其垂向作用力與位移的關系只滿足F1這種情況作為負剛度機構。其力與位移的關系式為

圖2 不同高厚比下余弦梁的力-位移關系Fig.2 Several solutions of cosine-shaped beam normalized force-displacement relation

(3)

則余弦梁的無量綱力與位移關系表達式為

(4)

式(4)對x求導，則余弦梁無量綱剛度位移關系可表示為

k1=9x2-3h2+4

(5)

1.2 準零剛度隔振系統的平衡位置

余弦梁結構可以被設計成具有優異的抗沖擊性能的機構，如果并聯一正剛度為K1的垂向線性彈簧，理論上可以在實現高靜載支撐能力的同時兼具低動剛度，同時擁有較好的低頻隔振性能。本文的雙穩態余弦梁非線性隔振系統結構，如圖3所示。

圖3 雙穩態余弦梁非線性隔振系統結構示意圖Fig.3 Structure of nonlinear vibration isolator with bistable cosine-shaped beam

不考慮質量M和阻尼c，在軸向受載F的作用下，系統的力與位移關系可表示為

(6)

對式(6)無量綱處理，得系統的無量綱力與位移關系式為

(7)

將式(7)等式兩邊分別對x求導，得到隔振系統的無量綱剛度與位移關系式為

(8)

(9)

在工程實踐中，隔振系統的無量綱剛度比a應大于或等于0。根據式(9)，在平衡位置x=0處的等效剛度比記作a0，其與等效高厚比h的關系為

(10)

式(10)表明等效剛度比a0與高厚比h有關。將式(10)分別代入式(7)、式(8)，即可得其無量綱恢復力的表達式為

(11)

無量綱剛度的表達式為

(12)

式(12)與對式(11)求關于x的一階導數得到的剛度表達式一致。由上述定義可以得如下結論：當且僅當a=a0時，隔振系統存在唯一的穩定準零剛度平衡點x=0。

根據式(8)、式(10)現對本系統的零剛度平衡點個數作如下分析：

圖4 不同剛度比a條件下的無量綱剛度曲線Fig.4 Dimensionless stiffness under different stiffness ratio a

圖5 剛度與位移和高厚比的關系Fig.5 The relationship among stiffness, displacement height-thickness-ratio

2 諧波激勵力作用下非線性隔振器動力學模型

當雙穩態余弦梁隔振系統承載質量為M的被隔振物體后，對該系統施加諧波激勵力F0cos(Ωt)時，系統的動力學方程為

(13)

式(13)無量綱化后得

(14)

3 余弦梁非線性隔振器動力學分析

3.1 未擾動方程

在不考慮阻尼和外激勵情況下，余弦梁非線性隔振器的未擾動無量綱動力學微分方程可表示為

(15)

將式(15)改寫成一階控制方程

(16)

令非線性恢復力為

F(x,α,β)=αx+ρx3+β

(17)

其對應的勢能函數及Hamiltonian函數分別為

(18)

(19)

3.2 平衡點分岔

本節先建立雙參數分岔圖來揭示該系統的解在參數空間中分布的拓撲結構。根據系統式(16)可通過空間曲面表示其平衡點。由1.2節分析可知剛度比a≥0，所以有ρ≥0，又因ρ的取值不會改變平衡點的位置，為了便于分析，故可令ρ=3。這一取值也與第4章的幾何參數對應的響應分析結果相同。

式(16)、式(17)即可表示成

(20)

F(x,α,β)=αx+3x3+β

(21)

圖6 系統式(20)的平衡點與靜態分岔圖Fig.6 The equilibrium surfacein space and static bifurcation diagram of the system (20)

圖7 系統式(20)平衡點與兩個參數α，β的關系Fig.7 The relationship between equilibria of system (20) and two parameters α,β

以上相平面圖8顯示了系統式(20)依賴一個參數α的連續變化的轉遷動力學行為。當α<0時，系統除了表現出與杜芬方程相似的標準雙阱動力學行為，同時表現出類鞍點和類同宿軌道等非標準的動力學行為。當α≥0時,系統主要表現為單阱動力學行為。事實上從圖9(b)中也可以直接得出系統式(20)是一個具有轉遷動力學的系統即從雙勢能阱向單勢能阱轉化，點劃線表示α<0系統具有雙勢能阱；實線、虛線分別表示α=0或α>0時，系統具有單勢能阱。

