考慮靜動態多目標地鐵車座椅拓撲優化設計研究

李婭娜，孟迪

(大連交通大學 機車車輛工程學院，遼寧 大連 116028)①

近幾十年，拓撲優化方法被廣泛應用到航空航天、材料、車輛、機械等諸多領域.單目標的拓撲優化很難解決實際結構中大量存在著的多目標優化問題，并且結構的受力過程往往比較復雜，一般是在多種工況下進行工作，在定義目標函數時，權重系數的分配在優化設計中占據比較重要的地位，它反映目標的相對重要性涉及優化目標的分配和目標函數的評價方向，如果設置合理，則可以達到理想的優化效果，反之可能達不到預期的效果甚至出現失誤.從目前國內外學者的研究狀況來看，大多數結構拓撲優化正在從單目標、單工況拓撲優化的問題向多目標、多工況優化問題轉變，并且確定多工況權重系數的方法不再單一.目前，在眾多領域許多學者提出了不同的拓撲優化方案，周智等[1]提出了一種以最小化柔度為單一的目標，多工況折衷規劃法對汽車前軸進行結構輕量化設計；楊森等[2]以加權應變能最小為目標，根據經驗對典型工況設置權重，對商用車變速器殼體進行了拓撲優化設計研究；高云凱等[3]通過正交試驗得到各子工況最優權重系數組合，以加權柔度為目標函數，約束拓撲空間的質量分數，進行多工況拓撲結構優化；羅震等[4]根據灰色理論建立了解決多工況問題的灰色-折衷規劃模型，減少了主觀因素對確定各工況權系數的干擾；秦欣等[5]基于熵權法確定各個評價指標所占權重，對汽車進氣歧管進行了多目標優化；扶原放等[6]基于層次分析法以車身多工況權重剛度最大化為優化目標，建立了微型電動車車身結構多剛度拓撲優化模型；袁林等[7]考慮碰撞工況，采用層次分析法確定靜態多工況下的最優權重系數，對電動汽車電池箱進行了多目標拓撲優化設計；康元春[8]同時考慮貨車車架靜態動態性能構建了多目標優化函數，并利用層次分析法確定目標函數中各工況的權重系數；蘭鳳崇等[9]定義了在實際行駛工況下綜合考慮車身結構靜態剛度和動態振動頻率的目標函數，通過對比3種優化方法，獲得了每種工況的最佳權重系數，完成了綜合目標優化設計.但這些研究都很少同時考慮多目標、多工況以及使用多種方法確定權重系數的拓撲結構優化模型，尤其在鐵路車輛結構中的應用就更少了.

本文基于SIMP密度函數插值模型，使用正交試驗設計法、灰色關聯度法、熵權法和層次分析法4種不同方法確定目標函數中的權重系數，實現不同優化方法在地鐵車座椅模型多工況剛度和動態固有頻率的多目標拓撲優化研究中的應用.

1 綜合目標拓撲優化

1.1 多目標拓撲優化方法的概述

對于非凸優化問題來說，線性加權法和把多目標轉化為單目標優化問題來求解的方法不能確保得到全部的帕雷托最優解[10]，而折衷規劃法可以很好地解決該問題.確定多工況下目標函數的過程中，通常不同工況權重系數是設計者通過工況重要程度給出一個經驗值，但是通過經驗給出的權重系數往往受主觀因素的干擾，無法保證精確程度；當工況數量較多時，無法合理地對眾多工況做出判斷給出各工況的權重系數[9]，為了解決該問題本文采用正交試驗設計法，灰色關聯度法，熵權法和層次分析法4種方法確定目標函數中的權重系數.建立帶有權重系數并綜合考慮靜態多工況剛度和動態固有頻率的多工況拓撲優化模型，優化設計分析流程如圖1所示.

圖1 基于不同方法確定權重系數的結構拓撲優化流程

1.2 多目標拓撲優化目標函數的確定

多剛度拓撲優化問題通常是將剛度最大問題轉化為柔度最小問題，即單元應變能最小，本文運用折衷規劃法以座椅結構柔度的最小化作為目標優化靜態剛度.動態固有頻率拓撲優化是最大化低階的前幾階重要頻率，本文采用平均頻率公式來建立固有頻率拓撲優化的目標函數：

(1)

1.3 拓撲優化目標權重系數方法的確定

(1)正交試驗設計法

正交試驗設計分為試驗設計與數據處理兩部分[11].由正交設計表可獲得用于試驗的方案，對試驗結果進行計算分析，根據極差值由小到大選擇出最優組合，經過歸一化處理得到最終權重系數.

(2)灰色關聯分析法

最優解參考序列是通過數據整理得到，關聯分析各因素的比較序列與參考序列，利用灰色關聯度，判斷各因素與最優解之間的關聯程度，從而給出該因素的權重系數[12].

(3)熵權法

熵權法的構建過程包括樣本選擇、目標選擇、計算權重三個部分.首先采用歸一化方法將原始指標矩陣標準化得到標準化矩陣，定義第i個指標的熵之后，可以得到第i個指標的熵權.

