基于軌道車輛軸箱加速度的動態軌道不平順分析*

厲鑫波 周勁松 鄧辰鑫 孫 煜

(1.紹興市公路與運輸管理中心，312099，紹興；2.同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，201804，上海∥第一作者，工程師)

在無輪載作用下，測得的靜態軌道不平順僅能反映軌道表面幾何不平順以及部分道床與路基的不均勻殘余變形導致的不平順，而不能反映實際列車運行下的軌道附加變形和輪軌振動響應部分。真正對行車安全、輪軌作用力及車輛振動產生影響的是動態軌道不平順。隨著我國軌道交通的快速發展，運行速度、載重和發車頻次大幅度提升，在高密度線路上實現動態軌道不平順的實時在線監測，為線路維護工作提供科學依據[1]，提高旅客乘坐舒適性，具有重要的現實意義。位移、速度和加速度等振動參數常常用于故障診斷和運行狀態監控[2]。加速度信號采集的使用則更為普遍，因為其設備體積小、易安裝、可靠性高并且測試準確。但是對振動系統進行分析時，速度和位移信號也是很重要的[3-4]。軌道車輛上的軸箱振動加速度信號，經過二次積分后可用來計算軌道不平順[5]。因此，對振動信號積分的計算涉及很多工程實例，具有研究價值。

目前對加速度進行積分的算法主要有頻域積分法和時域積分法[6]。頻域積分法是利用傅里葉變換及其逆變換，把積分過程用分量系數來表示，并且在頻域內進行幅值控制。該方法能避開時域微小誤差的累積效應，但幅值控制函數是頻域積分算法的難點。時域積分主要采用數值積分公式，但受信號基線的影響，往往需要添加濾波和進行去除趨勢項處理。盡管如此，誤差累積效應難以根除。微小誤差在兩次積分過程中會使信號波形產生畸變[7]。文獻[8]基于誤差理論，針對加速度積分過程中的誤差信號提出誤差公式，認為誤差來源主要是加速度傳感器的測量誤差，且信號的低頻峰值對誤差的影響尤為巨大。盡管如此，由于時域積分的簡潔和快速，在軌道檢測系統[5]中使用最多的仍然是時域積分算法。

本文研究了加速度信號處理技術，旨在通過時域積分方法獲得位移，實現實測數據和標準中的數據的對比。采用均差牛頓插值法[9]對信號插值進行處理，再使用辛普森公式對時域數據進行積分，過程中通過最小二乘法擬合剔除趨勢項[6]，并利用簡諧疊加信號進行檢驗和誤差計算。同時，建立引入軌道不平順的單輪軌模型，說明一系簧下質量的加速度響應能夠反映動態軌道不平順。隨后，以上海軌道交通某線的地鐵車輛為研究對象，排查車輪踏面情況對于軸箱振動的影響，實測其運行于不同線路上的軸箱振動數據，再通過積分運算獲得位移信號，繪制不平順預測譜，并與美國五級譜進行對比。最后，通過比較不同線路的車輛運行平穩性指標，驗證動態軌道不平順計算方法的有效性。

1 加速度積分原理

1.1 時域積分

記加速度信號序列(tn,an)，n=0, 1,…,Na-1，采用辛普森法數值積分公式[10]進行積分。為了不降低積分后的數據頻率，利用均差的牛頓插值法[9]對中間項進行估計。整理后，加速度信號Ik可表示為：

(1)

式中：

Δt——時間增量；

ak——當n=k時的加速度幅。

記速度信號序列(tn,vn)，所以：

(2)

式中：

v0——初始速度。

其中，n=0, 1,…,Nv-1。同理可得位移信號。

1.2 剔除趨勢項

以積分后的速度信號為例，用最小二乘法[10]擬合出趨勢項，假設存在最高處為m次的多項式fm(t)：

(3)

存在一組系數pk，使得式(4)取得最小值。

(4)

故：

(5)

其中，j=0, 1,…,m。對上式變形，并用矩陣表達可得：

(6)

式(6)存在唯一解，即擬合系數pk。處理后的速度信號v′k可表示為，

v′k=vk-fm(tk)

(7)

1.3 誤差計算

(8)

絕對誤差越小，就意味預測結果更準確。

決定系數R2反應了預測數據和原始數據的吻合程度，常用于回歸分析。

(9)

式中：

決定系數R2可以用來量化預測模型的表現，被當作衡量預測模型能力好壞的標準。R2的數值范圍從0至1，表示目標變量的預測值和實際值之間的相關程度。R2值越接近1，表示預測值對原始變量的預測越準確。

1.4 算法驗證

假設輸入的加速度信號為簡諧振動疊加的信號a(t)，其表達式為：

(10)

