非對稱非線性質量阻尼器試驗研究及魯棒性分析

王菁菁， 張 超， 劉志彬， 李浩博

(1.廣州大學 土木工程學院，廣州 510006;2.四川大學 破壞力學與工程防災減災四川省重點實驗室，成都 610065;3.湖南工業大學 土木工程學院，湖南 株洲 412007;4.上海大學 力學與工程科學學院，上海 200444)

結構控制技術是減小結構不利響應的有效手段[1]。其中調諧質量阻尼器(tuned mass damper，TMD)是工程結構中應用最廣泛的控制方法之一[2]。TMD通常放置于主體結構頂層，當TMD與受控主體結構頻率相調諧時兩者形成共振機制，TMD通過自身運動耗能，進而減小主體結構響應。過去幾十年，學者們對TMD進行了大量研究，李創第等[3]運用常規的和基于動力可靠性約束的兩種優化設計方法，對TMD結構參數的優化取值問題進行了系統的理論與試驗研究。秦麗等[4]分析了不同方法確定的TMD參數用于地震控制時控制效果的差別。

理論與實踐表明，當TMD頻率接近主體結構頻率時，TMD減振效果較好。但當結構發生變化，如受到損傷、沉降或其他環境因素影響時，主體結構自振頻率發生變化，TMD與之失諧，控制性能發生退化，退化嚴重時甚至可能增大結構響應[5]。針對這一問題，學者們提出了不同的改進方法。Xu等[6]提出了多質量調諧阻尼器(multiple tuned mass damper，MTMD相比單個TMD更能有效減小結構在寬頻激勵下的反應。王梁坤等[7]提出了自調頻TMD，并進行了相關的數值研究分析，結果表明TMD的缺點明顯得到了改善。此外，還有學者提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)[8]，通過非線性動力特性適應頻率變化。由于NES具有非線性恢復力，其振動頻率可連續變化，因此NES的減振性能受主體結構頻率變化影響較小[9-11]。NES的非線性恢復力可由多種方法實現[12-16]，其中最常見的方法為:在與NES運動垂直的方向設置一組彈簧，當NES與主體結構無相對位移時彈簧組處于原長，隨著NES發生運動，彈簧組在運動方向所產生的恢復力在一定范圍內與NES位移成三次方關系。這種具有三次方恢復力-位移關系和線性黏滯阻尼的NES被稱為一型NES。但需要指出的是，NES的振動頻率取決于自身的位移，即輸入能量的大小，當能量很大或很小時，NES自振頻率與主體結構差距過大，對減振性能造成不利影響[17]。

為了改善NES對輸入能量大小的敏感性問題，劉良坤等[18]研究了NES與TMD混合控制的方案，數值分析結果表明混合控制系統具有較好的頻率魯棒性和能量魯棒性。王菁菁等[19-20]提出將線性和非線性相聯合的方法，使一個裝置同時具備TMD的線性特點和NES的非線性特點，在脈沖荷載作用下，線性和非線性聯合的控制方法展現出較強的能量魯棒性和頻率魯棒性。

本文在一型NES的基礎上提出一種新型質量阻尼器——非對稱非線性能量阱(非對稱NES)，該控制方法既保持了一型NES的頻率魯棒性，又能夠在一定程度上解決一型NES減振性能對輸入能量敏感的問題，達到與TMD相當的能量魯棒性。在某縮尺3層鋼框架結構上附加非對稱NES進行了試驗，驗證了非對稱NES在不同結構上的減振性能。此外，基于經試驗驗證的數值模型，在某6層主體結構上對非對稱NES進行控制參數優化，并在脈沖型荷載和地震作用下考察非對稱NES的控制性能。結果表明，非對稱NES具有較強的能量魯棒性和頻率魯棒性，兼備TMD和一型NES的優點。

1 非對稱非線性能量阱

非對稱NES以一型NES為基礎構建,如圖1所示。將質量塊拉離初始位置，在新位置(與初始位置距離為r)增設線性彈簧，與原有非線性彈簧組達到靜力平衡。線性彈簧與非線性彈簧組作用力合力即為非對稱NES的恢復力。所得非對稱NES以靜力平衡位置為運動參考位置，正向運動時線性彈簧先受拉再受壓，非線性彈簧組受拉；反向運動時線性彈簧受拉，非線性彈簧組先恢復原長再受拉，兩個方向的恢復力-位移曲線不同。

