中國男性人口死亡率動態預測的方法比較
——基于Lee-Carter模型與貝葉斯分層模型的研究

趙明

(首都經濟貿易大學 金融學院，北京 100070)

1 引言與文獻綜述

隨著社會經濟的發展和醫療水平的提升，人口壽命延長已成為不可逆轉的趨勢。人口壽命延長導致的人口年齡結構變化，將會對社會經濟產生較大的負面影響。合理地預測人口死亡率、掌握人口年齡結構隨時間變動的趨勢、提前采取應對措施，將會有效減緩長壽風險對經濟的沖擊。因此，人口死亡率預測將成為一個基礎且重要的研究課題。人口死亡率預測的常用方法包括兩種：一是先預測分年齡死亡率，再通過分年齡死亡率計算人口預期壽命；二是先預測人口預期壽命，然后通過既定的模型生命表計算分年齡死亡率。

對于人口死亡率預測的國內外研究較早，其中Lee-Carter模型開創了隨機死亡率建模的先河[1]。Lee-Carter模型假設對數死亡率由相互獨立的年齡效應和周期效應構成，具有模型參數少、擬合過程簡單和預測結果穩健等優勢，得到學者的普遍應用[2]。Lee-Carter模型采用兩階段方法進行參數估計與擬合，第一階段通常使用奇異值分解(SVD)或最大似然(ML)方法估計靜態參數；第二階段通過時間序列模型(ARIMA模型)擬合動態參數[3]。隨著該理論與應用的不斷發展，Lee-Carter模型也暴露出一定缺陷，其改進主要包括以下幾方面：一是參數估計方法的改進。Lee-Carter模型參數估計的奇異值分解(SVD)方法誤差較大，采用加權最小二乘估計(WLS)方法和極大似然(ML)方法能夠有效提高參數估計的擬合優度。此外，樣本數據時間周期的選取對Lee-Carter模型參數估計與預測結果產生顯著影響，為了在死亡率不規則的情況下提高Lee-Carter模型的精確度，應采用科學方法選取歷史數據周期。二是放寬模型假設。針對Lee-Carter模型中假設過強的問題，部分學者提出了泊松對數雙線性(PB)模型，假設死亡人數服從泊松分布，放寬了模型殘差項同方差的假設[4]。在死亡人數服從泊松分布的假設下，構造泊松似然函數，采用貝葉斯方法對模型參數進行估計[5]。三是有限數據問題下的方法改進。Lee-Carter模型對數據連續性具有較高要求，限制了該方法在有限數據國家的應用。Li等(2004)在對數雙線性假設下提出了基于有限數據的Lee-Carter模型方法，能夠有效解決數據較少國家死亡率預測問題[6]。此外，我國學者也采用有限數據下Lee-Carter模型對中國人口死亡率進行預測，在樣本量較少時，對時間序列的波動性進行研究，使得預測結果更加穩健與合理[7]。四是死亡率改善因子動態改進。Lee-Carter模型中常數人口死亡率改善因子假設被多位學者認為并不合理，如果建模時不考慮死亡率改善因子隨時間進展的變化，則長期預測會出現嚴重偏誤，尤其是對于死亡率改善程度較低的國家[8]。為了避免這種情況，在Lee-Carter模型中加入了一個旋轉項，來體現人口死亡率改善隨時間的變動趨勢，并通過使新加項隨時間連續地發生旋轉來改進Lee-Carter模型中常數死亡率改善因子的假設[9]。此外，采用雙因子Lee-Carter模型，基于貝葉斯MCMC方法，改進單因子Lee-Carter模型中死亡率改善為常數的假設，可以顯著提升模型擬合優度[10]。