同理可得位移信號。圖1所示為該算例的流程圖。在第一次積分后，選擇去除線性趨勢項。在第二次積分后，選擇去除二次趨勢項，這是由于趨勢項往往會有殘留，在積分后誤差會被放大。

圖1 信號處理流程圖

圖2 a)為原始加速度信號，圖2 b)為理論位移信號和預測位移信號。由圖2易知，預測值曲線和理論值曲線基本重合，說明了所用方法在一定數量簡諧振動疊加的信號情況下有很高的精度。

圖2 加速度信號和位移信號對比圖

選取不同的采樣比，分析采樣比對誤差的影響。圖3為絕對誤差和決定系數隨采樣比變化的關系圖。由圖3可知，當采樣比大于2時，絕對誤差隨采樣比的增大而減小，決定系數隨采樣比的增大而增大，且變化趨勢隨之緩慢。當采樣比為3時，絕對誤差為6.28%，決定系數為0.985，說明當前預測模型達到了很高的擬合度，預測位移信號是可信的。當采樣頻率大于5時，計算結果趨于穩定。

圖3 絕對誤差和決定系數隨采樣比變化的關系圖

2 基于實測數據的動態軌道不平順分析

2.1 引入軌道不平順的單輪軌模型

在建立單輪軌模型時，可將包含軸箱、輪對的一系簧下質量和軌道分別簡化為單自由度的當量系統，且不考慮一系懸架以上部分的影響。這是因為在實際運行工況中，輪軌間高頻響應的頻帶遠大于構架及車體的自振頻率。模型中假設車體、構架不隨軸箱上下運動而靜止，輪軌始終保持接觸，且具有一定的接觸剛度。軌道垂向不平順以位移的形式作為系統的輸入。引入軌道不平順的單輪軌模型如圖4所示。

基于圖4模型的垂向動力學方程為：

圖4 引入軌道不平順的單輪軌模型

(11)

式中：

鋼軌波浪形磨耗作為最普遍的不平順表現，具有諧波特征，可用式(12)表示：

(12)

式中：

b——常量；

ω——角頻率。

在假設的零初始條件下，對式(11)進行拉普拉斯變換并化簡，可得：

(13)

式中：

s——拉普拉斯變換復變量。

由此可得一系簧下質量的位移傳遞函數HZ1為：

(14)

故一系簧下質量的加速度響應為:

(15)

輪軌接觸剛度、鋼軌支承剛度和阻尼都相對一系懸架的剛度和阻尼大的多，所以傳遞函數HZ1的特征方程的所有系數都為正，根據勞斯判據，所有根的實部為負。假設傳遞函數HZ1有各不相同的實數極點，記pi(i=1,2，…，n)，則式(15)可寫成：

(16)

式中：

Ai，pi，B，C——由系統參數和輸入參數決定的常數。

對式(16)進行拉普拉斯逆變換，得到：

(17)

式中，

(18)

(19)

式中：

φ——初相位。

式(17)中，第一項為衰減項，隨著時間的增加而衰減為零，第二項為穩態項?？梢姡谥C波型軌道垂向不平順輸入下，一系簧下質量的加速度響應的頻率不失真；而加速度響應的幅值是輸入信號的幅值與頻率特性的幅值的乘積，包含了輪軌作用力和軌道附加變形的動態軌道不平順。因此，一系簧下質量的加速度響應能夠較準確地反映出動態軌道不平順狀況。

2.2 測試方案

為了探究實際路線上軸箱的振動情況和軌道不平順，對某運營線的地鐵車輛進行軸箱振動測試和分析。測試線路包含舊線和試運營的新線，兩條線路開通時間相差近15年，由于使用和日常維護情況不同，線路狀況相差甚遠。測試車輛為新車，車輛各方面狀態最佳。為了排查車輪偏磨、多邊形磨損等對軸箱振動情況的影響，對車輪踏面進行檢測。測試時，在TC車的一、二位側的對等軸箱上布置加速度傳感器，并在該車車體一、二位端地板的平穩性測點上布置加速度傳感器。測試工況為同一車輛以80 km/h在舊線和新線的平直區段內分別運行。測試儀器如表1所示，軸箱及車體地板測點如圖5所示，車輪踏面測試如圖6所示。

表1 測試儀器

圖5 軸箱及車體地板測點圖

圖6 車輪踏面測試圖

2.3 數據處理與結果分析

2.3.1 車輪踏面計算

車輪旋轉一周，車輪粗糙度測試儀探針記錄車輪踏面徑向波動量。以車輪踏面平均徑跳量為基準，繪制車輪踏面圓周粗糙度。一般徑跳量在100 μm以內的車輪為新輪或新鏇修車輪。如圖7所示，一位側輪的最大徑跳量為23.2 μm，最小徑跳量為-6.2 μm；二位側輪的最大徑跳量為8.7 μm，最小徑跳量為-11.9 μm。兩側車輪沒有明顯的偏磨。

