彈性支撐模型對火箭發射過程結構振動響應影響研究

趙振軍， 臧雨晴， 李 強， 史曉軍

(1.北方工業大學 機械與材料工程學院，北京 100144; 2.中國空氣動力研究與發展中心 高速空氣動力研究所，四川 綿陽 621000)

冷彈射固體火箭由裝在發射筒底部的燃氣動力裝置產生高溫高壓氣體，將火箭彈射出筒。為了防止固體火箭與發射筒內壁接觸引起較大沖擊，在火箭與發射筒內壁之間安裝彈性支撐，起到緩沖減振作用[1]。火箭在發射出筒過程中，與彈性支撐產生復雜的相互作用，同時受到發射筒外復雜流體作用[2]，引起橫向振動響應[3]。

國內外學者對火箭發射動力學問題開展了研究。Laughlin等[4]介紹了火箭發射裝置的組成、特點和設計參數。趙世平等[5]、李代金等[6]分別基于導彈發射動力學方程研究了艇速、彈性支撐剛度對水下垂直發射導彈在橫向流作用下的受力和出筒運動參數的影響。尚書聰等[7]基于建立的潛射導彈發射動力學模型，比較了不同艇速不同彈性支撐方式導彈出筒動力學特性。孫船斌等[8]建立了導彈在出筒過程的動力學模型，考慮了導彈在發射平臺坐標系下的橫向振動，研究了彈性支撐剛度、軸向尺寸和筒內分布對導彈整體橫向振動特性、截面受力以及出筒姿態的影響。Liu等[9]建立了彈性支撐作用下地空導彈發射動力學模型，研究了彈性支撐分布對導彈俯仰角速度的影響。盧丙舉等[10-11]基于建立的潛空導彈水下垂直發射橫向動力學模型和出筒過程載荷計算方法，研究了潛空導彈垂直發射出筒過程中，航速、彈性支撐剛度等發射條件對彈性支撐的受載情況及壓縮量、出筒姿態的影響。

以上研究主要關注彈性支撐對飛行器發射過程中剛體運動的影響，不考慮箭體彈性響應對水下發射動力學的影響。Cochran等[12-13]建立了導彈發射系統動力學模型，利用模態和有限元描述結構變形，并開發了導彈發射系統動力學程序，通過剛柔耦合系統仿真研究了結構變形對導彈發射系統的動力學的影響。趙振軍等[14]利用Lagrange方程推導了水下運載器發射動力學方程，研究了彈性墊數量、剛度、位置等參數對運載器彈性振動的影響。王亮等[15]基于剛體動力學方程與模態坐標描述的振動方程建立了導彈傾斜發射動力學模型，研究了導彈質量特性參數和發射角度對動力學和彈性響應的影響。

多體系統動力學能夠方便的描述剛體構件和彈性構件之間的約束、接觸等復雜關系，為發射系統動力學建模仿真提供了強有力的工具。魏洪亮等[16]利用ADAMS軟件建立考慮水下航行體的彈性特性以及航行體與發射筒之間接觸、摩擦作用的剛柔耦合模型，實現了航行體水下垂直發射動力學仿真分析研究了航行體姿態和結構內力變化規律。Wang等[17]利用多體系統動力學方法，建立了車載導彈系統的多剛柔體發射動力學模型，研究了車載導彈系統的動力學特性。馬彥會等[18]采用非線性彈簧阻尼器來模擬彈性支撐，基于清華大學多體動力學求解器建立了細長結構與彈性支撐多體動力學模型，用于基礎沖擊引起的結構響應分析。上述工作為本文建模方法研究提供重要參考。

本文利用多體動力學建立包含火箭、發射筒、彈性支撐在內的發射動力學模型，通過發射過程中彈性支撐與火箭結構的相互作用過程分析，對彈性支撐模型進行修改完善，力圖反映彈性支撐與火箭結構的相互作用機制，將修改后的彈性支撐模型引入到發射系統多體動力學模型中，通過求解不同彈性支撐模型情況下火箭發射過程結構振動響應，分析彈性支撐模型細化的合理性，實現火箭發射過程結構響應的準確評估，為火箭結構設計提供技術支撐。

