GeoGebra在高中數學教學中的應用研究

蔡永志 戚緒敏

《普通高中數學課程標準（2020年修訂版）》中提出：高中數學教學要注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性[1]。隨著教育基礎設施的不斷完善，將現代信息技術融入數學課堂，提升教學效率已是大勢所趨。動態數學軟件GeoGebra 是為從小學到大學各學段的教學而設計的動態數學軟件，是進行數學教學、數學學習和數學研究的有力工具。

一、GeoGebra 概述

GeoGebra 是一個自由且跨平臺的動態數學軟件，它將幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分以直觀、易用的方式集于一體，其功能強大、操作簡單、資源豐富，能夠進行動態交互，可脫機也可在線，在歐美國家已獲數十項相關領域的大獎，不僅被廣泛應用于數學教學中，還被應用于化學、物理等學科領域[2]。高中學段幾乎所有數學學科知識都可以用GeoGebra 直觀呈現出來，特別是能夠方便呈現動態的教學內容。在數學教學中合理利用它，可以提高學生的學習興趣，進而提升課堂的教學效果，其是高中數學有效教學的利器。

二、GeoGebra 在高中數學教學中應用的意義

（一）簡單易操作，能夠提高教學效率

相比其他數學應用軟件來說，GeoGebra 使用操作比較簡單，只要有基本數學軟件應用基礎的人都能輕松操作。因為GeoGebra 可以完成數學教學中幾何畫板的一切功能操作，為教師進行幾何構圖節省了大量的時間，改善了復雜的構圖軟件給教師教學帶來的很多問題，提高了幾何構圖的精確度，同時還能夠幫助學生理解幾何構圖過程，激發了學生的探索意識，有利于學生數學發散思維的形成，大大提高了學生的學習效率[3]。

（二）功能展示快速，方便課堂使用

GeoGebra 軟件有較豐富的命令集，在命令集里可以根據教師需求選擇相應的功能，這些命令集不僅可以實現所有幾何圖形的繪制，還能輕松完成如展示函數圖像性質、函數極值的計算、方程根的計算、多項式的因式分解、求方向向量和單位向量以及用電子表格進行數據分析等[4]。命令集還自帶記憶功能，會識別命令并聯想補充。在課堂教學中，如果教師以前用過此命令，在下次輸入相同命令時軟件會自動呈現，方便了教師的教學。

（三）方便交流，可實現共享

GeoGebra 軟件可以支持多種語言呈現，方便在教學中參照其他國家的數學教學策略和教學觀點，方便交流。GeoGebra 網站的wiki 上有多種多樣的圖案和工具，可以實時共享到軟件上，為數學備課和教學研究提供了便利。

（四）免費使用，實時更新

和幾何畫板等一些制圖軟件相比，GeoGebra 是能夠免費使用的，不僅教師可以隨時使用，學生也能隨時使用。同時，軟件后臺還會實時更新各項功能，來滿足日益發展的高中數學教與學的改革，更新的過程中還不會受時間和空間的限制。另外，無論什么地區、什么條件下的師生，都能享受到同樣的軟件功能。

三、GeoGebra 與高中數學教學的深度融合

（一）利用GeoGebra 開展“可視化” 數學教學

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數學教學中將“數”與“形”有效結合起來，將抽象的數學內容用直觀的圖形呈現出來，能夠幫助學生更輕松地理解學習內容。“數形結合”的教學方式是有效的，但并不是所有的內容都能用圖形呈現出來，很多教學內容的直觀呈現必須借助計算機軟件才能完成。例如，數列是特殊的函數，它的圖形是由離散的點構成的，在教學中呈現數列的圖像，從函數的角度分析數列，可以幫助學生更好地認識數列[5]。比如在等差數列的教學中，可以對數列通項公式與前n 項和公式進行化簡整理，然后軟件會呈現猜想出來的圖形形狀和特征。通過GeoGebra 可以實現幾乎所有教學內容的“可視化”。“可視化”的教學方式可以提高學生的學習興趣，直觀的圖形可以在學生的頭腦中留下更深刻的印象。通過建立直觀圖形與抽象學習內容的聯系，有利于學生加深對數學知識的理解，有利于學生理解數學問題的本質。

（二）利用GeoGebra 開展 “動態的” 數學教學

世界是不斷運動變化的，數學的研究對象也是不斷運動變化的，如函數中參數的變化、解析幾何中點與線的運動變化等。GeoGebra 作為一款數學軟件，在動態演示方面有其獨特的優勢，利用GeoGebra 制作的對象是可以拖動的，變量是可以改變的，甚至對象的屬性也可以是變量，可以說“一切皆動態”。利用GeoGebra 制作的動畫不僅是動態的，更是可操作的，可以將被動的動畫播放變為主動的動態操作演示，從而幫助學生建構起對數學模型的準確認識。比如，當利用GeoGebra 進行三角函數教學時，可以利用鼠標的拖動功能，將滑動條拖到指定的位置，幫助學生直觀體驗三角函數的成圖過程，以及不同狀態下三角函數的變化圖形，幫助學生更好地理解每個參數的變化對函數圖像的影響。