圖1 非對稱NES示意圖

假設非線性彈簧組中彈簧剛度為k，彈簧原長為l，NES質量位移為x。根據幾何關系可得到非線性彈簧組在運動方向產生的恢復力f,如圖2所示。省略高階項，得到

圖2 非對稱NES彈簧布置圖

(1)

式中，kCubic為彈簧組的非線性剛度系數,kCubic=k/l2。

當NES被拉離初始位置r時，非線性彈簧組恢復力為

fCubic=kCubic(u+r)3

(2)

線性彈簧恢復力為

fLinear=kLinearu+f0

(3)

式中，u為以r位置為參考的NES位移。

通過r位置的靜力平衡條件，可以得到

f0=-kCubicr3

(4)

綜合以上結果可得到非對稱NES恢復力為

fresultant=kCubic(u+r)3+kLinearu-kCubicr3

(5)

TMD、一型NES和非對稱NES的恢復力-位移關系的對比,如圖3所示。通過對比可知，非對稱NES的非線性程度弱于一型NES，在一定范圍內與TMD變化接近，具有線性和非線性雙重特點。

(a) TMD

2 試驗研究

2.1 主體結構

試驗中的主體結構采用縮尺鋼框架結構，該結構由3個相同的樓板和一個底板組成，每層設置一個配重板,如圖4所示。頂層的配重板由固定裝置和控制裝置代替，以使每層的總質量基本相同。樓板尺寸為440 mm×440 mm×15 mm，配重板尺寸為300 mm×300 mm×15 mm，底板尺寸為1 000 mm×1 000 mm×15 mm。底板可以視為試驗結構的剛性基礎。柱子由錳鋼制成，以確保柱子在較大位移下不屈服，使結構保持彈性。柱子設計為薄片，截面尺寸為80.0 mm×1.5 mm，強弱軸分明，以使結構僅發生沿弱軸方向的振動。為研究所提出的非對稱NES對主體結構特性變化的魯棒性，試驗中采用了兩種柱子安裝方案，其中每層設置六柱時結構視為完好結構，而每層設置四柱時結構視為損傷結構。非對稱NES基于六柱結構設計，分別在兩種結構上進行試驗。

圖4 試驗設置

對六柱和四柱結構進行系統識別。頂層樓面質量為32.40 kg，中層和底層樓面質量為29.61 kg。測量樓層的加速度，使用1～20 Hz的帶寬濾波器進行濾波，并通過積分求得位移。得到六柱結構第一、第二、第三階自振頻率分別為2.02 Hz、5.75 Hz和8.25 Hz，四柱結構第一、第二、第三階自振頻率分別為1.57 Hz、4.51 Hz和6.49 Hz。兩種結構的模態阻尼比均為0.3%。

2.2 非對稱NES設計

非對稱NES置于結構頂層，其質量為結構總質量的5%(4.58 kg)。附加質量塊沿滑軌移動，擋板作為安全措施安裝在滑軌兩端。使用兩組不同長度的橡皮筋將質量塊與固定裝置相連。其中，靜止時拉緊的橡皮筋組成線性彈簧，靜止時保持原長的橡皮筋組成非線性彈簧。控制裝置的阻尼效應由橡皮筋的固有材料阻尼和軸承與滑軌之間的摩擦阻尼兩個因素產生。根據已有研究[21]，控制裝置的阻尼效應可簡化為線性黏滯阻尼，識別得到非對稱NES的黏滯阻尼系數為3.8 N·s/m。

在MATLAB軟件中對非對稱NES的線性和非線性剛度進行數值優化。優化目標為，當六柱主體結構受到0.2 m/s的初始速度時，初始10 s內(約20個周期)頂層位移均方根(root mean square，RMS)達到最小值。該初始速度與主體結構的響應大小相匹配，使結構響應在合理范圍之內。非線性彈簧的初始拉離距離r由樓板上固定裝置的位置決定，相鄰固定裝置間隔0.06 m,該距離等于非對稱NES中非線性彈簧和線性彈簧初始變形距離之和,如圖5所示。優化得到非對稱NES的線性和非線性剛度系數分別為200 N/m和1×105N/m3。相應橡皮筋規格如圖5所示，整個裝置置于樓板平面內。實際測量得到線性和非線性剛度系數分別為200 N/m和9.5×104N/m3，與設計值非常接近。