圖8 系統式(20)的代表性相圖以及平衡點Fig.8 Representative phase portraits and equilibria of the system (20)

圖9 參數α對非線性恢復力、勢能的影響Fig.9 Effect of parameter α on nonlinear restoring force and potential energy

通過本節的研究還可以得到系統式(20)的存在穩定的零剛度平衡點的條件為α=0，β=0。根據非線性恢復力式(21)對位移x求一階導數得其非線性剛度為

K(x)=α+9x2

(22)

由相平面圖8的分析可知β=0系統才具有對稱性，當α取值從0～-2的過程系統式(20)具有轉遷行為，只有當(α,β)=(0,0)時系統才有穩定的零剛度平衡點即(α,β)=(0,0)是系統具有準零剛度平衡點的充要條件。

3.3 系統隔振動力學響應與周期解的穩定性分析

如圖3所示，考慮到該系統為單自由度非線性隔振系統且受諧波力激勵F0cos(Ωt)作用時，當其承載一定質量為M的物體后，系統正好處于平衡位置u=0處，此時系統的剛度為零。其黏性阻尼為c。根據式(7)和式(10)可得承載質量M與系統參數之間的關系為

(23)

隔振系統運動微分方程可以寫成

(24)

式中：u=X-H；Fr為諧波力激勵下系統的恢復力。

由式(11)和式(23)可得

(25)

因此，式(24)的無量綱形式為

(26)

其中，幾何參數比為

(27)

考慮到無量綱微分方程，假設其具有諧波形式的周期解。運用平均法求解無量綱運動微分方程式(26)。

設

x=Acos(wt+θ)

(28)

(29)

考慮對式(28)、式(29)中的A，θ求導，且令φ=wt+θ。得

(30)

(31)

分別將式(28)與式(30)聯立；將式(28)、式(29)及式(31)代入式(26)中得慢變的幅值和相位角方程

(32)

其中，

I=2Awζsinφ+Aw2cosφ-ρA3cos3φ+fcos(φ-θ)

對式(32)關于φ從0～2π積分取平均得到關于A和θ的平均方程

(33)

(34)

其對應于隔振系統的穩態解，由式(34)可得一階近似解下的幅頻響應關系式

(35)

為了確定解式(28)、式(29)的穩定性，引入擾動變量ξ=A-A0，η=θ-θ0，并將其代入式(34)，令

得到

(36)

設式(36)的解為ξ=ξ0est，η=η0est，可得式(36)的特征方程

其中，

(37)

根據李雅普諾夫一次近似穩定性理論[30]，如果ε1>0，ε2>0，則是奇點(A0,θ0)漸進穩定的充分條件。ε2<0，則奇點(A0,θ0)不穩定，因此ε2=0是穩定與不穩定區域的分界線。

4 系統各參數下的幅頻響應

表1 各激勵幅值下的上、下跳躍點Tab.1 Jump-down and jump-up points under excitation amplitude

圖10 幾何參數ρ與高厚比h的關系Fig.10 Relationship between geometric parameters ρ and height-thickness-ratio h

根據式(35)分析系統各參數包括阻尼系數ζ、激勵幅值f、幾何參數比ρ，對系統的幅頻響應的影響如圖11～圖13所示。

圖11 不同幾何參數比ρ下系統幅頻響應Fig.11 Amplitude-frequency responses of system with different geometric parameters ρ

圖12 不同阻尼系數ζ下系統幅頻響應Fig.12 Amplitude-frequency responses of system with different damp ratio ζ

圖13 不同激勵幅值f下系統幅頻響應Fig.13 Amplitude-frequency responses of system with different excitation amplitude f

設定參數ζ=0.02，f=0.02，可得幾何配置比對系統響應的影響見圖11，其中給出了不同幾何配置比ρ值對應的幅頻響應曲線和線性彈簧隔振系統的響應。在頻率比小于1的范圍內，隨著幾何參數比的增加共振幅值會降低同時共振頻率也會增大。所以當ζ=0.02，f=0.02時，使發生向下跳躍的頻率低,同時兼顧共振峰值小，故幾何配置比ρ約為3。圖12與圖13顯示了阻尼系數和激勵幅值對幅頻響應的影響，由圖可知：當阻尼系數ζ的越大，系統的共振響應越小；反之當阻尼系數ζ的越小，系統的共振響應越大。但阻尼既不能無限增大也不能無限減小。當激勵幅值f的減小，余弦梁隔振器幅值的響應也減小；當激勵幅值f的增大，余弦梁隔振器幅值的響應也增大。在取相同參數值得情況下，非線性隔振器的共振響應峰值都要比線性隔振器的大。