此外，以人口預期壽命為建模對象的方法，在聯合國預測人口死亡率時較為常用。Girosi和King(2008)選取48個國家的男性人口死亡率，并選取人口吸煙情況和國內生產總值作為協變量，采用貝葉斯模型方法在年齡和時間兩個維度對人口死亡率進行預測。然而，Girosi和King(2008)的方法對數據要求較高，需要選取特定的協變量才能得到較好的預測效果，在模型擴展方面具有一定的局限性。Raftery等(2013)提出了基于貝葉斯分層模型(BHM)的人口死亡率預測方法，將世界各國1950～1995年預期壽命數據帶入貝葉斯分層模型，對1996～2005年各國的預期壽命進行預測，通過與實際數據交叉檢驗，認為模型能夠給出精確的預測區間[11]。此后，在Raftery等(2013)的基礎上，部分學者對該方法進行了實踐與擴展，但應用主要都集中在人口統計方面，在其他領域的應用較少。Li等(2015)對人口死亡率改善因子建模，將相關國家的死亡率改善趨勢作為先驗信息，給出了貝葉斯分層模型下死亡率的動態預測方法，并運用1991～2011年英國和丹麥女性人口死亡率進行驗證，得到了較好的預測結果[12]。Les和David(2015)提出了一種基于分解技術(decomposition techniques)的期望壽命預測方法，考慮不同年齡人群死亡率改善程度的差異，對預期壽命建立貝葉斯分層模型，模型設計更具有針對性[13]。貝葉斯分層模型能夠有效應對世界各國人口死亡率數據質量參差不齊的情況，使用具有非恒定漂移的隨機游走模型預測人口預期壽命，并將數據質量較好的國家人口預期壽命的改善趨勢作為先驗信息，較好地彌補了數據質量較差國家自身數據不足的缺陷。貝葉斯分層模型方法被聯合國人口司所采用，該機構每兩年發布一次《世界人口展望》研究報告。根據聯合國人口司的研究表明，不同國家人口預期壽命的增長速度不同，低壽命國家和高壽命國家的預期壽命的增長較慢，而中等壽命國家的預期壽命增長較快。

綜上所述，Lee-Carter模型方法的研究對象為人口死亡率、貝葉斯分層模型方法的研究對象為預期壽命，當前兩種研究方法均具有較為成熟的范式，但從生命表的構造理論上看，分年齡死亡率和預期壽命之間具有密切的聯系，如果將兩者之間的相互關系考慮進來，可以比較分析兩種方法下中國男性人口死亡率預測的差異，提升死亡率預測質量。本文從比較的視角來評估兩種方法下男性人口死亡率的預測結果，并根據生命表構造理論將兩者相互轉換，通過對模型結果進行比較分析，一方面可以檢驗預測結果的準確性，另一方面還能作為研究結論相互補充。通過本研究，以期能夠提升中國人口死亡率預測和長壽風險度量的可靠性，合理預判未來人口年齡結構變動趨勢，為國家制定退休方案、生育政策和積極應對人口老齡化等重大決策提供科學依據。

2 人口死亡率預測方法概述

2.1 Lee-Carter模型

Lee-Carter模型的表達式為

lnmx,t=αx+βxκt+εx,t

(1)

其中，mx為中心死亡率，而通過貝葉斯分層模型和模型生命表法得到的是死亡概率qx。由于我國統計局公布的抽樣調查年份死亡率數據是以年中人口數為分母計算得到的中心死亡率，在死亡均勻分布(UDD)假設下二者具有如下轉換關系：

qx=2mx/(mx+2)

(2)

對于Lee-Carter模型其他參數的介紹，本文不再贅述，具體可參見Lee和Carter(1992)的研究。由于Lee-Carter模型對歷史數據要求較高，本文采用1994～2012年人口死亡率數據進行預測，則第一個預測年為2013年。本文采用Wilmoth(1996)提出的加權最小二乘法[14]對Lee-Carter模型進行參數估計，采用ARIMA(0,1,0)模型對時間效應因子κt進行預測。

2.2 貝葉斯分層模型

貝葉斯分層模型以預期壽命為研究對象，是一個帶有非恒定漂移項的隨機游走模型，表達式為

lc,t+1=lc,t+g(lc,t)+εc,t+1

(3)