1 發射過程中彈性支撐與火箭結構的相互作用

考慮如圖1所示火箭發射情況，火箭在出筒過程中與各道彈性支撐的接觸關系不斷發生變化，約束關系不斷發生變化。T1時刻，火箭為待發射狀態，由于錐形整流罩直徑相對較小，火箭與第4～第8道彈性支撐接觸，與第1～第3道彈性支撐不接觸。T2時刻，第8道彈性支撐有一半與火箭接觸，因此第8道彈性支撐的支撐剛度與初始狀態相比會減小，錐柱連接面處與第3道彈性支撐接觸，此后第3道彈性支撐的支撐剛度會逐漸增加。T3時刻，火箭尾部與第8道彈性支撐脫離，然后逐道脫離第2～第7道彈性支撐，會激起火箭的彈性振動響應。T4時刻，火箭尾部只與第1道彈性支撐支撐，此后支撐剛度逐漸減小至T5時刻，尾部與第1道彈性支撐完全脫離，彈性支撐支反力為零，火箭結構彈性振動振幅增大。

圖1 出筒特征狀態火箭與各道彈性支撐的接觸關系

可見，準確描述出筒過程火箭與各道彈性支撐的接觸關系，是準確計算火箭動響應的前提。

2 彈性支撐作用下火箭發射多體動力學建模

2.1 建模思路

火箭發射系統主要包括火箭結構、發射筒、彈性支撐、燃氣動力裝置。基于多體動力學方法，對火箭發射系統進行力學建模，如圖2所示，主要簡化處理如下：

(1) 火箭結構為細長分支結構，由主結構與內分支結構組成，主結構如圖2火箭結構模型中黑色矩形所示，主要描述整流罩和發動機等與外界流體接觸的結構，內分支如圖2火箭結構模型中虛線矩形所示，主要描述整流罩內部的載荷結構，采用有限段法將火箭主結構和內分支結構處理為由有限段梁單元連接的多剛體系統[19]，描述火箭結構的運動和變形，在主結構和內分支結構連接處剛度變化較大，利用Hooke絞和扭簧建模。

圖2 火箭發射系統多體動力學模型

(2) 發射筒與彈性支撐相比剛度較高，忽略發射筒的變形，簡化為剛體。

(3) 彈性支撐簡化成非線性彈簧元件，一端與發射筒剛體模型固定連接，另一端與火箭多剛體-梁模型存在接觸關系。

(4) 燃氣動力裝置產生的燃氣作用簡化成底部速度約束。

(5) 發射過程中受到的環境外力簡化為沿彈長方向的時變分布力。

2.2 火箭結構建模

根據火箭結構的尺寸變化和各段之間的連接關系將其離散成多個剛體，剛體的位置和姿態可以通過其質心的平動坐標ri和Euler四元數λi來表示

(1)

Euler四元數不獨立，滿足歸一化約束條件

(2)

火箭結構模型離散的剛體由有限段梁[20]連接，如圖3所示，Ci和Cj是兩個相鄰剛體的質心，也是有限段梁單元的結點，sij是從Oj到Oi的矢量，Oifigihi和Ojfjgjhj是固連在剛體i和剛體j上的局部坐標系。根據Timoshenko梁理論，廣義線性彈簧力Fb,i和力矩τb,i與兩個剛體相對位移之間的關系如下

圖3 有限段梁示意圖

(3)

式中:Δr和Δθ分別為Oifigihi相對于Ojfjgjhj的平動位移和轉動位移；剛度矩陣K可以定義為

(4)

利用Euler 四元數變分與虛轉動的關系[21]

δθ=2Giδλi-2Gjδλj

(5)

這里

(6)

Gj形式與Gi相同。根據虛功原理，可推導有限段梁對應的廣義力

Fb,j=-Fb,i

(7)

在結構剛度變化較大的連接面，相鄰兩剛體通過Hooke絞約束連接，如圖4所示，釋放的兩個轉動自由度通過扭簧模型提供抗彎剛度。

(8)

式中：si、sj分別為從兩體質心到Hooke絞約束點H的矢量；fi為與剛體i固連坐標系Oifigihi的fi軸單位矢量；gj為與剛體j固連坐標系Ojfjgjhj的gj軸單位矢量，如圖4所示。

圖4 Hooke絞示意圖

所有約束方程可以用統一的形式表示

Φk(r1,λ1,r2,λ2,…,rnb,λnb,t)=0

(9)

