黃原膠溶液中法拉第斑圖色散關(guān)系的修正

高云浩,王 偉,周路群

(北京大學(xué) a.元培學(xué)院；b.物理學(xué)院，北京 100871)

1831年，法拉第(Michael Faraday)發(fā)現(xiàn)，對(duì)一定質(zhì)量的液體施加豎直簡(jiǎn)諧驅(qū)動(dòng)后，在一定條件下可形成穩(wěn)定的表面駐波[1]，這種現(xiàn)象被稱為法拉第斑圖(Faraday waves). 法拉第斑圖系統(tǒng)是經(jīng)典的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，其物理內(nèi)涵豐富，已有大量有關(guān)斑圖的實(shí)驗(yàn)、理論結(jié)果被報(bào)道，但是仍有許多問題值得進(jìn)一步研究.

法拉第斑圖系統(tǒng)中穩(wěn)定模態(tài)與連續(xù)流體介質(zhì)中的表面波具有相同的色散關(guān)系. 朗道(Lev Davidovich Landau)對(duì)納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程采取了理想流體、純勢(shì)流和小振動(dòng)近似，給出了經(jīng)典表面重力張力波的色散關(guān)系表達(dá)式[2]. 基于對(duì)黃原膠溶液沿某一直徑方向的斑圖色散關(guān)系的測(cè)量，亓瑞時(shí)等人在低頻區(qū)域?qū)实赖慕Y(jié)果進(jìn)行了較充分的檢驗(yàn)[3]；然而，在高頻驅(qū)動(dòng)下，黏滯耗散和流體本身表現(xiàn)的非線性效應(yīng)逐漸顯著，原色散關(guān)系將不再適用，需要進(jìn)行修正.

本文從黏滯耗散和剪切稀化效應(yīng)出發(fā)，對(duì)經(jīng)典色散關(guān)系進(jìn)行理論修正；實(shí)驗(yàn)測(cè)量黃原膠溶液在較大頻率范圍內(nèi)的色散關(guān)系，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所作理論修正的合理性.

1 理論分析

在本部分中，首先簡(jiǎn)要介紹朗道的經(jīng)典色散關(guān)系及處理方法，隨后引入黏滯耗散和剪切稀化作用，進(jìn)行理論修正.

1.1 朗道的經(jīng)典色散關(guān)系

朗道從理想不可壓縮流體的歐拉方程出發(fā)，設(shè)重力加速度為g，流體密度為ρ，得出流體速度場(chǎng)v和壓強(qiáng)p的關(guān)系

(1)

忽略(v·)v項(xiàng)，將流體視為純勢(shì)流v=φ.按z軸豎直向上建立直角坐標(biāo)系.因?yàn)楸砻鎻埩σ鸬膲簭?qiáng)差滿足拉普拉斯公式Δp=ακ，其中α為表面張力系數(shù)，為表面平均曲率，可得流體表面z=h(x,y,t)處速度勢(shì)φ滿足

(2)

(3)

設(shè)流體厚度為H，利用流體底部流速為0的邊界條件，結(jié)合式(3)，即可得到經(jīng)典表面重力張力波的色散關(guān)系為

(4)

其中,ω為頻率，k為波矢.

朗道的處理主要采用了3點(diǎn)近似：

a.理想流體近似；

b.純勢(shì)流近似；

c.小振動(dòng)近似.

在下面的分析中，將分別給出對(duì)應(yīng)這3點(diǎn)近似的修正.

1.2 黏滯耗散對(duì)色散關(guān)系的修正

1.2.1 嚴(yán)格定解方程組

寫出決定流體運(yùn)動(dòng)的嚴(yán)格定解方程組，其中連續(xù)性方程為

·v=0,

(5)

納維-斯托克斯方程為

(6)

(7)

液面處應(yīng)力平衡方程為

(8)

(9)

式(8)和(9)分別描述了切向平衡與法向平衡.引入黏滯應(yīng)力張量τ=2ργe=2ηe，其中：

(10)

分析定解方程組[式(5)～(10)]可以看出，黏滯耗散的影響包含兩方面：流體的運(yùn)動(dòng)方程中需要引入γ2v項(xiàng),流體表面處的平衡方程需要考慮黏性阻力的作用,二者將分別影響流體運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程和邊界條件.

1.2.2 準(zhǔn)勢(shì)流近似和小振動(dòng)近似

式(5)～(10)不能直接解析求解，原因在于無法做純勢(shì)流假設(shè)而使方程標(biāo)量化.在與邊界接觸(簡(jiǎn)稱邊界層)處，流體黏滯耗散的作用將占據(jù)主導(dǎo)地位，使得流體不再是有勢(shì)流.

針對(duì)這一問題，引入速度勢(shì)，使得v=φ，從而簡(jiǎn)化方程，此處采取的是準(zhǔn)勢(shì)流近似.準(zhǔn)勢(shì)流近似假設(shè)流場(chǎng)除了邊界層外都是有勢(shì)的，而在邊界層處以適當(dāng)?shù)年P(guān)系進(jìn)行連接[4].得到微分方程

2φ=0 ，

(11)

邊界條件為

(12)

(13)

(14)

式中，h=h(x,y,t)為流體表面方程，W=W(x,y,t)為流體表面速度沿z方向的旋轉(zhuǎn)分量.式(11)～(14)為標(biāo)量形式的定解方程組.

