落實“雙減”政策·直擊核心素養·回歸數學本質
——2022年云南省初中學業水平考試數學試題評析與教學啟示

昆明市滇池度假區實驗學校 倪方友

2022年云南省初中學業水平考試數學試題體現了《義務教育數學課程標準》（2022年版）的要求，緊扣教材，注重基礎，回歸數學本質，堅持以學定考，面向全體學生，全面落實“雙減”政策要求，切實減輕學生過重負擔．分析和研究試題有助于我們領悟教學的著力點，為新一年初中數學教學和學業水平考試備考指明方向.

一、試題評析

（一）遵循原則，強化基礎考查

命題方向重在落實課程標準的目標要求，回歸教材，體現了“雙減”政策導向的原則.試題對初中數學必備的基礎知識的考查占了90%以上，對必要的運算技能、數量的變化規律、方程函數的應用、基本的證明方法和幾何直觀能力、數據觀念和隨機意識、合情推理和演繹推理等能力進行考查．其中，容易題分值達85分以上，中檔題約24分，較難題約11分，難度設計符合7∶2∶1的要求，充分體現了初中學業水平考試要求，讓每一位學生在考試中均有獲得感和成功的體驗，讓絕大多數的學生達到合格水平，凸顯義務教育階段的特點．

A.第一、第三象限 B.第一、第四象限

C.第二、第三象限 D.第二、第四象限

評析：本題是一道基礎題，來源于人教版數學教材九年級下冊第6頁練習第2題．課標對應的目標要求：能畫出反比例函數的圖象，根據圖象和表達式探索并理解k＞0和k＜0時，圖象的變化．試題主要考查數形結合思想及其合理判斷，學生只要掌握了反比例函數圖象的性質，直接由k值的正負即可得到正確答案．

例2 （第9題）如圖1，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，若AB =26，CD =24，則∠OCE余弦值為（ ）

圖1

評析：本題是一道有一定綜合性的基礎題，來源于人教版數學教材八年級下冊第28頁習題17.1第1題和九年級下冊第65頁練習第1題的整合．課標對應的目標要求：探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題；能用銳角三角函數解直角三角形．本題涉及的知識點有垂徑定理、勾股定理和銳角三角函數中余弦的定義等相關知識，主要考查學生對概念的理解力，推理能力和運算能力．

（二）注重通法，回歸數學本質

全卷試題的設計，回歸數學本質，注重對基本原理、解題的通法和基本的數學思想的考查，回避了偏、難、怪且需要特殊技巧的題目，有利于引導教育教學，切實減輕學生的學習負擔．

例3 （第18題）已知△ABC是等腰三角形，若∠A=40°，則△ABC的頂角度數是___________．

評析：本題屬于一道中檔題，來源于人教版數學教材八年級上冊第81頁習題13.3第1題．課標對應的目標要求：探索并證明三角形的內角和定理；探索并證明等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩底角相等．試題回歸數學本質，考查了三角形的內角和、等腰三角形的角的性質、等腰三角形的角的兩種分類等相關知識．試題主要考查了學生的幾何直觀和分類思想，讓學生感悟分類是一種重要的數學思想．

例4 （第21題）如圖2，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°．

圖2

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；

（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．

評析：本題是基于教材背景原創的一道基礎題，課標對應的目標要求：探索并證明平行四邊形、矩形的性質定理和判定定理．該題直擊平行四邊形、矩形的定義和判定的基本定理，回歸數學知識的本身，考查了全等三角形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定、矩形的判定和圖形的面積計算等知識和方法，讓學生容易入手．試題主要考查了學生的邏輯推理能力、運算能力和轉化思想．

（三）強調應用，體現育人價值

試題的情境設置貼近學生生活實際，讓學生有熟悉感，讓學生在真實情景中解決數學問題，注重應用意識和創新意識的考查．試題背景還滲透了中國傳統文化、民族文化，根植學生的家國情懷，增強民族自豪感，真正體現數學的育人價值．

例5 （第20題）某班甲、乙兩名同學被推薦到學校藝術節上表演節目，計劃用葫蘆絲合奏一首樂曲.要合奏的樂曲是用游戲的方式在《月光下的鳳尾竹》與《彩云之南》中確定一首．

游戲規則如下：在一個不透明的口袋中裝有分別標有數字1，2，3，4的四個小球（除標號外，其余都相同），甲從口袋中任意摸出1個小球，小球上的數字記為a.在另一個不透明的口袋中裝有分別標有數字1，2的兩張卡片（除標號外，其余都相同），乙從口袋里任意摸出1張卡片，卡片上的數字記為b.然后計算這兩個數的和，即a+b，若a+b為奇數，則演奏《月光下的鳳尾竹》；否則，演奏《彩云之南》．

（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求（a，b）所有可能出現的結果總數．

（2）你認為這個游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？

評析：本題是一道關于概率簡單應用的基礎題，來源于人教版數學教材九年級上冊第138頁例3．課標對應的目標要求：能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能結果，了解事件的概率．該題是運用所學概率知識解決現實生活中某事件是否公平的問題，以學生都可能參加的學校藝術節及云南的民族樂器、民族歌曲為背景設置，在考查學生隨機意識的同時，更顯現學生對民族文化的了解，增強文化自信和民族自豪感，注重情境創設的育人功能．

