FAST 主動反射面的形狀調節研究

胡翔宇

（江蘇大學卓越學院，江蘇 鎮江 212000）

1 研究背景

FAST 的主動反射面系統[1]的主體結構是一個口徑500m 的可調節球面[2]，主動反射面可分為兩個狀態：基準態和工作態。該反射面可主動變換形狀，形成工作拋物面[2]。

2 理想反射面模型

觀測天體S 位于基準球面正上方，促動器的伸縮范圍為-0.6 至+0.6 米且其伸縮沿著基準球面徑向（故拋物面頂點的移動范圍也為-0.6 至+0.6 米）。我們擬應用粒子群智能算法在主索節點變化范圍內以最大調整距離最小作目標函數搜索最優的伸縮量，從而確定理想拋物面。

2.1 模型的建立

可知球心C 為原點。拋物面的焦點在以坐標C 為原點，以0.534R 為半徑的球面上，天體S 位于球面正上方，SC 的連線與焦面的交點為P（0,0,-0.534R）示意圖如圖1 所示[3]。

圖1 示意圖

我們設基準球面的最低點為A，則A 處下拉索的伸縮方向即為豎直方向，且由于促動器伸縮范圍的為[-0.6,+0.6]，考慮到反射面板調節的因素，得到拋物面焦距的取值范圍為：

則拋物面的方程為：

同時僅用到了下半球面的基準球面的球面方程為：

根據饋源艙的照明范圍直徑為300m，由圖形的對稱性，因此照明區域內節點應在半徑為150m 的圓內，即：

因此聯立上述方程，我們可以得到：

由于兩者均具有關于z 軸的各向同性，因此令x2=x2+y2，則聯立方程組可化簡為：

為方便數學計算推導，我們進行極坐標變換，即：

可以得到：

根據一元二次方程的求根公式，由于考慮到ρ1≥0，于是我們舍去負根，得到ρ1的表達式為：

而當φ 為270 度時，cos φ 為0，因此此時公式（11）為一元一次方程，所以得到ρ1的表達式為：

我們定義拋物面與球面的徑向距離為ρ0，其中ρ2=R，則ρ0可以表示為：

我們對焦距的取值區間進行離散化, 得到{f0，. . . ,fn}，其中f0=0.466R-0.6，fn=0.466R+0.6，我們取所有ρ0中最大的為ai，即：

則根據焦距f 的變化，得到關于ai的集合S，而記S 中的最小值為a*，即：

為使反射面板調節盡量均衡，即尋求最小的徑向調整距離，因此我們的搜索目標即為：

搜索獲得最小的a*，其對應的fi記為f*，則得到理想拋物面的表達式即為：

2.2 模型的求解

為了在促動器的限制范圍內搜索最優焦距，從而確定理想拋物面，我們采用粒子群算法，以焦距f 為待優化參數，以a*為適應度函數，則優化模型如下：

搜索目標函數：min a*

通過粒子群算法進行全局搜索求得最優解.

3 結論分析

我們求解得到最優的焦距f 為140.1324m，同時由幾何關系: f = 0.466R + h，得到A 點的最優伸縮距離h 為0.3324m。各節點對應伸縮距離的三維空間圖，基準球面與理想拋物面的二維截面圖像如圖2、3 所示。

圖2 二維伸縮距離與三維伸縮距離

圖3 二維基準球面與理想拋物面截面圖

可以觀察到曲線交替變換，且其幅度較為均衡，符合我們尋求調整最為均衡的目標,圖片證明了所得理想拋物面在調節上的均衡性,因此結果較為合理。

綜上所述，在α=0°，β=90°時，結合反射面板調節因素，得到理想拋物面的方程為：

4 基準反射球面模型

4.1 模型的建立

由于計算光通量在角度上的變換較為復雜，于是為了便捷的確定饋源艙區域內的有效信號通量，我們通過坐標變換，將原拋物面轉換為標準狀態下的理想拋物面。

4.1.1 坐標變換

首先我們要將非標準位置調節后的節點坐標變換為標準位置的坐標，根據旋轉矩陣公式，得到相應的XYZ 軸旋轉矩陣為：

則非標準位置的拋物面對應節點變換到標準位置后的坐標即為：

隨后結合求得的理想拋物面參數可以得到進行坐標變換后的理想拋物面球坐標方程，因此我們可以根據相同的方位角與仰角θ，φ 得到每一個節點(ri，θi，φi) 在相同方位角與仰角θ，φ 情況下對應的理想拋物面上半徑ri*，故我們可運用最小二乘法優化節點位置。

同時由于節點調節的變化幅度小于0.07%，即可得到相應約束條件為：

由于促動器的調節范圍為±0.6m，因此可得到相應約束為：

通過優化求解得到一系列節點調整后的球坐標（ri'，θi'，φi')，再將球坐標變換為空間直角坐標(xi'，yi'，zi')。

我們利用粒子群算法求解得到各節點的調整方案，各個節點調整距離以及調整前后的對比如圖4 所示。

圖4 主索節點調整方案對比

4.1.2 信號通量計算模型

由于饋源艙接收信號的有效范圍為1m 直徑的圓，因此在三維空間中我們可以寫為：

然后設D1，D2，D3為變換后某個三角形的三個頂點，坐標為：D1(x1，y1，z1)，D2(x2，y2，z2)，D3(x3，y3，z3)。三角形D1，D2，D3的有效面積就是其投影到水平面上的三角形D1' D2' D3' 的面積。然后要求出反射光線，我們先求出三角形D1D2D3所在平面的方程，則有：

那么設三角形D1D2D3的單位法向量為則可以由平面方程得到：

設P1為D1入射光線上一點，入射光線的方向向量為(0，0，-1)，那么P1關于過D1的法向量所在直線的對稱點P1'的坐標即可通過空間幾何解得：

因此反射光線的方程即為：

接下來我們設LD1與饋源艙所在平面的交點為KD1，那么聯立方程可算出交點的坐標：

同理我們可以算出KD2，KD3的坐標，然后可以算出三角形KD1KD2KD3的面積。

設Sj表示三角形與饋源艙有效區域重合部分的面積；設Hj表示三角形D1'D2'D3' 在三角形D1D2D3上反射到饋源艙并被接收到的信號，因此：

記饋源艙有效區域接收到反射信號與300 米口徑內反射面的反射信號之比為N，則有：

4.2 模型的求解

由于判別信號是否有效的過程均為復雜，因此我們采用蒙特卡羅模擬法，具體流程為：則對于某一點P 求出與三角形ABC 的三個頂點構成向量P■→A，P■→B，P■→C 的叉積。如果叉積是同號，則判斷點P 在三角形內部即該三角形反射信號有效，否則反射信號無效。

4.3 結果分析

通過計算機編程以及模擬，我們得到饋源艙接收比為67.42%；饋源艙接收比與基準反射球面接收比的比值為5.26%，其分布如圖5 所示。

圖5 饋源艙信號接收與基準球面反射面信號接收

其經過拋物面調整后的饋源艙的信號接收比相對于以基準球面為反射面的饋源艙接收比有了明顯提升，因此我們認為該計算結果是符合要求的。