并寫出有關(guān)h與φ的二元微分方程組

(15)

(16)

其中，φ滿足拉普拉斯方程，即式(11).比較式(15)與式(16)，可以發(fā)現(xiàn)h與φ滿足的方程是對(duì)稱的，因此可用h描述流體的運(yùn)動(dòng).結(jié)合式(11)，式(15)與式(16)可以消去φ，并化簡(jiǎn)得到有關(guān)h的微分方程為

(17)

式(17)是典型的阻尼振動(dòng)方程，其阻尼來自黏滯耗散.該式表明黏滯項(xiàng)導(dǎo)致的耗散系數(shù)為2γk2.

1.2.3 黏滯耗散對(duì)色散關(guān)系的修正

式(17)描述的是衰減波，如果系統(tǒng)要產(chǎn)生穩(wěn)定波，必須引入外界能量輸入，這對(duì)應(yīng)于法拉第斑圖系統(tǒng)中的豎直簡(jiǎn)諧驅(qū)動(dòng).如果以振動(dòng)的容器為參考系，該驅(qū)動(dòng)等效的重力加速度g隨時(shí)間諧變，即

g→g[1+εcos (Ωt)]，

(18)

(19)

理論分析表明，當(dāng)發(fā)生穩(wěn)定共振時(shí)，驅(qū)動(dòng)頻率恰為本征頻率的2倍[6]，即

Ω=2ω0，

(20)

在實(shí)驗(yàn)上可用式(20)確定ω0.從式(19)出發(fā)，略去下標(biāo)，設(shè)流體厚度為H，利用流體底部流速為0的邊界條件,可得到振動(dòng)頻率

(21)

在以上過程中，對(duì)應(yīng)于朗道的近似，采取了以下修正：

a.拋棄理想流體近似，引入黏度；

b.將純勢(shì)流近似修正為準(zhǔn)勢(shì)流近似；

c.保留小振動(dòng)近似.

根據(jù)式(21)，黏滯耗散為色散關(guān)系引入了四次方依賴項(xiàng). 對(duì)于恒黏度體系，這個(gè)依賴項(xiàng)將在高頻下起主導(dǎo)作用.

1.3 剪切稀化效應(yīng)及其對(duì)色散關(guān)系的修正

黃原膠溶液是典型的假塑性非牛頓流體，實(shí)驗(yàn)表明，黃原膠溶液的黏度隨著剪切速率的增大而降低，即存在剪切稀化效應(yīng)[7]，在高頻下該效應(yīng)將弱化黏滯耗散. 一般認(rèn)為靜止或低剪切速率的黃原膠溶液中，黃原膠分子彼此纏繞，形成高黏度；隨著剪切速率逐漸增大，黃原膠分子團(tuán)發(fā)生解聚，變?yōu)榉蛛x的鏈狀結(jié)構(gòu)，因而溶液的黏度不斷下降.

流變學(xué)中存在多個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式描述剪切稀化效應(yīng)，如冪律方程、Cross方程、Carreau方程等[8]. 其中，冪律方程形式簡(jiǎn)單，且對(duì)于黃原膠溶液符合程度較好，這在文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)得到證實(shí).

冪律方程指出，在一定范圍內(nèi)，動(dòng)力黏度η與剪切速率v之間存在如下關(guān)系

η=Kvn-1(0

(22)

(23)

式(23)考慮了剪切稀化效應(yīng)，該效應(yīng)為黏滯修正提供了負(fù)反饋，弱化了黏滯耗散.

2 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)裝置示意圖[3]如圖1所示. 各儀器的型號(hào)為：模態(tài)激振器JZK-100，掃頻信號(hào)發(fā)生器YE1311，功率放大器YE5878，壓電式加速度傳感器GA-YD-107，電荷放大器YE5852(江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司),示波器TDS1002[泰克科技(中國(guó))有限公司]，高速攝像機(jī)AOS S-MOTION(瑞士AOS公司).

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)中，驅(qū)動(dòng)信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生，經(jīng)功率放大器放大，輸入模態(tài)激振器，使激振器產(chǎn)生豎直方向的簡(jiǎn)諧驅(qū)動(dòng)，帶動(dòng)固定于其上的平板、加速度傳感器以及裝有一定量黃原膠溶液的無蓋圓形容器；傳感器的加速度信號(hào)經(jīng)電荷放大器后輸入示波器供讀取；高速攝像機(jī)用于觀察表面形成的法拉第斑圖，攝像機(jī)下裝有均勻照明光源.

實(shí)驗(yàn)采用容器的內(nèi)徑D=9.00 cm，注入的黃原膠溶液濃度c=5 g/L，厚度H=2.00 cm. 在此參量條件下溶液的密度ρ=976 kg/m3，表面張力系數(shù)α=0.085 N/m. 實(shí)驗(yàn)中重力加速度g=9.80 m/s2.