式中：nb為系統剛體單元數，下標b為剛體；k=1,…,nc，nc為約束方程數，下標c為約束。扭簧對應的廣義力為

(10)

2.3 彈性支撐模型

彈性支撐沿發射筒內壁周向連續分布，為方便建模，將各道彈性支撐簡化為4個象限上的非線性彈簧元件。如圖5所示，在OXY平面，考慮第i個剛體與第j道彈性支撐相互作用，作用點為P，彈性支撐力Fe,Yj與P點的壓縮量有關，如第i個剛體繞Z軸轉角為θi，質心Ci的Y向位移為yi，可推導P點的壓縮量為

δi=yi+si·fisinθi+R(1-cosθi)

(11)

式中：si為Ci點到P點的矢量;R為火箭半徑。

彈性支撐支反力Fe,Yj與壓縮量δi關系由實際測試得到，呈非線性特征，如圖6所示。同時考慮彈性支撐與結構之間的接觸關系，即當彈性支撐與火箭結構外表面接觸受壓時產生支反力Fe,Yj與摩擦力Fe,Xj

圖6 彈性支撐剛度曲線

Fe,Xj=μFe,Yj

(12)

(13)

式中:rP、rBi、rDi分別為P、Bi、Di在全局坐標系下的矢量;i為全局坐標系X向單位矢量。

根據虛功原理可以得到第j道彈性支撐作用于第i個剛體上的廣義力分別為

(14)

2.4 環境外力輸入

火箭發射時根據不同的發射環境受到環境外力作用，車載火箭、艦載火箭、艇載火箭由于風速、流速以及發射平臺自身移動速度等因素影響會產生流體作用力，本文利用工程中常用的切片法進行描述，火箭受到的流體動力簡化為沿火箭軸線分布的法向力和軸向力

(15)

(16)

環境外力對應的廣義力為

(17)

2.5 系統的控制方程

利用第一類Lagrange方程[22]，系統動力學方程可以寫成

(18)

這里

(10)

式中：mi為第i個剛體的質量矩陣；Ii為第i個剛體的慣性矩陣；T為多體系統動能，T,λi為動能對第i個剛體四元數的Jacobian矩陣；Φk,xi和Φk,λi分別為約束方程對第i個剛體的平動和四元數坐標的Jacobian矩陣；Fi為作用于第i個剛體的質心的主矢；τi為作用于第i個剛體的主矩；nb為剛體數，有限段梁的慣性由剛體的質量陣mi和轉動慣量矩陣Ii提供。每個剛體的動力學方程通過Lagrange乘子σk和約束方程的Jacobian矩陣Φk,qi聯系在一起。

Fi=Fg,i+Fb,i+Fe,i+Ff,i

(19)

τi=τb,i+τe,i+τf,i+τs,i

(20)

式中，Fg,i為重力矢量。

方程組是一個典型的微分代數方程組，可用隱式向后差分法進行求解[23]。

3 彈性支撐模型修正

為了研究火箭殼體與彈性支撐接觸面積變化對支撐剛度影響，利用ANSYS/LS-DYNA軟件建立火箭殼體與彈性支撐局部有限元模型，如圖7所示，彈性支撐利用實體單元建模，火箭殼體采用殼單元建模，分別給定不同的接觸面積，彈性支撐外側施加固支邊界條件，彈性支承內側與殼體設置面-面接觸，殼體施加X向和Z向平動約束，以保證單向加載，施加Y向力從0增加到130 kN，如圖8所示。

圖7 火箭殼體與彈性支撐有限元模型

圖8 火箭殼體與彈性支撐邊界條件

殼體材料按鋁材料特性給出，彈性支承按橡膠材料特性給出，采用Mooney-Revlin非線彈性本構模型[24]，其中材料參數C01、C10由圖6材料曲線擬合[25]得到C01=340.5 kPa、C10=-110.9 kPa。通過有限元計算，獲得不同的接觸面積情況下彈性支撐受正壓處變形量與加載外力之間的關系，見圖9，在此基礎上，通過線性擬合，可以辨識不同接觸面積情況下彈性支撐剛度變化，見圖10實線。彈性支撐利用線彈性材料本構模型描述，重復上述步驟，同樣可以得到不同的接觸面積情況下彈性支撐剛度變化，見圖10短劃線虛線，與采用Mooney-Revlin模型得到的規律基本一致，接觸面積小于總面積的75%時，采用Mooney-Revlin模型時接觸面積變化對彈性支撐剛度影響更大一些，而接觸面積大于總面積的75%時，采用線彈性模型時接觸面積變化對彈性支撐剛度影響更大一些。