圖5 非對稱NES的試驗構型

2.3 模型驗證

為了驗證非對稱NES的理論和數值模型，圖6對比了非對稱NES結構的試驗響應和相應的數值模擬響應。兩類響應吻合良好，僅在NES質量的相對位移中存在細微差異。一方面，試驗與數值結果的差異與阻尼簡化有關;另一方面，非對稱NES正向剛度大于負向剛度，因此負向位移大于正向位移，整體上呈現負向偏移趨勢。而試驗得到的位移經濾波后去除了低頻成分，同時去除了NES因非對稱恢復力導致的整體位移偏移，因此與數值響應存在差異。

(a) 裝置的位移

2.4 響應研究和分析

試驗中對非對稱NES結構和無控結構施加相同的初始外力作用，使頂層相對于底板的初始變形為0.03 m，中間和底層不受外力作用，其初始位移可根據主體結構的剛度分布計算得到。六柱結構頂層的位移,如圖7(a)所示。由于非對稱NES裝置基于六柱主體結構設計，此時減振效果顯著。四柱結構頂層的位移,如圖7(b)所示。無控結構的基本自振頻率從2.02 Hz降至1.57 Hz，表示由完好結構變成損傷結構，而非對稱NES仍然保持了較好的控制性能。這種頻率魯棒性來自于恢復力中的非線性成分，使裝置能夠與一定范圍的頻率發生共振。

(a) 六柱結構

3 數值研究

本章使用經試驗驗證的非對稱NES數值模型基于某6層鋼框架結構進行更為系統的魯棒性分析，并考察非對稱NES在地震作用下的控制性能。

3.1 主體結構及裝置設計

主體結構為某6層鋼框架結構，取自FEMA P-751規范[22]。結構平面及立面圖,如圖8所示。分析中將主體結構簡化為僅在南北方向振動的六自由度平面模型，假設結構阻尼為瑞利阻尼，第一、第三階阻尼比均為2%。結構第一階自振周期為0.63 s。

(a)

為進行控制性能對比，除非對稱NES外，還對TMD和一型NES進行了考察。各控制裝置質量比均取為主體結構質量的5%，為3.9×105kg。TMD的待優化參數為剛度系數和阻尼系數，采用已有方法[23]計算得到，分別為3.13×107N/m和1.08×106N·s/m。一型NES和非對稱NES的阻尼系數與TMD一致。一型NES和非對稱NES的參數通過數值優化得到。優化荷載為脈沖型荷載，通過對附加控制裝置結構中各質量設定施加0.8 m/s的初始速度，使用10 s內(約15個自振周期)主體結構頂層位移均方根作為評價指標。當該評價指標達到最小值時認為此時對應的剛度系數為最優結果。考慮到剛度取值和裝置位移行程的合理性，非對稱NES的初始拉離距離取為0.1 m。優化得到一型NES非線性剛度系數為1.50×109N/m3，非對稱NES線性和非線性剛度系數分別為1.64×107N/m和1.53×108N/m3。值得指出的是，當初始速度變化時，非對稱NES和一型NES的最優參數將隨之變化，體現了裝置對能量的依賴，該特性將在下文魯棒性分析中詳細敘述。

3.2 魯棒性分析

圖9對比了分別附加TMD、一型NES和非對稱NES的控制系統和鎖住系統在不同大小初始速度作用下的頂層位移響應。其中,鎖住系統指控制裝置與頂層鎖住(即兩者無相對位移)，為無控系統。3幅圖所對應初始速度從上至下依次為0.4 m/s、0.8 m/s和1.6 m/s。當初始速度為0.8 m/s時，3種控制方法減振效果相當，均能在3個振動周期內將響應降至鎖住系統響應的1/3左右，減振效果顯著。3個控制系統中，TMD為線性控制方法，其減振效率與荷載大小無關，因此減振效果不隨初始速度而變化。一型NES具有較強非線性，荷載能量不同時減振效率不同，在優化荷載(0.8 m/s)作用下減振效果最好，在其他荷載作用下減振性能退化。非對稱NES同時具備線性和非線性特點，在非優化能量等級，其減振效率優于一型NES，與TMD接近，尤其當初始速度為1.6 m/s時，非對稱NES的控制效果甚至略優于TMD，展現出與線性裝置相當的能量魯棒性。

