具有飽和發生率的隨機多群體SIS傳染病動力學性態研究

田雪宏，劉茂省

(中北大學 數學學院， 太原 030051)

0 引 言

數學模型能夠幫助人們了解傳染病的傳播機制，從而制定相應的措施，更加有效地預防和控制傳染病。雖然有很多文獻都是基于單群體模型來研究的，但考慮到傳染病宿主的不同的接觸模式、不同的年齡結構、不同的社會和經濟地位等，對多群體傳染病模型進行深入研究是很有必要的。關于多群體模型最早的研究工作之一是由Lajmanovich等完成的，他們在文獻[1]中研究了一類淋病傳播動力學的SIS多群體模型，對該模型地方病平衡點的全局穩定性進行了分析。此后，越來越多的學者對多群體傳染病模型進行了研究[2-7]。然而，由于確定性模型沒有考慮到環境波動帶來的影響，在傳染病傳播的數學建模中具有一定的局限性，要準確預測系統的未來動態是相當困難的。因此，許多學者已經考慮了在傳染病模型中加入隨機擾動[8-15]。文獻[11]考慮了帶有飽和發生率的隨機SIR傳染病模型的滅絕和持續，并證明了平穩分布的存在性。Ji等在文獻[12]中分析得到了隨機多群體SIS傳染病模型疾病滅絕以及持續的條件。本文基于上述工作，研究了一類隨機多群體SIS傳染病模型的動力學性態。

1 模型建立

文獻[12]考慮將環境白噪聲引入如下經典的多群體SIS傳染病模型中：

(1)

式中:Sk(t)和Ik(t)分別表示第k(k=1,2,…,n)個群體在t時刻的易感者數量和染病者數量；Nk為第k個群體在t時刻的人口總量；μk表示第k個群體的出生率和死亡率；βkj表示Sk和Ij之間的傳染系數；γk為恢復率。

上述模型考慮了雙線性發生率對傳染病傳播的影響。在模型(1)的基礎上，考慮將飽和發生率引入如下的多群體SIS傳染病模型中：

(2)

假設系統中所有的參數值都是非負的。顯然，Sk(t)+Ik(t)≡Nk(k=1,2,…n)，初值為Sk(0)+Ik(0)=Nk(k=1,2,…,n)。

在現實世界中，不能忽視白噪聲對系統的干擾。主要考慮接觸率系數βkk受隨機擾動的影響，即

βkk→βkk+σkdBk(t),k=1,2,…,n

(3)

由于Sk(t)+Ik(t)=Nk(k=1,2,…n)，那么式(3)就可以簡化為

(4)

2 系統全局正解的存在唯一性

假設{Ω,F,{Ft}t≥0,P}是一個完備的概率空間，濾波{Ft}t≥0滿足通常條件。首要關心的是系統(4)的解是否是全局存在并且是正的。

定理2.1對于任意給定初值I(0)=(I1(0),I2(0),…,In(0))∈(0,N1)×(0,N2)×…×(0,Nn)，在t≥0時，系統(4)存在一個唯一的解I(t)=(I1(t),I2(t),…,In(t))，并且該解以概率1位于(0,N1)×(0,N2)×…×(0,Nn)中。

因此，存在整數m1≥m0，使得對于所有的m≥m1時，有

P{τm≤T}≥δ

(5)

根據伊藤公式，對于任意的t∈[0,T]以及m≥m1，有

(6)

式中LV：(0,N1)×(0,N2)×…×(0,Nn)→R如下：

把上式代入式(6)得：

根據Gronwall不等式，可以得出

EV(I(T∧τk))≤V(I(0))eCT

(7)

V(I(0))eCT≥E[1Ωm(ω)V(I(τm,ω))]≥mP(Ωm)≥mδ

式中1Ωm(ω)是Ωm的示性函數。令m→∞，那么∞>V(I(0))eCT=∞，可以推出矛盾。所以有τ∞=∞ a.s.，系統(4)存在唯一的全局正解。

3 平穩分布的存在性

本節將討論滿足何種條件時，疾病會持續存在。假設X(t)是Ed(d維歐幾里得空間)中的一自治Markov過程，滿足如下隨機微分方程[16]

其擴散矩陣有如下的定義

引理3.1[17-18]如果存在具有正則邊界的有界區域U?Ed，具有如下性質：

(1) 存在正數M滿足

(2) 對任意的EdU，存在一個非負的C2-函數使得LV是負的,

則Markov過程X(t)有唯一的遍歷平穩分布π(·)，令f(·)為關于測度π可積的函數，則對所有的x∈Ed成立，且有

定理3.1假設B=(βkj)n×n不可約，R0=ρ(M0)>1。如果

其中

又因為

另一方面，系統(4)的擴散矩陣為

4 傳染病的滅絕

在研究多群體SIS傳染病動力學性態的過程中，疾病的存在和滅絕是兩個需要重點關注的問題。在前一節中已經研究了疾病持續，本節將給出疾病滅絕的充分條件。顯然，P0=(0,0,…,0)是系統(4)的無病平衡點。

(8)

證明因為B=(βkj)n×n不可約，βkj≥0，M0是非負并且不可約的。根據文獻[8]中的引理A.1，在M0中存在一個正的特征向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)，對應于ρ(M0)，使得

(ω1,ω2,…,ωn)ρ(M0)=(ω1,ω2,…,ωn)M0

其中

那么L(logV)≤m1+m2，又因為

所以可以得到

注4.1定理4.1表明當

5 數值模擬

本節根據文獻[20]中的Milstein高階方法，將進行數值模擬來闡明白噪聲給系統(4)帶來的影響。考慮當n=2時，初值為I1(0)=1，I2(0)=1.5的情形。在這種情況下，可以得到

情形1： 選定參數值為

β11=0.4,β12=0.1,β21=0.2,β22=0.4,μ1=0.4,μ2=0.4,N1=2.5,N2=3,

γ1=0.5,γ2=0.4,α1=0.4,α2=0.4,σ1=0.1,σ2=0.08

通過計算，可以得到R0>1，此時疾病存在。定理3.1表明系統(4)存在唯一的平穩分布，如圖1所示。在圖2中，藍色的線表示隨機系統(4)的解，紅色的線表示對應未受擾動的確定性系統的解。可以看到，隨機系統的解總是在確定性系統的解曲線附近振蕩，這表明疾病是持續存在的。

圖1 系統(4)存在唯一的平穩分布

圖2 隨機系統(4)和對應的確定性系統在R0>1時的解曲線

情形2： 選定參數值為

β11=0.4,β12=0.1,β21=0.1,β22=0.2,μ1=0.5,μ2=0.5,N1=2.5,N2=2,

γ1=0.5,γ2=0.5,α1=0.1,α2=0.1,σ1=0.4,σ2=0.3

圖3 隨機系統(4)和對應的確定性系統在時的解曲線

6 結 論