平行導線間軸向運動導電梁主-內聯合共振

李曉靚， 胡宇達

(1．燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2．燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

軸向運動體系在工程實際中廣泛存在，從纜車繩索、傳輸帶和高速鋸片到柔性航天器、柔性機械臂和坦克履帶，軸向運動體系都發揮著巨大作用。某些系統結構的非線性聯合共振問題已有不少學者對其進行了研究。陳貴清等[1-2]研究了電磁作用影響下水電機組和電機軸承轉子系統的參強聯合共振問題。姜源等[3]研究了分數階van der Pol振子的超諧與亞諧聯合共振。李航等[4]研究了Duffing系統的主-亞諧聯合共振。文獻[5]對內外共振聯合作用下索-梁組合結構非線性振動進行了分析。唐有綺等[6]對面內平動黏彈性板非線性振動的內-外聯合共振進行了研究。軸向運動結構也逐漸被廣泛地應用在航空航天、重型機械等重要領域。對軸向運動結構的非線性聯合共振問題的研究也日漸增多，文獻[7]采用數值模擬的方法研究了黏彈性軸向運動梁的參、內聯合共振，著重分析了黏彈性系數和黏彈性阻尼系數對系統動態行為的影響。馮志華等[8-10]研究了直線運動柔性梁主參數共振與內共振聯合激勵及組合參數共振與內共振聯合激勵的非線性動力學。黃建亮等[11-12]研究了軸向運動體系的橫向非線性振動的聯合共振以及外激勵力作用下的軸向運動梁非線性振動的聯合共振。有些軸向運動系統經常在電磁場環境中工作，在電磁場環境中工作的軸向運動結構因為受到電、磁、力等多種因素的作用，而表現出復雜的耦合動力學行為，或將直接影響系統運動的安全性與可靠性。所以電磁固體結構在多物理場耦合作用下的動力學行為也引起了國內外學者的廣泛關注。Hu等[13-16]對軸向運動結構在磁場環境下的聯合共振問題也進行了探索，研究了磁場作用下軸向運動結構的非線性聯合共振，有主-內、參-強、參-主等聯合共振。文獻[17]將速度和拉力兩項系統內部參數設成周期性改變的形式，分析載流梁的參數-強迫聯合共振。從現有文獻來看，目前在磁彈性領域和軸向運動體系領域都有很多相關聯合共振研究。若同時考慮磁彈性效應和軸向運動條件，對平行導線產生的磁場環境中軸向運動導電梁的主-內聯合共振問題研究仍不多見，具有較大的研究價值。

本文針對軸向運動導電梁在平行導線產生的磁場環境中的主-內聯合共振問題進行研究。考慮導線的載流值和距離位置的影響因素，推得軸向運動導電梁發生一階和二階主-內聯合共振時的近似解析解和幅頻響應方程，給出共振振幅隨頻率調諧參數、外激勵力、軸向速度、電流強度等參數的變化曲線，分析不同參量對多場系統共振的多解性及內共振耦合特征的影響規律。

1 軸向運動導電梁磁彈性非線性振動方程

在兩平行載流導線產生的磁場環境中的導電梁力學模型,如圖1所示。梁沿x方向以速度c做軸向運動，并受到均布軸向拉力F0x及均布橫向載荷Pz作用。梁長為l，高為h，寬為b，梁的彈性模量為E，質量密度為ρ。

圖1 平行導線間的導電梁模型

圖1中兩條導線在導電梁處產生的疊加磁感應強度為B0=[0,B0y,0]，由電磁場基本理論可知

(1)

式中:當兩導線通入電流相同方向時取“-”，相反方向時取“+”;i1與i2為電流強度值;w(x,t)為梁的橫向位移;d1與d2為導線與梁之間的距離;μ0為真空磁導率。

軸向運動梁的總動能

(2)

式中：t為時間變量;A=b×h為梁的截面積。

梁的總勢能

(3)

根據電磁場基本理論可以得到洛倫茲力分量及力矩為

(4)

(5)

根據哈密頓原理，考慮施加均布載荷Pz=f0×cos(ω0t)，導電梁不通電，兩條導線通入電流i1與i2同向，電流值項用泰勒級數展開，略去三次以上的高階項，經整理得到導電梁在平行導線產生的磁場環境下的非線性磁彈性振動方程

(6)

2 應用多尺度法求解主-內聯合共振方程

對于一端夾支一端鉸支的軸向運動導電梁，邊界條件為

(7)

設滿足邊界條件的位移解為

(8)

將式(8)代入式(6)，采用伽遼金積分法，得到梁的橫向振動微分方程組。經過無量綱化處理，并在振動微分方程的等號右側引入小參數ε化簡整理得到

引入不同的時間尺度T0=τ、T1=ετ則一階近似解可表示為

q1(τ,ε)=q11(T0,T1)+εq12(T0,T1)

(11)

q2(τ,ε)=q21(T0,T1)+εq22(T0,T1)

(12)

將式(11)、式(12)代入式(9)、式(10)后展開，令ε的同次冪項系數相等，可得到：

關于ε0的近似方程

(13)

(14)

關于ε1的近似方程

h12q11D0q21-h12q21D0q11-h21q21D0q21-

2m41q21q11D0q21+2f3cosΩ0τ

(15)

2m42q21q11D0q21+2f4cosΩ0τ

(16)

設式(13)、式(14)的通解形式為

(17)

(18)

2.1 一階主-內聯合共振(Ω0≈g1)

