Lingo軟件在整數規劃教學過程中的應用

賓茂君，施翠云

摘要：運籌學是一門研究生產經營過程中目標達到最優的課程，該文通過借助Lingo優化軟件，把運籌學中整數規劃問題進行研究，揭示整數規劃問題的本質，從而讓學生更容易理解運籌學的本質和內涵，使得學生對運籌學這門課程產生濃厚的興趣。

關鍵詞：Lingo軟件；最優化；運籌學

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）35-0106-03

1 引言

運籌學[1-4]是研究目標過程最優的數學基礎學科，它的背景問題來源于我們的實際生活，包括生產經營、經濟管理、金融決策等內容。它是經濟學、管理學和自然科學學科的學生一門專業必須課程，因此研究如何用通俗易懂的語言來教授運籌學就顯得十分必要。另外，Lingo優化軟件[5]是由美國LINDO系統公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非線性規劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解等[6-7]，功能十分強大，是求解優化模型[8]的最佳選擇。相對于其他優化軟件來說，Lingo優化軟件的編譯語言比較簡單通俗易懂，學生更容易掌握。因此，運用Lingo優化軟件來講授運籌學知識，就具有重要的研究意義。

由于運籌學的知識點比較多，涉及的面比較廣，本文通過最具代表性的整數規劃問題來介紹Lingo軟件在運籌學教學過程中的應用。

2 整數規劃問題的Lingo軟件教學

整數規劃是指規劃中的變化量（部分或全部）是整數。在規劃問題中，有的決策變量是小數或者是分數的形式，但是涉及機器的臺數，工作的人數或者裝卸物資的車輛數，都涉及整數的概念。人們為了滿足這些整數的要求，通常通過將所得到的數值進行四舍五入方法取得整數，但是這樣的方法未必是可行解或最優解。現在研究者們通常通過分支定界法或割平面法來求最優解，這兩種方法主要針對決策變量是少數幾個的情形，對于決策變量是多個的情形就很難求解最優解。

例1 某鐵器加工廠要制作100套鋼架，每套要用長為2.9米，2.1米和1.5米的圓鋼各一根。已知原料長為7.4米，問應如何下料，可使材料最省？

分析：在長度確定的原料上截取三種不同規格的圓鋼，可以歸納出8種不同的下料方案：

[圓鋼（米） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅶ 2．9 1 2 0 1 0 1 0 0 2．1 0 0 2 2 1 1 3 0 1．5 3 1 2 0 3 1 0 4 料頭（米） 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.１ 1.4 ]

該問題歸納為如何混合使用這8種不同的下料方案，來制造100套鋼架，且要使剩余的料頭總長為最短。不妨設[xi]表示用第[i]種下料方案下料的原料根數，[i=1，2，…，8]，有目標函數：使圓鋼料頭總長度達到最小值

[min z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8]

約束條件：三種規格圓鋼根數都是100根，則

[x1+2x2+x4+x6=1002x3+2x4+x5+x6+3x7=1003x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8=100]

由于圓鋼是整數，不能取小數，因此有非負取整條件約束[xi≥0（i=1，2，…，8）]且取整數。

對于這個問題，如果運用分支定界法或割平面法來求解，就顯得比較困難。而運用Lingo軟件來求解就比較方便快捷。該問題的Lingo程序如下：

min Z=0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.8*x5+0.9*x6+1.1*x7+1.4*x8

s.t.

x1+2*x2+ x4+ x6 =100;

2*x3+2*x4+x5+ x6+3*x7=100;

3*x1+x2+2*x3+3*x5+x6+4*x8=100;

@gin（x1）; @gin（x2）; @gin（x3）; @gin（x4）; @gin（x5）; @gin（x6）; @gin（x7）; @gin（x8）;

通過對程序進行求解可以得到當第Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ種方案分別取30、10、50根時，所剩余的圓鋼是16米。同時，計算結果也給出了每個變化量之間變化范圍，這極大方便了生產者在生產經營過程中根據市場經濟情況對生產進行及時調整。