其中，lc,t表示國家c在t時期的預期壽命，lc,t+1表示國家c在t+1時期的預期壽命，它是用lc,t加上一個預期壽命增量g(lc,t)和一個隨機擾動項來表示的。漂移項是當前預期壽命的非線性函數，它能夠反映不同國家在不同壽命水平下預期壽命的增長速度，Raftery等(2013)使用一個Double-Logistic函數來表示這個增量。此外，隨機擾動項的標準差與上一期預期壽命呈現出的關系可用下式加以描述：

εc,t+1～N[0,(w×f(lc,t)2)]

(4)

貝葉斯分層模型包含13個參數，每個參數均有一個先驗分布，可使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛隨機模擬方法(以下簡稱“MCMC方法”)估計每個國家預期壽命后驗分布的參數。相比于Lee-Carter模型對數據質量的要求較高，貝葉斯分層模型適用于數據質量各異的國家。

2.3 人口死亡率修勻模型

中國國家統計局公布的人口死亡率數據是未經修勻和調整的粗死亡率數據、波動較大，應采用適當的方法對數據進行修勻。由于本文擬對人口死亡率進行動態預測，死亡率不僅具有年齡上的分布規律，同時在時間上也具有特定的分布規律，因此本文選用二維修勻方法對動態生命表進行修勻[15][16]。常用的兩種非參數二維修勻方法為二維泊松P-樣條模型和二維離散Beta核修勻模型，在對中國人口死亡率動態生命進行修勻時，盡管二維離散Beta核修勻模型在全年齡段上的擬合度更優，但光滑性較差，尤其是對邊端年齡處理效果不佳，使修勻后的新生嬰兒死亡率與實際情況出現較大的偏差[17]。綜上，本文選擇二維泊松P-樣條模型對粗人口死亡率進行修勻，具體計算過程詳見Mazza和Punzo(2013)的研究。

2.4 人口死亡率與預期壽命的轉化

根據生命構造理論，當死亡分布為連續函數時，人口死亡率與預期壽命之間的關系為

(5)

由于本文所采用的人口死亡率為離散型年度數據，對上式離散化為

(6)

本文采用上式將人口分年齡死亡率轉化為預期壽命。此外，將人口預期壽命轉化為分年齡死亡率，本文選用聯合國模型生命表方法。聯合國人口司(1982)編制了一套發展中國家模型生命表，其數據源自于22個發展中國家的72張生命表(男、女性生命表各36張)，并經過嚴格檢驗，具有較可靠的質量。這套模型生命表根據實際數據所反映的死亡率模式的地域特征分為幾大區域，分別定名為“拉丁美洲”表、“智利”表、“南亞”表、“遠東”表和“通用”表。其中，“通用”表根據全部國家數據編制，能夠代表發展中國家的一般情況。

2.5 模型誤差分析

其中，t表示年份，x表示年齡。以上4個誤差函數分別采用相對值、絕對值、平方值和對數值等一種或多種方法組合，構造了擬合值與實際值之間差異的誤差函數。在對死亡率模型擬合優度進行評價時，同時使用4個誤差函數能夠更加穩健地評價模型的擬合效果。

3 數據處理與實證分析

3.1 數據處理與假設

本文選取全國男性人口死亡率數據，其數據來源于1995～2006年的《中國人口統計年鑒》，以及2007～2020年的《中國人口和就業統計年鑒》。本文將數據分為兩組，分別為預測組和對照組。預測組所采取用的數據為全國男性人口分年齡的死亡率數據，數據期間為1994～2012年，共計19年。其中，2000與2010年的死亡率數據來自人口普查，1995與2005年的數據為來自1%的抽樣調查，其他年份的數據來自于人口變動抽樣。對照組選取2013～2019年數據，用以檢驗Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型的預測效果。

根據本文所選取數據的特征與實證分析的需要，具體的數據處理與假設如下：

第一，選取男性人口為代表進行研究。中國國家統計局公布的抽樣調查數據中，部分年齡死亡人口數為0，導致死亡率數據失真。由于女性人口死亡率低于男性，這種失真現象在女性人口中更為普遍，因此男性人口死亡率具有更好的數據質量。當男性人口抽樣調查中死亡人數為0或者缺失時，采用線性插值方法進行填補。

