具有脈沖擾動的隨機New Logistic模型的動力學行為

李鵬喆, 艾曉輝

(東北林業大學 理學院, 哈爾濱 150040)

0 引 言

隨著社會的不斷進步，人們對食品質量的要求也隨之提升，食品安全問題已經受到了社會各界的廣泛關注[1]。保證食品安全的主要方面之一是防止食品變質，而生活中食品變質主要是由腐敗微生物的生長引起的[2]。關于種群生長的數學研究最早可以追溯到1789年，英國Malthus提出了著名的Malthus種群模型[3]，該模型是描述種群生長的最簡單的模型。但是所有種群的數量不可能無限制地增長，從而在1838年，Verhulst提出了著名的Logistic模型[3]， Logistic模型的增長曲線是S型增長曲線。在2005年，Fujikawa指出微生物生長曲線在半對數水平中一般由停滯生長期、對數生長期和穩定生長期組成[4]。然而，Logistic模型在半對數水平圖上只能刻畫微生物種群沒有滯后生長階段的曲線，不能描述微生物的S形生長曲線[5]。

由于Logistic模型不能很好的描述微生物在半對數水平的生長曲線，從而很多學者研究并提出了大量微生物生長模型[6]，其中最為著名的是修正Gompertz模型和Baranyi模型。修正的Gompertz模型是一個經驗模型，不能預測微生物在不同溫度下的生長情況[7]。雖然Baranyi模型能非常好地描述微生物生長，但是該模型對微生物生長的刻畫是建立在對微生物生長必要的物質或該物質的濃度在整個生長周期內呈指數增長的假設之上[8]。然而，在微生物生長過程中，沒有任何一種物質能以指數形式增長到無窮大，并且在生長周期中始終存在微生物細胞的二元分裂[7]。此外，這兩種模型不能描述微生物沒有停滯生長期的生長情況[9]。

2010年，Fujikawa基于Logistic模型提出了如下所示的New Logistic模型，該模型能夠很好地描述并預測各種溫度模式下的微生物生長情況[9-10]。

(1)

式中：N(t)是t時刻的微生物量；r表示微生物生長速率；Nmax和Nmin分別是環境中微生物的最大和最小生物量，且Nmin比初始值N0小百萬分之一，即Nmin=(1-1/106)×N0；m和n是微生物的減速生長階段和停滯生長階段的參數。

另外，微生物的生長對環境的變化極為敏感，影響食物中微生物生長的環境因素主要有溫度、氧氣、pH以及添加劑等[11]，白噪聲描述了環境中極為常見的微小擾動[12-13]。而且，任何生物在自然界中均不會獨立存在，都會受到各種瞬時效應的影響，從而使得生物的生長模式發生突然的變化。脈沖微分方程能夠描述系統的某些狀態在某一時刻的快速變化或者跳躍，并且脈沖微分方程能更真實地反映一些自然現象和生物過程[14-16]。在系統(1)的基礎上考慮環境中的白噪聲干擾和脈沖擾動，從而建立如下所示的具有脈沖擾動的隨機New Logistic模型：

(2)

1 全局正解

首先，為證明系統(2)的全局正解存在性，應先考慮系統(3)全局正解的存在性。

(3)

引理1.1對于任意給定的初值Y0∈R+，系統(3)具有全局唯一解Y(t)在t≥0上定義，并且該解依概率1停留在R+中。

P{τn≤K}≥ε，n≥n1

(4)

(5)

其中

經過簡單的推導，存在正數M，使得

≤M

(6)

將不等式(6)代入等式(5)，得到

(7)

在不等式(7)兩端從0到τn∧T積分并取期望，可以得到

EV(Y(τn∧T))≤V(Y0)+MT

(8)

令Ωn={τn≤T}，則由不等式(4)有P(Ωn)≥ε。因此對任何ω∈Ωn，有Y(τn,ω)或等于n，或等于1/n，從而得到

再由不等式(8)，可以得到

V(Y0)+MT≥E[1Ωn(ω)∨Y(τn)]