另外，在整數規劃中還有一類比較常見的模型——0-1整數規劃問題，它在我們的生活當中經常見到。例如下面的例子：

例2 某游泳隊擬選用甲、乙、 丙、丁 四名游泳運動員組成一個 4×100 m 混合泳接力隊， 參加今年的錦標賽。他們的 100 m 自由泳、蛙泳、蝶泳、仰泳的成績如表所示：

甲、 乙、丙、丁 四名隊員各自游什么姿勢 ， 才最有可能取得好成績？

由于游泳運動員每人只能參加四種泳姿的其中一種，這表明該問題是典型的0-1整數規劃問題。為此，不妨設這四名運動員參加4種泳姿的變量為[xij（i，j=1，...，4）]，由目標是要求總花費時間最短，則目標函數為：

[min? f=56x11+74x12+61x13+63x14+63x21+69x22+65x23+71x24 +57x31+77x32+63x33+67x34+55x41+76x42+62x43+62x44]

又由于每個運動員只參加1種泳姿并且每種泳姿只由其中1名運動員參加，因此，可知[xij（i，j=1，...，4）]只能取0或1。于是，問題的約束條件為

[x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1;x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1;x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1;x13+x23+x33+x43=1; x14+x24+x34+x44=1;xij=0或1，? i，j=1，2，3，4.]

對于這問題，如果用枚舉法是比較困難的，又由于涉及多個變量，用分支定界法或割平面法來求解也是不可行的，但是Lingo優化軟件就比較便捷，它的Lingo程序如下：

sets：

ren/A，B，C，D /：rent;

job/1..4/：jobt;

link（ren，job）：time，x;

endsets

data：

time=

56，74，61，63

63，69，65，71

57，77，63，67

55，76，62，62;

enddata

min=@sum（link：time*x）;

@for（ren（i）：@sum（job（j）：x（i，j））=1）;

@for（job（j）：@sum（ren（i）：x（i，j））=1）;

@for（link：@bin（x））;

end

通過運行程序可得：

甲游蝶泳，乙游蛙泳，丙游自由泳，丁游仰泳的方式下，比賽的時間達到最短249秒。

體育競技比賽是為了獲取更好的成績，如果不是利用Lingo優化軟件計算，而是人工用筆計算或讓比賽選手去實踐計算結果，這將會耗費大量的人力物力和財力。

從例1和例2可以看出，生產問題和體育競技比賽都離不開整數規劃。在整數規劃教學過程中引入Lingo優化軟件進行教學，可以將較為復雜的整數規劃問題快速解決計算，并將有助于拓寬學生的學習視野，提高學生們的求知欲望，提高學生們的實踐動手能力，讓學生懂得將所學習的知識應用到生活實際當中去。

3 結語

在智能信息時代的今天，運籌學是實用性較強的新興學科，社會對運籌優化問題要求也越來越高，這迫使相關專業的學生學習好運籌學也帶來了一定的挑戰。而運籌學的優化理論、優化方法越來越精細，但書本的知識有點陳舊、枯燥乏味，如果只用傳統的黑白與課本教學，將無法滿足智能信息時代對學生越來越高的要求。為此，利用Lingo優化軟件來幫助運籌學的教學，并加入生活生產元素也許會給學生學習運籌學帶來一條寬廣的道路。通過運用Lingo優化軟件的引入，可以將復雜問題簡單化，拓寬學生的知識面，拓展學生的動手能力，提高課堂學生的學習效率，激發新一代大學生的學習潛能，也為未來的學習工作提供能力擔當感和責任感。

參考文獻：

[1] 黃健，劉國棟.運籌學[M].長沙：湖南師范大學出版社，2015.

[2] 胡運權.運籌學習題集[M].3版.北京：清華大學出版社，2002.

[3] 吳祈宗.運籌學與最優化方法[M].北京：機械工業出版社，2003.

[4] Wayne L.Winston.運籌學應用范例與解法[M]. 楊振凱，等譯.北京：清華大學出版社，2006.

[5] 謝金星，薛毅.優化建模與LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學出版社，2005.

[6] 李林曙.線性代數與線性規劃[M].北京：中國人民大學出版社，2010.

[7] 許紹吉.線性規劃[Ｍ]. 北京：科學技術出版社，1997.

[8] 黃平， 孟永鋼.最優化理論與方法[M].北京：清華大學出版社，2009.

【通聯編輯：王力】