第二，修正嬰兒人口死亡率數據。由于人口普查中死亡數據在低齡和高齡期存在不同程度漏報[19]，尤其是新生嬰兒死亡數據漏報更為嚴重。本文借鑒人口學界的相關研究，對新生嬰兒死亡率數據做出修正，并在修正的基礎上進行死亡率修勻。已有研究顯示，第五次人口普查中低齡組漏報率約10%，且女童漏報大于男童，男女嬰兒死亡率修改后分別為31.35‰和23.89‰[20]；第六次人口普查中嬰兒漏報率為78%～85%，修正得男嬰死亡率25.81‰，女嬰死亡率17.82‰[21]。此外，針對其他年齡的死亡率數據，本文采用二維P樣條方法進行修勻，以使粗死亡率更加符合生命表特征。

第三，重新調整各年份死亡人口數。由于我國人口死亡數據中包括普查與抽樣調查不同方式的數據，在采用加權最小二乘方法求解Lee-Carter模型時，需要用到量級相同的死亡人口數。本文根據調整并修勻后的分年齡人口死亡率數據，以100萬數量的人口為基準，對各年齡的死亡人數進行調整。

第四，假設85歲以上人口為高齡人口。由于高齡人口數據少，可信度低，本文將人口年齡段截止到85歲，不再探討高齡人口死亡率建模問題。

第五，假設死亡人口在1年內服從均勻分布(UDD)假設。

3.2 基于Lee-Carter模型的預測結果

采用Lee-Carter模型，可以得到2013～2050年中國男性人口的分年齡死亡率，結果列示于表1中。

表1 基于Lee-Carter模型的中國男性人口死亡率預測值(單位：‰)

由表1可見，Lee-Carter模型得到的預測值，能夠很好地反映男性人口死亡率隨時間、年齡變動的趨勢。從時間維度看，新生男嬰死亡率由2015年的23.64‰，下降到2030年的18.25‰，再下降到2050年的12.93‰，整個35年的下降幅度為45.30%；30歲男性人口死亡率由2015年的1.12‰，下降到2030年的0.80‰，再下降到2050年的0.50‰，整個35年的下降幅度為55.36%；85歲男性人口死亡率由2015年的102.69‰，下降到2030年的60.60‰，再下降到2050年的30.00‰，整個35年的下降幅度為70.79%。綜上可見，未來中國男性人口死亡率下降的幅度，隨著年齡增長而不斷提升，低年齡人口死亡率改善不斷充分，下降幅度減小，而中高齡人口死亡率改善速度逐漸提高，體現出了死亡率變動的年齡模式特征。此外，Lee-Carter模型假設人口死亡率在時間上的下降速度為常數，即假設未來人口死亡率的下降速度仍保持歷史水平不變。自改革開放以來，中國人口死亡率一直以較快速度下降，但未來是否能夠持續這一趨勢值得商榷，但Lee-Carter模型中并未考慮到這個問題。若未來人口死亡率改善減速，那么運用Lee-Carter模型進行長期預測將會低估死亡率、高估人口預期壽命。

進一步，根據生命表構造理論，將Lee-Carter模型預測的男性人口死亡率轉換為預期壽命值，結果列示于表2中。在表2中，給出了高、中、低三個假設下男性人口預期壽命的預測值。其中，居中假設為均值估計結果，高假設和低假設分別為預期壽命80%置信區間的上下界。在居中假設下，2015年人口預期壽命為73.63歲，到2030年提高到77.10歲，到2050年提高到80.36歲，整個35年提高了6.73歲，平均每10年提高1.92歲，但提高速度隨時間推移而遞減。盡管Lee-Carter模型預測的男性人口死亡率下降速度是常數，但男性人口平均壽命提高速度在減緩，其原因是不同年齡人口死亡率下降速度不同，導致人口年齡結構發生變化，即分年齡死亡率與人口預期壽命之前并非簡單的線性關系。由于Lee-Carter模型以分年齡死亡率為研究對象，可以獲取到較為豐富的人口死亡率信息，在此基礎上進一步計算人口預期壽命，可以更好地分析二者間的關系及人口年齡結構變動的影響。此外，Lee-Carter模型得到的男性人口預期壽命預測區間的幅度較窄，2015～2050年每隔5年的80%置信區間上下界預測結果差值分別為0.14歲、0.13歲、0.12歲、0.11歲、0.10歲、0.09歲、0.08歲和0.08歲。甚至，隨著時間推移，Lee-Carter模型獲得的男性人口死亡率預測區間會進一步收窄，從長期預測的角度來看，這種預測結果并不理想。