圖9 不同接觸面積彈性支撐變形量與加載力之間的關系

(21)

式中:we為彈性支撐寬度;fs為由圖10數據構建的插值函數，可根據接觸面積比例，確定彈性支撐剛度，式中6種情況分別表示第i個剛體與第j道彈性支撐之間不同的相對位置關系，如圖11所示。

圖11 式(21)對應的6種情況

4 結果分析與討論

利用附錄A中給出的質量和結構參數，建立火箭、彈性支撐組成的發射系統多體動力學模型，在此基礎上，對火箭發射過程開展仿真分析，見圖12，獲得了特征面彎矩響應如圖13和14所示。主結構特征截面彎矩在0.95 s以前，起作用的彈性支撐較多，振動響應相對較小，0.95 s后，只有4道彈性支撐起作用，如圖12所示，振動響應則變大，內分支結構也是如此。在1.175 s，火箭底部通過發射筒口，主結構還受到流體外力作用，在流體外力與彈體變形共同作用下產生彎矩響應。而內分支不受到流體外力作用，由彈體變形引起的主結構與內分支連接面基礎激勵產生彎矩響應。與彈性支撐模型改進前相比，改進后，結構彎矩響應變小，主結構截面彎矩峰值減小45%左右，內分支截面彎矩峰值減小40%以上，見表1、圖13和圖14，而基于線彈性和非線彈性材料進行改進，計算的彎矩響應相差不大，可見利用線彈性材料獲得的規律也可滿足彈性支撐與接觸面積影響分析要求。

圖12 火箭發射過程多體動力學仿真(0.95 s)

表1 彈性支撐模型改進前后的主特征截面彎矩變化

圖13 彈性支撐模型改進前后的主結構特征截面彎矩

圖14 彈性支撐模型改進前后的內分支特征截面彎矩

圖15給出了火箭發射過程中彈性支撐支反力的時間歷程，火箭出筒過程中，尾部逐漸與彈性支撐脫離，各道彈性支撐支反力變為零，支反力的突變是激起火箭結構振動響應的重要因素，本文的主要目的是通過改進彈性支撐模型準確描述支反力的突變，進而準確計算火箭結構振動響應。圖16給出了彈性支撐模型改進前后第3道、第5道彈性支撐支反力的變化對比，可見:改進前，彈性支撐支反力在某一時刻直接為零;而改進后，彈性支撐支反力逐漸變為零，體現了火箭尾部結構脫離彈性支撐過程中接觸面積逐漸變化到零的物理過程。

圖15 彈性支撐模型改進前彈性支撐支反力時間歷程

圖16 彈性支撐模型改進前后彈性支撐支反力時間歷程

從傅里葉譜來看，如圖17所示，彈性支撐模型改進前后的支反力頻譜特性存在不同，在小于1.3 Hz內改進后支反力傅里葉譜幅值高于改進前，在大于1.3 Hz內改進后支反力傅里葉譜幅值低于改進前，彈性支撐模型改進后支反力低頻成分相對增加，高頻成分相對減小。

圖17 彈性支撐模型改進前后彈性支撐支反力傅里葉譜

上述分析主要從彈性支撐的角度來分析每道彈性支撐的支反力，而從火箭結構角度來看，以尾部剛體以及與尾部相鄰剛體為例，圖18和圖19給出了尾部剛體以及與尾部相鄰剛體受到的支反力時間歷程。圖18給出結果是彈性支撐模型改進前，可見，隨著火箭運動，尾部剛體上受到的支反力由于接觸關系變化直接過渡到相鄰剛體單元上。圖19給出結果是彈性支撐模型改進后情況，隨著火箭運動，尾部剛體上受到的支反力并未直接過渡到相鄰剛體單元上，而是存在尾部剛體支反力逐漸減小，相鄰剛體支反力逐漸增加，最終過渡到相鄰剛體上的過程。圖18和圖19反映的支反力特性差異也是圖13和圖14中彈性支撐模型改進前后彎矩響應存在差異的原因。