5 各參數對系統力傳遞率的影響

由線性隔振系統力傳遞率的定義：傳到基礎的力與激勵力幅值之比稱作線性系統的力傳遞率。非線性隔振系統與線性系統的定義應當類似，所以屈曲梁隔振系統在激勵力作用下的傳遞率公式為

(38)

其中，式(38)的分子為傳到基礎上的最大作用力包括阻尼與彈性力兩部分，分母為外激勵幅值。該公式與線性隔振系統傳遞率公式的定義類似。

根據式(26)可知，傳遞到基礎的作用力關于無量綱位移x單調遞增，因此可以得出傳遞率近似公式為

(39)

圖14～圖16分別反映了不同系統參數對非線性隔振系統力傳遞率的影響并與等效線性系統的力傳遞率的對比。由圖14可得隨阻尼系數ζ的增大，無論線性系統還是非線性系統的傳遞率隨頻率增加，在低頻段峰值均減小在高頻段力傳遞率增加隔振效率變差。圖15反映了隨幾何參數ρ的增大，非線性隔振系統的共振峰值略有增加，起始隔振頻率越來越大。隨頻率的增大不同幾何參數下非線性系統的傳遞率最終趨近于相等，但遠低于線性系統的傳遞率。圖16反映了隨外激勵幅值f增加，力傳遞率的共振峰值也相應增加，其對應的共振頻率也增加；頻率增加到一定值后系統力傳遞率的大小也近似相等，外激勵幅值越小起始隔振頻率也越小。從上述三圖的隔振傳遞率曲線均反映非線性系統隔離低頻振動相比線性系統具有優越性。

圖14 阻尼系數ζ對應的力傳遞率Fig.14 Effect of different damp ratio ζ on the force transmissibility

圖15 幾何參數ρ對應的力傳遞率Fig.15 Effect of geometric parameters ρ on the force transmissibility

圖16 外激勵幅值f下系統的力傳遞率Fig.16 Effect of excitation amplitude f on the force transmissibility

表2 力傳遞率對應各參數下的起始隔振頻率Tab.2 Initial isolation frequency of force transmissibility under various parameters

6 隔振系統仿真分析

根據隔振系統的需要，初步設計余弦梁的結構參數長l=350 mm，寬b=32.66 mm，拱高h=4.083 mm，梁厚δ=2.887 mm，彈性模量E=168.9 GPa，泊松比σ=0.22。通過有限元軟件對其靜力學進行分析得其力與位移的關系與數值公式計算的結果如圖17所示，仿真結果與理論計算幾乎一致。

圖17 余弦梁的力與位移關系曲線Fig.17 The force-displacement relation of cosine-shaped beam

雙穩態余弦梁非線性隔振系統的有限元模型如圖18所示，設置被隔振質量為31.7 kg，線性彈簧剛度為25.43 N/mm，阻尼比值為0.03。在有限元分析模型中通過兩個分析步來實現仿真分析：第一步通過施加靜力使余弦梁非線性隔振器處于平衡位置；第二步施加一個Y軸方向且幅值為15的周期性的余弦激勵，通過傳遞到基礎的力時程響應均方根值與輸出激勵的值相比即為余弦梁非線性隔振器的力傳遞率。圖19顯示4 s內激勵頻率為10 Hz時的輸入、輸出時域數據，其傳遞率為2.26，同理可得其他激勵頻率下的傳遞率值。在頻率范圍0～50 Hz內余弦梁非線性隔振器與線性隔振器的隔振傳遞率，如圖20所示，仿真結果表明：余弦梁非線性隔振系統的起始隔振頻率12 Hz小于線性隔振系統的起始隔振頻率40 Hz，驗證了本文設計的余弦梁非線性隔振器的隔振性能優于線性隔振器。