其中1Ωn是Ωn的指標函數。令n→∞，有∞>V(Y0)+(M)T=∞，從而得到矛盾，即證明完成。

在系統(3)與其相對應的引理1.1的基礎上，可以更方便地證明系統(2)的全局正解的存在性。

定理1.1對于任意給定的初值N0∈R+，系統(2)具有全局唯一解N(t)在t≥0上定義，并且該解依概率1停留在R+中。

當t=tk，tk∈H時，有

和

結論得證。

2 弱持久性

種群的弱持久性，作為一種長時間種群規模的衡量標準，在種群模型的研究中具有重要意義。在這一部分，將研究系統(2)的弱持久性。首先介紹弱持久的概念。

(9)

在等式(9)的兩邊從0到t積分,得

(10)

其中

(11)

(12)

在等式(12)的兩端同時除以t，有

(13)

引出矛盾，從而假設不成立，證明完成。

3 隨機持久性

隨機持久性描述了種群在隨機擾動下的持久生存狀態。在這一部分，將研究系統(2)的隨機持久性，首先給出隨機持久的定義。

假設3.1意味著脈沖擾動是在一定范圍內的，這與生活中對某一種群的有限捕獲或播種是相對應的。在給出系統(2)的隨機持久的證明之前，證明一個引理。

引理3.1在假設3.1下，對任意p∈(0,1)，存在一個常數K0，使得系統(2)的解滿足

證明在系統(3)的基礎上，對于Y∈(0,+∞)，定義V(Y)=Yp，p∈(0,1)。由伊藤公式可知

d(etV(Y))=etV(Y)dt+etdV(Y)

(14)

其中

在不等式(14)兩端從0到t∧τL積分并取期望，得到

對V1(Y)應用伊藤公式，可得

在V1(Y)的基礎上，定義

對V2(Y)應用伊藤公式，可以得到

其中

再根據V2(Y)，定義

V3(Y,t)=eηtV2(Y)，η>0

令η充分小且t>0足夠大時，對V3(Y,t)應用伊藤公式，得到

dV3(Y,t)=ηeηtV2(Y)dt+eηtdV2(Y)

(15)

在等式(15)兩端從0到t積分并取期望，可以得到

其中

顯然，ηV2(Y)+LV2(Y)在Y∈(0,∞)上是有上界的，則存在G>0，使得

進而

4 數值模擬

首先使用Milstein高階方法[21]來模擬上面關于具有脈沖擾動的隨機New Logistic模型的結論。考慮如下離散化模型。當j≠tk,tk∈H時，

當j=tk,tk∈H時，

使用上述方法和R語言，并選取適當的參數，給出系統(2)在初始條件N(0)=N0下的數值模擬。選取N0=1，σ=0.5，r=0.5，m=3，n=3.5，Nmax=1.1，Nmin=(1-1/106)×N0，bk=e0.005-1,計算得到圖1。模擬結果表明，系統(2)的全局正解是存在的。圖1中的實線是微生物的生長曲線N(t)，兩條虛線從上至下分別是Nmax和Nmin。在圖1中可以明顯地看出，脈沖擾動使得微生物的生物量大幅超出了環境中的最大生物量Nmax，但很快微生物的生長曲線就回落在Nmax附近。

圖1 全局正解

圖2 弱持久性

圖3 隨機持久性

4 結 論

本文提出了一個具有脈沖擾動的隨機New Logistic模型，主要研究結果是系統(2)的全局正解的存在性、解的弱持久性和隨機持久性。全局正解的存在性表明，食物一旦被微生物污染，微生物會一直在食物中生長并最終導致食物變質。系統(2)解的弱持久性和隨機持久性表明，被腐敗微生物污染的食物即便使用冷藏、真空等方式儲存，也會存在微生物生長使食物緩慢變質。因此，剛生產的食物在包裝前做好消毒處理可以延長食物的儲存時間，并且過期的包裝食品應嚴格銷毀。