表2 基于Lee-Carter模型的中國男性人口預期壽命預測值 (歲)

表3 基于貝葉斯分層模型的中國男性人口預期壽命預測值 (歲)

3.3 基于貝葉斯分層模型的預測結果

采用貝葉斯分層模型，對中國男性人口預期壽命做出預測，預測結果列示于表3。在表3中，給出了高、中、低三個假設下人口預期壽命的預測值。其中，居中假設為均值估計結果，高假設和低假設分別為預期壽命80%置信區間的上下界。由表3可見，在居中假設下，2015年人口預期壽命為74.39歲，到2030年提高到76.51歲，到2050年提高到78.96歲，整個35年提高了4.57歲，平均每10年提高1.31歲，壽命提高速度顯著低于Lee-Carter模型估計結果。由于Lee-Carter模型中假設了死亡率下降速度為常數，按照歷史死亡率下降速度來預測未來；從貝葉斯分層模型的預測結果中可以看到，在長期中人口預期壽命預測值低于Lee-Carter模型結果，是由其模型假設決定的。貝葉斯分層模型采用了雙邏輯斯蒂假設，即假設人口預期壽命的增長速度呈現先快、后慢的S型曲線分布。因此，基于貝葉斯分層模型的人口預期壽命的預測值，在2025年以前整體上高于Lee-Carter模型預測結果，而2025年以后則低于Lee-Carter模型預測結果。此外，貝葉斯分層模型得到的男性人口預期壽命預測值，具有相對較寬的預測區間，2015～2050年每隔5年的80%的置信區間的上下界預測結果差值分別為3.17歲、4.39歲、5.48歲、6.47歲、7.38歲、8.15歲、8.72歲和9.17歲。隨時間推移，貝葉斯分層模型獲得的死亡率預測區間會進一步增大。從長期預測的角度來看，這種預測結果較為理想。

通過對比不同模型生命表與我國2010年人口普查的分年齡男性人口死亡率的關系，認為“通用”表更適合我國實際死亡狀況。因此，選取聯合國人口司模型生命表中的“通用”表，將貝葉斯分層模型預測的男性人口預期壽命轉化為分年齡死亡率,結果列示在表4中。

由表4可見，基于貝葉斯分層模型和“通用”模型生命表得到的未來中國男性人口死亡率預測值，能夠很好地反映死亡率隨時間、年齡變動的趨勢。從時間維度看，新生男嬰死亡率由2015年的21.83‰，下降到2030年的17.63‰，再下降到2050年的13.83‰，整個35年的下降幅度為36.65%；30歲男性人口死亡率由2015年的0.71‰，下降到2030年的0.55‰，再下降到2050年的0.42‰，整個35年的下降幅度為40.85%；85歲男性人口死亡率由2015年的117.40‰，下降到2030年的105.68‰，再下降到2050年的91.12‰，整個35年的下降幅度為22.39%。綜上可見，未來男性人口死亡率下降的幅度，隨著年齡增長呈現先提高、再降低的趨勢，即低齡和高齡男性人口死亡率改善速度較低，而中年男性人口死亡率改善速度較快。由于貝葉斯分層模型是以人口預期壽命為研究對象，預測得到的人口預期壽命需要通過既定的模型生命表轉化為分年齡死亡率，因此會損失死亡率在年齡上展現出的更為豐富的信息。但長期中，貝葉斯分層模型能夠得到更寬的預測區間，預測結果的穩健性較好。