圖18 彈性支撐模型改進前作用在火箭底端結構的彈性支撐支反力時間歷程

圖19 彈性支撐模型改進后作用在火箭底端結構的彈性支撐支反力時間歷程

通過增加火箭分段剛體數量，考察火箭動力學模型對上述彈性支撐模型改進對載荷影響規律的適應性，增加火箭分段剛體數量前后火箭模型一階振型和二階振型如圖20和圖21所示。對比彈性支撐模型改進前后結構彎矩響應峰值減小量，如圖22和圖23所示，主結構特征截面彎矩峰值和內分支特征截面彎矩峰值均明顯減小，達到30%以上。

(a) 增加火箭模型分段前(頻率：22.68 Hz；放大因子：40)

(a) 增加火箭模型分段前(頻率：55.03 Hz；放大因子：40)

圖22 彈性支撐模型改進前后的細化模型主結構特征截面彎矩

圖23 彈性支撐模型改進前后的細化模型內分支特征截面彎矩

可見，增加火箭分段剛體數量情況下，通過本文彈性支撐模型改進方法可以使得結構彎矩響應峰值減小，而減小的量值受火箭模型分段數量等影響而存在一定差異， 一方面，由圖21可知，增加火箭分段剛體數量后二階模態振型存在一定變化;另一方面，分段數量增加，每個分段軸向長度減小，由式(21)會影響接觸判斷。在火箭發射過程設計中，應盡量增加分段數量并根據模態試驗結果確定準確的模型動力學參數，為獲得準確的結構振動響應提供基礎。

5 結 論

本文綜合利用多體動力學和有限元方法建立火箭發射系統動力學模型，改進彈性支撐動力學模型，分析了火箭發射過程結構振動響應以及支反力變化，主要結論如下：

(1) 利用多體動力學建立包含火箭、發射筒、彈性支撐在內的發射動力學模型，可以計算火箭發射過程中的結構振動響應和彈性支撐支反力時間歷程，為彈性支撐模型影響仿真分析提供基礎。

(2) 利用ANSYS/LS-DYNA建立的彈性支撐與殼體局部有限元模型，分析了火箭殼體與彈性支撐接觸面積變化對支撐剛度影響規律，在此基礎上，提出了用于火箭發射多體動力學建模的彈性支撐改進模型，能夠體現火箭尾部結構脫離彈性支撐過程中接觸面積逐漸變化到零的物理過程，可以準確描述支反力的變化。

(3) 通過仿真獲得的結構振動響應和彈性支撐支反力時間歷程，分析了彈性支撐模型改進對結構振動響應的影響，從彈性支撐和火箭結構兩個角度，分析了彈性支撐模型改進前后支反力差異產生的原因。與彈性支撐模型改進前相比，改進后結構彎矩響應峰值顯著減小，減小的具體量級受到火箭模型等因素影響而存在一定差異，對于火箭結構精細化設計具有一定意義，改進后彈性支撐模型準確描述火箭尾部結構脫離彈性支撐過程中接觸面積逐漸變化到零的物理過程，反映了火箭模型剛體單元受到的支反力隨著火箭運動逐漸過渡到相鄰剛體單元的過程。

(4) 在彈性支撐與殼體局部有限元模型中，彈性支承分別采用Mooney-Revlin非線彈性本構模型和線彈性材料本構模型，采用兩種模型得到的接觸面積變化對彈性支撐剛度規律基本一致。發射過程多體動力學仿真結果表明，利用兩種材料模型對彈性支撐模型改進，對結構振動響應影響不大，利用線彈性材料獲得的規律也可以滿足彈性支撐與接觸面積影響分析要求。

致謝

感謝清華大學任革學教授在多體動力學求解器(INSIDES)上作出的長期努力，為本文的研究提供了計算程序基礎。

附錄A

表A1給出供建模用的剛體質量參數，其中Y坐標和Z坐標均為0，轉動慣量Iz與Iy相等。

表A.1 剛體模型參數

表A2給出供建模用的梁模型參數，材料為鋁合金，殼體等效厚度按50 mm。

表A.2 梁模型參數

彈性支撐從發射筒口到底部共8道，寬度0.5 m，厚度0.05 m，第1道上端與發射筒口平齊，等間隔0.5 m排列，剛度如圖6給出。剛體3與剛體28之間通過Hooke絞和扭簧連接，扭簧剛度1×105kN·m/rad。