3 測(cè)量方案

實(shí)驗(yàn)中由高至低調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率，觀察斑圖出現(xiàn)的臨界位置，此時(shí)應(yīng)為振幅不大且較為穩(wěn)定的表面駐波. 通過示波器可以測(cè)量驅(qū)動(dòng)加速度信號(hào)的頻率. 設(shè)此時(shí)示波器讀數(shù)為f(單位：Hz)，則Ω=2πf. 據(jù)式(20)可知此時(shí)ω=πf.

(a) 23 Hz驅(qū)動(dòng)下的拍攝結(jié)果

在具體的圖像處理過程中，先將原始圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像，再通過邊緣識(shí)別，匹配出等相位點(diǎn)，即可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化測(cè)量. 在均勻光源照射下，峰頂點(diǎn)與其周圍點(diǎn)存在較大的亮度差異，實(shí)驗(yàn)中將峰的匹配模式設(shè)定為在圓形深色區(qū)域中的淺色點(diǎn).

在高頻的情況下，斑圖呈現(xiàn)出高度周期性的特征. 此時(shí)可以通過二維傅里葉變換，將灰度圖像表征的位置分布變換為空間頻譜分布，從而得到較為準(zhǔn)確的空間頻率，如圖3所示. 將通過以上方式測(cè)得的ω和k繪制在坐標(biāo)圖中，得到色散曲線. 實(shí)驗(yàn)中設(shè)置驅(qū)動(dòng)頻率范圍10～120 Hz，其中大于35 Hz的部分屬于高頻段.

(a) 100 Hz驅(qū)動(dòng)下的拍攝結(jié)果(紅色圈為液面邊緣)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

黃原膠溶液的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示. 黑色數(shù)據(jù)點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果，藍(lán)色線為朗道經(jīng)典色散曲線[7]，紅色線為引入恒定黏度修正的色散曲線，橙色線為在考慮黏度的基礎(chǔ)上引入了剪切稀化效應(yīng)的色散曲線.

圖4 黃原膠溶液的色散關(guān)系

從圖4可以看出，實(shí)際色散點(diǎn)整體高于經(jīng)典色散關(guān)系曲線；在較低頻段，恒定黏度的修正公式[式(18)]已經(jīng)給出較為滿意的符合結(jié)果；隨著頻率增大，恒定黏度修正顯著大于實(shí)測(cè)結(jié)果，這說明此時(shí)剪切稀化效應(yīng)不可忽略，采用剪切稀化修正公式[式(20)]的符合結(jié)果較好.

做進(jìn)一步定量分析，從修正后的色散關(guān)系出發(fā)，根據(jù)測(cè)得的多點(diǎn)ω和k值，可以反解出對(duì)應(yīng)的γ(ω)與η(ω)分別為

(24)

(25)

作出η(ω)與ω的雙對(duì)數(shù)關(guān)系圖并進(jìn)行線性擬合，如圖5所示.

圖5 黃原膠溶液的動(dòng)力黏度與頻率的關(guān)系

根據(jù)冪律方程η∝ωn-1，由擬合結(jié)果可以得出n≈0.13.文獻(xiàn)[7]中給出濃度為5 g/L的黃原膠溶液對(duì)應(yīng)n≈0.2，本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與其大致吻合.因此，在誤差允許范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)與理論修正的結(jié)果一致.

在本實(shí)驗(yàn)中，邊界效應(yīng)的影響、高階非線性效應(yīng)、高速攝像機(jī)的中心投影偏差等誤差仍然存在.但是根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以判斷，在測(cè)量的頻率范圍內(nèi)，這部分誤差的效應(yīng)遠(yuǎn)不及黏滯耗散和剪切稀化效應(yīng)，且后者對(duì)于黃原膠溶液的色散曲線修正起到了主導(dǎo)作用.

5 結(jié) 論

從經(jīng)典表面重力張力波的色散關(guān)系出發(fā)，基于黏滯耗散和剪切稀化效應(yīng),引入了理論修正，提出了適用范圍更廣的色散關(guān)系表達(dá)式，揭示了流體的黏滯耗散和流體本身的性質(zhì)對(duì)色散關(guān)系的作用. 在黃原膠溶液體系中測(cè)定了10～120 Hz范圍內(nèi)的色散曲線，定量驗(yàn)證了理論修正結(jié)果. 所得到的色散關(guān)系將適用于在較高頻率條件下描述其他斑圖體系的色散行為. 在表達(dá)式推導(dǎo)過程中仍然保留了小振動(dòng)近似. 實(shí)驗(yàn)中觀察到，在振幅較大的情況下也能形成穩(wěn)定的斑圖，說明斑圖系統(tǒng)中存在豐富的非線性現(xiàn)象. 斑圖中更普遍的色散關(guān)系有待理論與實(shí)驗(yàn)工作的進(jìn)一步探索.

致謝：感謝潘程揚(yáng)、劉雨霖同學(xué)的討論交流.