表4 基于貝葉斯分層模型的中國男性人口死亡率預測值 (‰)

表5 兩種方法下中國男性人口死亡率擬合結果誤差比較

表6 兩種方法下中國男性人口死亡率短期預測效果比較

3.4 兩種模型下預測結果比較與評價

3.4.1 樣本內的擬合優度比較

本文分別采用四種損失函數對兩種模型方法的樣本內擬合情況進行檢驗，結果列示于表5中。

由表5可見，基于調整和修勻后的人口死亡率數據，采用Lee-Carter模型進行擬合，在四種誤差函數下誤差值均小于貝葉斯分層模型，即Lee-Carter模型的擬合優度高于貝葉斯分層模型。意味著，Lee-Carter模型簡潔易用，且擬合效果較好，這一點已在很多發達國家得到驗證，如美國在養老金精算報告中對長壽風險進行度量時，采用的即是Lee-Carter模型。但也有部分研究顯示Lee-Carter模型擬合中國人口死亡率時效果并不好，其主要原因是研究者未對中國人口死亡率進行調整與修勻，直接使用具有較大波動性的粗死亡率，會降低Lee-Carter模型擬合效果。因此，本文基于調整和修勻后的男性人口死亡率數據建立的Lee-Carter模型，具有更好的擬合優度。

3.4.2 男性人口預期壽命預測結果比較

(1)短期內的預測效果比較。本文選取2013～2019年男性人口預期壽命的實際值作為對照組，用以檢驗Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型的短期預測效果。本文選取三個口徑的男性人口預期壽命數據，以期獲得更加穩健的檢驗結果。其中，2013～2014年、2016～2018年為1‰的變動抽樣調查，中國國家統計局未直接公布男性人口預期壽命，采用調整和修勻后的男性死亡率計算預期壽命；2015年是1%的抽樣調查，選取了中國國家統計局公布的男性人口預期壽命；對于2019年，選取了世界衛生組織發布的中國男性人口預期壽命的調查數據。本文將2013～2019年的調查數據計算值(實際值)、Lee-Carter模型預測值和貝葉斯分層模型預測值列示于表6中。由表6可見，對于2013～2019年的男性人口預期壽命，Lee-Carter模型預測值與實際值的差值絕對值分別為0.48、0.18、0.01、0.67、0.67、0.04和0.04；貝葉斯分層模型預測值與實際值的差值絕對值分別為1.48、1.06、0.75、0.02、0.13、0.40和0.38。在各個年份，Lee-Carter模型預測值與實際值的差值絕對值均顯著小于貝葉斯分層模型。從另一個角度看，2013～2018年男性人口平均預期壽命的實際值增長了1.83歲、平均每年增長0.37歲；2013～2018年Lee-Carter模型預測的男性人口平均預期壽命的實際值增長了1.31歲、平均每年增長0.26歲；2013～2018年貝葉斯分層模型預測的男性人口平均預期壽命的實際值增長了0.75歲、平均每年增長0.15歲。由此可見，Lee-Carter模型預測的男性人口預期壽命的年增長量更接近實際值，即Lee-Carter模型的短期預測效果優于貝葉斯分層模型。

進一步，結合表2和表3中區間預測結果，本文將2015年作為一個特殊對照組，比較兩個模型短期內的預測效果。其中，中國國家統計局公布的2015年男性人口預期壽命為73.64歲；Lee-Carter模型居中假設預測得到的男性預期壽命為73.63歲、高假設預測得到的男性預期壽命為73.70歲、低假設預測得到的男性預期壽命為73.56歲；貝葉斯分層模型居中假設預測得到的男性預期壽命為74.39歲、高假設預測得到的男性預期壽命為76.00歲，貝葉斯分層模型低假設預測得到的男性預期壽命為72.83歲。為了更顯著的分析預測結果與實際結果的差異情況，取兩種模型的預測結果與實際結果差值的絕對值。可見，基于Lee-Carter模型的2015年中國男性人口預期壽命預測值與實際值的接近程度最高，居中假設下與實際值僅差0.01歲、高假設下差值為0.06歲、低假設下差值為0.08歲，盡管Lee-Carter模型預測區間的開口較窄，但已將實際值覆蓋進該區間；貝葉斯分層模型居中假設下預測值與實際值之間的差為0.75歲、高假設下差值為2.36歲、低假設下差值為0.81歲，該模型預測區間開口較大，也能夠將實際值覆蓋進去。綜上可見，Lee-Carter模型在短期內的預測效果優于貝葉斯分層模型，與真實男性人口預期壽命更為接近。