圖10對比了當主體結構基本自振頻率下降至75%時，3個控制系統和鎖住系統在0.4 m/s、0.8 m/s和1.6 m/s(從上至下)3個荷載能量等級的頂層位移響應。TMD的減振效率在3個能量等級仍然相同，但控制性能較原自振頻率時退化顯著，這是由于此時TMD與主體結構失諧，難以形成有效的共振機制。一型NES具有可連續變化的振動頻率，當能量在優化荷載能量等級附近變化時，能夠適應主體結構的頻率變化，具有較好的頻率魯棒性；但當能量過小或過大時，一型NES的能量魯棒性不足以彌補其控制性能的退化，尤其是能量較大時，一型NES的減振性能甚至弱于失諧的TMD。非對稱NES即使在結構頻率發生變化時仍可較好適應輸入能量的變化，在不同能量等級條件下減振效果均優于TMD和一型NES，是一種兼備能量魯棒性和頻率魯棒性的新型控制方法。

3.3 減震性能分析

采用相同的控制參數，本節考察7條Kobe地震記錄(1995年，8.6級)作用下非對稱NES的減震性能。每條記錄的測站、峰值地面加速度(peak ground acceleration，PGA)和測距，如表1所示。各地震記錄能量、頻譜各不相同，可用于考察控制裝置的能量和頻率魯棒性。

表1 地震信息

鎖住系統、一型NES系統、TMD系統和非對稱NES系統頂層位移均方根以及各控制系統與鎖住系統的響應比值對比,如表2所示。表2的最后一列為非對稱NES系統和TMD系統的響應比值。為了對各控制系統的減震效果進行對比分析，把7條地震作用下各控制系統與鎖住系統響應比值的平均值稱為各控制系統的平均響應比。在大多數地震作用下，3個控制系統中一型NES系統響應最大，平均響應比為71.81%；TMD系統的響應最小，平均響應比為53.54%；非對稱NES的整體減震效果與TMD接近，平均響應比為57.89%，超過TMD約5%。由于地震能量各不相同，此時各控制系統的減震效果與其能量魯棒性相關，其中一型NES的非線性過強，受輸入能量影響較大，因此減震性能不穩定；而非對稱NES的恢復力具有線性成分，能夠使質量塊的振動頻率保持在主體結構頻率附近，控制性能接近完全線性的TMD。各控制系統與鎖住系統頂層位移峰值比值，可得到與均方根分析相似的結論,如圖11所示。以3號地震為例，圖12對比了該地震作用下各系統的頂層位移響應，從時程變化也可看出，非對稱NES與TMD的控制效果相當，優于一型NES。

表2 原頻率時頂層位移均方根

圖11 原頻率時頂層位移峰值對比

圖12 3號地震作用下結構位移響應

結構頻率下降25%時(模擬結構發生損傷)鎖住系統、TMD系統和非對稱NES系統的頂層位移RMS，兩個控制系統與鎖住系統的響應比，以及非對稱NES系統與TMD系統的響應比,如表3所示。由于一型NES在結構頻率不變時減震效果較差，不建議使用，此處未對一型NES進行考察。根據表3可知，在所有的情況下非對稱NES均優于TMD。由于TMD與主體結構不再調諧，其控制能力退化嚴重，平均響應比達到81.29%。而非對稱NES的控制性能受頻率變化的影響較小，平均響應比仍保持在63.44%的較低水平，平均響應比僅為TMD系統的78.47%。通過頂層位移峰值比值亦可得出此時非對稱NES控制性能最優的結論,如圖13所示。同樣以3號地震為例，圖14對比了主體結構頻率改變時各系統的頂層位移響應。綜合以上討論，非對稱NES在輸入能量和主體結構頻率變化時均具有較好的減震效果，是一種優化的新型控制方法。

表3 變頻率時頂層位移均方根

圖13 變頻率時頂層位移峰值對比

圖14 頻率改變時3號地震作用下結構位移響應

4 結 論

本文提出了一種新型結構控制裝置——非對稱NES。非對稱NES通過在一型NES的基礎上增設線性彈簧構建而成，所得恢復力在正負方向上變化規律不同，兼備線性和非線性特點。在某縮尺3層鋼框架結構上附加非對稱NES進行試驗研究，非對稱NES在不同結構上均具有良好的控制性能，展現出較強的頻率魯棒性。使用經試驗驗證的數值模型，在脈沖型荷載和地震作用下考察某6層主體結構分別附加非對稱NES、TMD和一型NES的響應，并分析了輸入能量大小和主體結構頻率變化對各裝置控制性能的影響。結果表明，在理想條件下，非對稱NES具有和TMD和一型NES相當的減振性能；保持原始結構頻率不變而荷載輸入能量發生變化時，非對稱NES控制性能與TMD相當，且在結構頻率發生變化時，仍然保持良好的控制效果，是一種兼備頻率魯棒性和能量魯棒性的新型控制方法。