例6 （第22題）某學校要購買甲、乙兩種消毒液，用于預防新型冠狀病毒.若購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元；若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元．

（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價格分別是多少元？

（2）若該校計劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，其中購買甲消毒液a桶，且甲消毒液的數量至少比乙消毒液的數量多5桶，又不超過乙消毒液的數量的2倍.怎樣購買，才能使總費用W最少？并求出最少費用．

評析：本題是一道學生常見的二元一次方程組、不等式組及一次函數的實際應用的典型試題，來源于人教版數學教材七年級下冊102頁習題8.3第8題和八年級下冊103頁問題2的整合．課標對應的目標要求：能根據具體問題中的數量關系列出方程；能解二元一次方程組；能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單問題；能用一次函數解決簡單實際問題．試題是以疫情防控為背景進行命題，是對“綜合與實踐”的微觀呈現，重點考查學生的數學建模能力（如圖3）．

圖3

（四）穩中創新，直擊核心素養

初中學業水平考試不僅是對學生學完課程后目標達成度進行終結性評價，還是上一級學校招生錄取的重要依據．初中學業水平考試數學試題承擔了區分功能和選拔功能，重點對學生的抽象能力、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型觀念等核心素養進行考查.學生需要對知識有較深層次的理解、熟練的解題方法、準確的運算能力，以及綜合運用知識解決問題的能力，才能解答．2022年試題在延續往年試題特點的基礎上有一定的創新，第23題和第24題是典型的創新題型，力圖考查學生的學習理解力、知識遷移運用能力和創新意識，有一定的難度，實現了試題的選拔和甄別功能，下面以第23題為例進行說明.

例7 （第23題）如圖4，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O劣弧BC上的任意一點．連接PA，PC，PD，延長BC至E，使BD2=BC·BE．

圖4

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC．當P與C重合時，或當P與B重合時，把轉化為正方形ABCD的有關線段長的比，可得．當P既不與C重合也不與B重合時，是否成立？請證明你的結論．

評析：本題是一道關于正方形的性質、圓的切線的判定、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性質、線段的和與比等知識的開放性、綜合類試題，來源于人教版數學教材九年級上冊第87頁例4、第98頁練習第1題及第107頁正文圖24.3-7的整合.本題為全卷倒數第2題，覆蓋的知識點較多，方法靈活多樣，入口較難，具有一定的挑戰性，明顯承載著選拔和區分的功能.試題是學生平時不常見的類型，但注重通性通法，對學生的邏輯思維和綜合運用能力要求較高，需要通過觀察、實驗、猜想、驗證等完整思維過程，重點考查學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，區分度較明顯，直接把中等學生和基礎較弱的學生排除在外了，給優秀學生充分的施展空間和探究舞臺.

二、教學啟示

2022年云南省初中學業水平考試數學試題的命題立意，除了達到考試的功能外，還試圖通過試題背后的設計去撬動初中數學教學的變革，指向“以學定考”“雙減雙升”，全面落實數學的知識內容、目標要求、質量標準，促進學生全面而有個性地發展，對今后的初中數學教育教學有很好的指導作用.

（一）扎實抓好基礎知識和基本技能的教學，回歸教材，充分利用教材

初中數學學業水平考試的方向是注重對數學基礎知識的考查，試題立意是回歸教材，抑制機械刷題.教材上例、習題改編的試題有19道，分值為87分，占比約72.5%（按題目數量約占80%），其中第16題是教材例題的原題.在平時教學中，教師必須夯實基礎，把所有的基礎知識和基本技能都要講清講透，做到基礎知識必過關，必備知識不漏項，扎扎實實落實好教材上的每一個概念、公式、法則、性質、公理、定理；深挖課本中的例、習題的價值，從解題方法和變式設計進行深入探究，弄清知識的來龍去脈和前后聯系，做到一題多解、多題一解、一題多得，達到舉一反三，觸類旁通的效果，避免大量重復練習，真正做到減負提質.

（二）注重知識的結果，更要重視知識的發生過程，積累數學活動經驗

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，幫助學生積累數學活動經驗是數學課堂教學的重要目標.教師在課堂教學中要設計有效的數學探究活動，組織學生操作實驗、觀察現象、提出猜想、推理論證，有效啟發學生思考，使學生經歷數學的發生發展過程.2022年云南省初中學業水平考試數學試題第23、24題屬于較難的題目，解題方法多樣，重點考查學生的數學活動經驗和分析問題、綜合運用數學知識解決問題的能力.學生只有平時積累和經歷體驗，才能快速準確作答.

（三）落實“四基”“四能”，強化關鍵能力和核心素養的培養

《義務教育數學課程標準》（2022年版）明確提出“三會”核心素養：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.具體體現：抽象能力、幾何直觀、空間觀念、運算能力、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識和創新意識.教師要把核心素養導向的教學目標落實到平時的每一節課堂中，要整合教學內容，引導學生積極參與數學活動，培養學生從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題的能力，增強應用意識，提高實踐能力，同時獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，發展創新意識，培養學生數學核心素養，真正體現數學的育人價值.