圖1 2015～2050年中國男性人口預期壽命預測結果比較圖

圖2 2015年中國男性人口分年齡對數死亡率預測結果比較圖

(2)長期中的變動趨勢比較。通過圖1展示2015～2050年兩種模型方法下男性人口預期壽命預測結果的變動趨勢圖?？梢姡?015年Lee-Carter模型預測得到的男性人口預期壽命低于貝葉斯分層模型，然而隨著時間的推移，二者之間的差異不斷減小，直到2022年二者接近相等，隨后Lee-Carter模型預測的男性人口預期壽命均高于貝葉斯分層模型，該趨勢一直持續到2050年，且二者差距逐年增大。出現這種情況的原因在于，Lee-Carter模型假設了對數死亡率下降速度為常數，即對數死亡率呈線性下降趨勢，從長期視角來看這種線性下降趨勢將會突破人口極限年齡，違背了人類的生物規律。而貝葉斯分層模型很好地解決了這一問題，通過將人口極限年齡考慮到模型假設中，運用更符合壽命變化特征的邏輯斯蒂假設來構建模型，盡管短期內的擬合效果不如Lee-Carter模型，但長期預測能夠得到更加合理的結果。

3.4.3 男性人口死亡率預測結果比較

圖2展示了Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型預測得到的2015年男性人口分年齡死亡概率(qx)的預測結果。

由圖2可見，分層貝葉斯模型首先估計出男性人口預期壽命，然后采用模型生命表法計算出分年齡死亡率，在計算過程中對死亡率進行了修勻，因此死亡率曲線較為光滑；Lee-Carter模型方法針對修勻后的男性人口死亡率數據進行預測，對預測結果不再進行二次修勻，因此死亡率波動性略大。比較兩種預測方法得到的男性人口死亡率年齡分布規律發現，50歲以下年齡組，Lee-Carter模型預測結果整體上高于貝葉斯分層模型預測結果；50歲以上年齡組，Lee-Carter模型預測結果逐漸低于貝葉斯分層模型預測結果。綜合全年齡段來看，Lee-Carter模型預測的男性人口死亡率整體高于貝葉斯分層模型預測結果，也使得Lee-Carter模型計算得到的人口預期壽命值低于貝葉斯分層模型預測結果。

圖3 2050年中國男性人口分年齡對數死亡率預測結果比較圖

圖3展示了Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型預測得到的2050年中國男性人口分年齡死亡概率(qx)的預測結果。

在圖3中，比較兩種預測方法得到的男性人口死亡率年齡分布規律發現，30歲以下年齡組，Lee-Carter模型預測結果整體上低于貝葉斯分層模型預測結果；30～50歲，Lee-Carter模型預測結果與貝葉斯分層模型預測結果較為接近；50歲以上年齡組，Lee-Carter模型預測結果顯著低于貝葉斯分層模型預測結果。綜合全年齡段來看，Lee-Carter模型預測結果整體低于貝葉斯分層模型預測結果，也使得Lee-Carter模型計算得到的人口預期壽命值高于貝葉斯分層模型預測結果。