（三）利用GeoGebra 開展數學實驗研究

現代的教育理念鼓勵學生在“做”中學，課堂教學中應讓學生充分經歷知識的發生、發展過程。通過設置適當的問題情境，讓學生主動建構數學知識生成的模型，通過自主探究、合作交流、師生探究，主動地解決問題、形成結論。數學實驗是以實際問題為載體，把數學建模、數學知識、數學軟件和計算機應用進行有機結合，融知識性、啟發性、實用性和實踐性于一體，強調學生的主體地位，在教師的引導下，用學到的數學知識和計算機技術，借助適當的數學軟件，分析、解決一些數學問題。鼓勵學生從實際出發，借助GeoGebra，通過自己親手設計和動手操作，體驗解決問題的全過程，從實驗中探索、學習和發現數學本質，這能夠充分調動學生學習的主動性。GeoGebra 由于其強大的繪圖、動畫制作能力，非常便于教師直觀、全面地進行數學實驗。對于教學中遇到的無法或不方便用實物進行的實驗，用GeoGebra 進行數學實驗探究，可以突破傳統實驗教學方式的局限。利用GeoGebra 能夠最大限度地還原實驗過程，為學生建立數學實驗模型、進行實驗研究，提供了更為有效的支持[6]。

例如，在“圓錐曲線與方程”這一實驗課堂中，可以先準備一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一點，將紙片折起，使圓周通過該點，然后將紙片展開，就得到一條折痕（為了看清楚，可把直線畫出來）。這樣繼續折下去，得到若干折痕。觀察這些折痕圍成的輪廓，思考它是什么曲線，然后用GeoGebra 引導學生進行猜想、驗證和證明。由于折紙操作比較復雜，如果學生的折痕數量較少或折痕分布不均勻，對猜想折痕圍成的輪廓形狀會有困難。因此，教師需要對學生的折紙操作進行指導，每次折紙后將折痕用筆畫出來，需要足夠多的折痕才能觀察出折痕圍成的輪廓，折紙時需要盡量使折痕均勻分布。在多次嘗試過程中，可以增強學生的體驗感，使學生感受數學的樂趣，體會數學的奇妙[7]。然后，再利用GeoGebra 進行動態折紙操作實驗，模仿、優化學生的折紙操作活動，并保證形成足夠多的折痕和折痕分布的均勻性，學生將之與自己的折紙進行對比，并觀察、分析，進一步明確折痕圍成的輪廓是“橢圓”。

（四）利用GeoGebra 開展 “交互的、有趣的”教學

興趣是學生學習最強大的動力，教學中需要激發學生的學習興趣。制作并使用具有交互功能的GeoGebra 課件，讓學生能夠使用課件進行自主探究，使學生真正參與數學實踐過程，充分體驗學習的過程、感受學習的樂趣。

例如，在“圓錐曲線概念”的教學中，通過平面截圓錐面，可以得到不同的圓錐曲線。但在實際教學中，學生只能通過觀看圖片，并通過空間想象去構建模型，其對學生的建模能力和空間想象能力要求很高，導致教學效果不盡如人意[8]。教學中，如果能夠使用GeoGebra 制作具有直觀性、交互功能的課件，便能夠讓學生充分了解圓錐曲線產生的過程。通過課件中的按鈕和滑動條，學生可以通過自己的操作進行自主的實驗探究，在此過程中，學生可以感受到學習的樂趣，提升學習興趣和學習動力。

四、建立高中數學GeoGebra 課件資源庫，實現資源整合和共享

“互聯網+”時代，將優質教育資源進行整合、管理、共享，實現對優質資源的充分利用，是當下的流行與趨勢。隨著教師信息技術能力的提升，GeoGebra 在教學中的應用得到了越來越多一線教師的認可，更多的教師能夠主動、積極地使用GeoGebra進行輔助教學，并取得了很好的教學效果。如果教師自己制作所有的、教學需要的GeoGebra 課件，工作量非常大，對于復雜課件的獨立制作難度更大。資源庫的建設讓更多優質的、高效的資源能夠得到合理應用、推廣、優化，對于促進資源共享、引領GeoGebra 在教學中的應用、促進教育公平具有重要意義。

（一）GeoGebra 的官方網站資源庫

在GeoGebra 的官方網站上有全球使用者上傳的數以百萬計的GeoGebra 課件，資源豐富、覆蓋面廣，使用者可以利用網站的搜索功能，搜索自己需要的課件，也可以將自己制作的課件上傳至網站與他人共享，這無疑是非常方便的。但是這些課件中的一部分可能是過時的，也有很多是英文版本的，還有一些課件并非為中國中小學數學課堂量身定做的，大多數課件并不適合教學應用。因此，需要建設一個適合中小學數學教學的GeoGebra 課件資源庫（或其他學科），實現資源的規范化、多樣化、優質化，為教師學習和應用GeoGebra 提供支持，滿足教師個性化的選擇需求。

（二）建立高中數學GeoGebra 教學資源庫

中國大學MOOC 課程“動態幾何畫板GeoGebra教學應用”中，北京大學唐大仕博士系統講授了GeoGebra 的教學應用，每期都有來自全國不同地區眾多的中小學教師參與學習、交流。唐大仕博士對GeoGebra 軟件強大的功能和其在中小學輔助教學中作用都給出了極高的評價，并在課程中發布了“召集令”，其中就包括一起建設中小學案例庫等設想，讓每一個學科、每一個知識點都能有一個更好的案例讓更多人共享。此外，很多GeoGebra 早期的使用者和推廣者也有建立GeoGebra 中小學教學資源庫的想法，以實現GeoGebra 在中國的推廣和在中小學教學中的廣泛應用，并服務于教學[9]。

我們期待GeoGebra 中小學教學資源庫能夠盡快建立和完善，讓更多的教師認識、使用GeoGebra 進行教學，推進GeoGebra 與高中數學教學的深度融合。

總之，合理并巧妙地將GeoGebra 融入高中數學課堂教學，可以讓數學課堂真正“活”起來，可以方便學生更全面地學好數學。但是，在應用的過程中，教師需要根據學生的需求和學生對知識掌握的情況來進行合理應用，同時還要在教學過程中多總結經驗、多反思，借助GeoGebra 使學生構建全面、系統的數學構圖思維，幫助學生培養數學探究興趣，讓學生愛上數學課。