(4)層次分析法

根據各個工況的相對重要程度，建立權重比較矩陣，求解矩陣的最大特征值并計算矩陣的一致性判斷值[13].若符合一致性指標，則最大特征值對應的特征向量即為所求的系數矩陣，歸一化處理后得到對應的權重系數.

2 地鐵車座椅模型的建立

2.1 有限元模型的建立

某地鐵車二人座椅主要由座椅支架、背部骨架及座椅椅面組成，材料有鋁板5083-H112和不銹鋼06Cr19Ni10兩種，二人座椅結構有限元模型采用任意四節點薄殼單元，單元總數32 469，節點總數31 205，模型重量43.73 kg.位移約束二個支架及端部支架的螺栓孔位置區域，位移約束：x=0，y=0，z=0,三維有限元模型如圖2所示.二人座椅每個座椅承受100 kg的載荷，二人座椅共承受200 kg的載荷，均布在椅面上，加載面積為300×1 173 mm2，并考慮三個方向的加速度，工況如表1所示.

圖2 二人座椅有限元模型及位移約束示意圖

表1 二人座椅強度分析工況匯總

2.2 拓撲優化模型的建立

本文對地鐵座椅進行拓撲優化設計，以原座椅模型結構為基礎，綜合考慮本次優化設計需求，優化模型描述如下：

(1)優化目標：各工況靜態柔度值最小及動態低階頻率最大；

(2)約束條件：以體積分數30%作為約束條件；

(3)設計變量：座椅支架，座椅椅面，座椅背部骨架單元相對密度.

2.3 權重系數的計算

一般來說，靜態剛度和動態頻率目標是一組相互矛盾的目標函數，當權重分配相差較大，剛度函數和頻率函數不一定能夠同時得到最優解.出于這種考慮，在多目標拓撲優化綜合目標函數中，取剛度目標函數的權重系數0.6，頻率目標函數的權重系數為0.4.

本文對工況選用的是三因素三水平的正交試驗，每一個工況即每種因素定為3個水平值，所取的水平見表2所示，所取的正交表應為 L9(33)，通過賦值與歸一化處理得到最終實驗的9組方案，依次進行拓撲優化.

表2 各因素水平表

分別將各工況的柔度作為灰色關聯度法中的比較序列，以及構成熵權法中的原始指標矩陣.依照比較矩陣重要性參數定義水平表把所有工況進行兩兩對比，確定其相對重要程度[14]，得到層次分析法中的權重比較矩陣：

(2)

利用正交試驗設計法，灰色關聯度法，熵權法和層次分析法計算得到不同方法對應的地鐵車二人座椅三個工況的權重系數如表3所示.

表3 不同方法對應的權重系數

3 優化結果計算與分析

由于權重系數的不同，綜合目標函數存在較大的差異，本文提出使用四種方法確定各個工況的權重系數，為了比較四種方法的優劣，將四種方法得到的權重系數分別進行拓撲優化，各目標函數的最終優化結果如表4所示.

表4 不同方法對應目標函數的優化結果

四種方法建立的目標函數經過迭代后收斂，實現了多工況柔度最小化和低階頻率最大化的目標.優化后的各工況柔度達到最小值，在各工況柔度優化值對比中，方法4的柔度優化值比其他方法低，這表明每個工況剛度得到很大的提高，剛度特性變得更好；優化后結構低階頻率也都得到了提高，方法4的低階頻率值最高，具有更好的振動特性.

采用層次分析法建立的拓撲優化模型，對地鐵車座椅進行多目標拓撲優化計算.圖3給出優化后的密度分布情況.

圖3 層次分析法優化后的密度云圖

從密度云圖可以看出，座椅靠背部分密度值較小，可以在該處適當減少材料的分布，將座椅靠背處較少承受載荷的部分刪除,留橢圓形鏤空，進行二次設計后座椅柔度和頻率值與原模型對比結果如表5所示，由表5可知，優化后地鐵座椅各工況柔度值均有所降低，頻率值有所增大，有較明顯的優化效果.

表5 優化前后地鐵車座椅柔度和頻率值對比

4 結論

(1)基于變密度法，考慮靜態剛度和動態頻率多目標及不同權重系數對不同工況的重要程度的影響建立了綜合目標函數拓撲優化方法;

(2)通過正交試驗設計法，灰色關聯度法，熵權法和層次分析法，給出了地鐵座椅目標函數中不同的權重系數，減少了人為主觀因素造成的權重系數偏差，獲得了更加合理的拓撲優化模型;

(3)采用層次分析法建立的拓撲優化模型，根據密度云圖進行優化設計后座椅工況1柔度降低13.42%，工況2柔度降低14.4%，工況3柔度降低8.95%，頻率值提高10%，優化后地鐵座椅各工況柔度值均有所降低，頻率值有所增大，優化效果較明顯;

(4)通過分析優化結果可以看出四種模型均可以實現多工況多目標的拓撲優化，綜合對比各工況柔度值和頻率值變化，由層次分析法確定的目標函數方法拓撲優化結果優于其他三種方法.因此，在結構拓撲優化設計中，在剛度特性不減弱的情況下，所設計的結構有更好的動態頻率特性，從而為今后優化鐵路車輛結構提供了有益參考.