綜合2015～2050年兩種方法下的預測結果，Lee-Carter模型預測得到的男性人口死亡率結果，圍繞著貝葉斯分層模型的預測結果自上而下的進行移動。即，2015年Lee-Carter模型得到的全年齡段男性人口死亡率高于貝葉斯分層模型結果，隨著時間的推移，二者之間差距逐漸減小，并在2022年附近二者接近相等。隨后，Lee-Carter模型得到的全年齡段男性人口死亡率開始小于貝葉斯分層模型結果，且一直持續至2050年。此外，隨著年齡的增加，兩種模型預測的男性人口死亡率變化趨勢存在差異。其中，貝葉斯分層模型預測結果波動較小，隨著年齡增長呈現出線性變化趨勢；Lee-Carter模型得到的男性人口死亡率在年齡模式上擁有更豐富的信息，在全部年齡上呈分段的線性變化趨勢，中低年齡組死亡率隨年齡增長變動趨勢的斜率較高，但中高年齡組變動趨勢的斜率相對平緩，年齡分界點約為50歲。由于人口死亡率年齡模式上的差異會影響未來人口年齡結構，因此Lee-Carter模型預測結果能夠獲取更豐富的年齡模式特征，可以更好地解釋未來人口年齡結構變化的原因。

4 研究結論

本文選用Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型對中國男性人口死亡率進行動態預測，并將結果進行比較，得到如下結論：

第一，從模型對歷史數據的擬合效果看，Lee-Carter模型在所選取的四種誤差函數下計算得到的誤差值均小于貝葉斯分層模型計算結果，擬合優度較高。由于本文擬合Lee-Carter模型時所采用的數據為修勻后死亡率數據，并參考國內學者的研究對新生嬰兒死亡率進行了調整，使數據更加光滑，有助于提升Lee-Carter模型擬合效果。然而，貝葉斯分層模型前提假設、預設參數和主觀因素較多，擬合的數據僅為人口預期壽命，數據中所包含的信息較少，盡管數據中能夠體現其他國家人口預期壽命變動的先驗信息，但在對中國歷史死亡率數據擬合上效果并不如Lee-Carter模型。因此，采用Lee-Carter模型預測中國男性人口死亡率是一種相對較好的選擇，但需避免直接采用波動較大的粗死亡率進行分析。

第二，從對人口預期壽命的預測情況來看，在短期內Lee-Carter模型和貝葉斯分層模型的預測區間均能將男性人口預期壽命實際值包含到其中，但居中假設下的預測精度有所不同。Lee-Carter模型預測結果與實際值相差較小，而貝葉斯分層模型預測結果與實際值的差異相對較大，即Lee-Carter模型具有較好的短期預測效果。然而，長期預測中Lee-Carter模型方法給出的預測區間開口較窄，而貝葉斯分層模型能夠給出更寬的預測區間，提高了預測結果的穩健性。

第三，從對分年齡人口死亡率的預測來看，Lee-Carter模型的研究對象即為分年齡死亡率，因此預測結果能夠體現出更豐富的年齡模式特征，如不同年齡人口死亡率改善程度的差異和波動情況的差異等。然而，貝葉斯分層模型的研究對象為人口預期壽命，分年齡死亡率是通過既定的模型生命表轉換而來的，該方法會導致分年齡死亡率變動模式被模型生命表假設所掩蓋，影響對未來人口年齡結構的判斷。

第四，從預測的人口死亡率下降速度或人口預期壽命提高速度來看，Lee-Carter模型假設人口死亡率改善因子為常數，即假設未來人口死亡率的下降速度仍保持歷史水平不變，而貝葉斯分層模型中的人口預期壽命服從邏輯斯蒂假設，即壽命增長呈現先快后慢的S型曲線變動趨勢。因此，Lee-Carter模型預測得到的短期男性人口死亡率高于貝葉斯分層模型，預期壽命低于貝葉斯分層模型；隨著時間的推移，Lee-Carter模型預測的男性人口死亡率能保持之前相同的幅度下降，而貝葉斯分層模型則減慢了死亡率下降速度，2025年之后Lee-Carter模型預測的分年齡死亡率整體低于貝葉斯分層模型，而預期壽命高于貝葉斯分層模型。從發達國家經驗來看，隨著經濟的增長，人口死亡率的改善速度會呈現先快后慢的趨勢，伴隨而來的人口預期壽命的增長也會呈現先快后慢的趨勢，貝葉斯分層模型能夠更好地刻畫這一特征。