圖7 車輪踏面粗糙度極坐標圖

為了研究車輪多邊形磨損，通常對車輪踏面圓周粗糙度進行階次分析，粗糙度水平用dB表示，其表達式為：

(20)

式中：

Lk——k階踏面粗糙度；

rk——k階踏面粗糙度均值；

rref——參考值，取值為1 μm。

圖8為車輪踏面粗糙度階次圖。如圖8所示，一、二位側車輪踏面粗糙度水平在所示階次域中均處于較低水平，且沒有顯著的單峰值，說明兩側車輪沒表現出多邊形磨損特征，服役狀態良好。

圖8 車輪踏面粗糙度階次圖

2.3.2 軌道預測譜計算

利用加速度積分原理，對兩側軸箱加速度信號積分后取平均值，則可得到軌道垂向不平順[4]，其表達式為：

zv=(zl+zr)/2

(21)

式中：

zv——軌道垂向不平順；

zl——左軌垂向不平順；

zr——右軌垂向不平順。

圖9為車輛在舊線和新線上運行時，兩側軸箱加速度信號和積分后的預測位移信號。由圖9可見，在所截取的里程內，預測位移信號在舊線上的幅值顯著大于新線。

圖9 軸箱加速度信號和預測位移信號圖

美國軌道譜的解析式[4]為：

(22)

式中：

Sv——功率譜值；

Av——粗糙度系數；

K——比例系數；

Ωc——截斷頻率；

Ω——空間頻率。

將預測位移信號功率譜與美國五級譜進行對比，結果如圖10所示。舊線和新線的預測譜與美國五級譜具有類似的趨勢。舊線的預測譜幅值在所示空間頻率范圍內明顯大于新線的預測譜，說明舊線軌道不平順狀態劣于新線。新線的預測譜在空間頻率為2.4 rad/m處出現顯著的波峰。而通常波長在1.0～3.5 m范圍內，波幅在0.1～1.0 mm范圍內的波長成分，主要是鋼軌在軋制過程中形成的周期性成分，屬于新軌軌身不平順。舊線的預測譜在空間頻率為16～28 rad/m波段出現顯著的波峰。而通常波長在幾百毫米內、波幅在2 mm以內的波長成分，主要由鋼軌波浪形磨耗和軌枕間距不平順引起[13]。

圖10 預測位移信號功率譜與美國五級譜對比圖

由于加速度傳感器的低頻非線性，軌道預測譜在低于0.5 Hz的低頻長波部分會產生失真。受輪軌接觸斑沿鋼軌縱向長度限制，無法識別出半波長小于該長度的軌道不平順。預測譜在高頻短波部分也會產生失真。而在中高頻段的預測譜具有較高的識別可靠性。

2.3.3 車輛平穩性計算

根據GB 5599—1985，運行平穩性指標計算公式：

(23)

式中：

W——平穩性指標；

A——振動加速度；

f——振動頻率；

F(f)——頻率修正系數，頻率修正系數表詳見標準。

任意截取不同線路上車體一、二位端處的20 s垂向加速度數據進行計算，平穩性指標計算結果如表2所示。由表2可知，在舊線上，車體一、二位端的平穩性指標在2.50至2.75之間，平穩性等級為2級，評定為良好。在新線上，車體一、二位端的平穩性指標小于2.50，平穩性等級為1級，評定為優。在車輛運行工況一致的前提下，運行于舊線的平穩性明顯劣于新線，說明舊線的動態軌道不平順水平顯著高于新線。

表2 平穩性指標計算結果

3 結語

本文推導并驗證加速度積分算法，建立引入軌道不平順的單輪軌模型，以某運營線的地鐵車輛作為研究對象，對實測不同線路上軸箱加速度數據進行動態軌道不平順預測和對比，得出以下結論：

1)加速度信號采樣頻率的采樣比為3時，積分絕對誤差為6.28%，決定系數為0.985，預測的位移信號達到精度要求。

2)在諧波型軌道不平順輸入下，單輪軌模型反映出軸箱加速度響應的頻率不失真；加速度響應的幅值包含動態軌道不平順成分。

3)舊線和新線的軌道預測譜與美國五級譜的趨勢接近，因此在地鐵車輛動力學仿真時，宜采用美國五級譜。舊線和新線的軌道預測譜清晰地反映出了各自的不平順特征。舊線和新線的軌道預測譜具有明顯差異，且對車輛運行平穩性產生顯著影響。

4)通過監測高密度運營線路上的軌道車輛的軸箱加速度信號，利用該動態軌道不平順計算方法，能夠以較低成本對線路進行實時在線檢查，可為日常線路養護工作提供科學依據。