若所研究力學模型的一階模態固有頻率與二階模態固有頻率之間的關系滿足g2≈3g1的情形，即存在1∶3內共振現象。對于一端夾支一端鉸支這種邊界條件的梁，其一階模態固有頻率與二階模態固有頻率是近似3倍關系。本系統通過適當調節導電梁的軸向速度及軸向力的大小達到發生1∶3內共振的條件。當無量綱外激勵的頻率接近于一階模態固有頻率時，即Ω0≈g1，此時系統會發生一階主-內聯合共振，為了定量表示g2與3g1的接近關系以及外激勵頻率Ω0與系統一階模態固有頻率g1之間的接近關系，我們按下式引進頻率調諧參數σ1、σ2

g2=3g1+εσ1,Ω0=g1+εσ2

(19)

將式(17)、式(18)代入式(15)、式(16)后，為避免久期項出現，必須令A滿足

(20)

(21)

對式(20)、式(21)求解時，復函數An寫成如下指數形式

(22)

將式(22)代入久期項條件式(20)和式(21)，令γ1=β2-3β1+σ1T1，γ2=σ2T1-β1，根據歐拉公式并且分離實部虛部可以得到

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

2.2 二階主-內聯合共振(Ω0≈g2)

當外激勵頻率接近于g2時，系統會發生二階主-內聯合共振，此時令

g2=3g1+εσ1,Ω0=g2+εσ2

(29)

為避免久期項出現，必須令A滿足

(30)

(31)

將式(22)代入式(30)、式(31)，經過處理，最終得到二階主-內聯合共振的幅頻響應方程

(32)

(33)

3 穩定性分析

通過研究式(23)～式(26)奇點的性態分析系統穩態運動的穩定性，設

(34)

式中：a10、a20、γ10、γ20為穩態運動下的穩態解；a11、a21、γ11、γ21為小的擾動量。

將式(34)代入式(23)～式(26)，并關于a11、a21、γ11、γ21展開，這里a10、a20、γ10、γ20滿足式(27)～式(28)，保留a11、a21、γ11、γ21線性項，最終得到線性化方程組

(37)

線性化后的Jacobian矩陣為

(39)

通過式(39)特征根的性狀來判定系統發生一階主-內聯合共振時穩態運動的穩定性，即若其特征根全部具有負實部，則系統穩定；若其特征根具有正實部，則系統就不穩定；若其特征根至少存在一對純虛根，則系統可能會出現Hopf分岔。同理可得二階主-內聯合共振時系統的Jacobian矩陣為

(40)

同理系統發生二階主-內聯合共振時穩態運動的穩定性可通過式(40)特征根的性狀來判定。

4 算例分析

以銅制材料梁為例進行分析，主要參數：梁長l=0.3 m，矩形截面寬b=0.01 m，高h=0.02 m，材料電導率σ0=5.714 2×107Ω-1·m-1，密度ρ=8 920 kg/m3，彈性模量E=108 GPa，真空磁導率μ0=4π×10-7H/m。利用MATLAB軟件編寫程序對式(27)、式(28)和式(32)、式(33)進行計算得到系統一階、二階主-內聯合共振前兩階模態的幅頻響應。圖2～圖3給出不同軸向速度響應幅值與頻率調諧參數關系曲線。圖4～圖5給出不同調諧參數響應幅值與軸向速度關系曲線。圖6～圖7給出不同調諧參數響應幅值與外激勵力關系曲線。圖8～圖9給出不同調諧參數響應幅值與電流強度關系曲線。

4.1 振幅與頻率調諧參數關系曲線

當Ω0=g1+εσ2時，給定參數F0x=3 000 N，d1=0.04 m，d2=0.03 m，i1=500 A，i2=500 A，f0=3 000 N/m，軸向速度分別取c=5 m/s，c=45 m/s，c=85 m/s，圖2繪制了一階共振不同軸向速度下幅值a1、a2隨調諧參數εσ2變化的曲線圖。當Ω0=g2+εσ2時，取與一階共振相同系統參數，圖3給出二階共振幅值a1、a2隨調諧參數εσ2變化的曲線圖。表1、表2分別列出了與圖2、圖3對應的不同軸向速度下幅值a1、a2穩態解的個數及相應的調諧參數的取值范圍。由圖2及表1可以看出一階共振時隨著軸向速度的增加，a1、a2穩態解個數都按1-3-5-7-5-7-5-3規律同步變化，由圖3及表2可以看出隨著軸向速度的增加，共振主架曲線呈明顯的擴張趨勢，軸向速度變化到一定值后，穩態解個數由2-4-6-8-6-4-6同步變化為4-6-8-10-8-6-8-6。由此可見，無論是一階共振還是二階共振，前兩階模態都是同步被激發，二階響應幅值小于一階，且隨著軸向速度的改變，幅值a1、a2穩態解個數都是同步變化，但相同數目的穩態解所對應的頻率范圍發生變化。同一軸向速度a1與a2的穩態解個數都相同，且對應相同頻率范圍。相同規律在改變外激勵力及改變電流強度時也符合。

(a) c=5 m/s

表1 一階共振幅值a1、a2穩態解的個數

(a) c=5 m/s

表2 二階共振幅值a1、a2穩態解的個數

4.2 振幅與軸向速度關系曲線

圖4、圖5給出了一階、二階主-內聯合共振時不同調諧參數下振幅隨軸向速度的變化曲線。給定參數F0x=3 000 N，d1=0.04 m，d2=0.03 m，i1=500 A，i2=500 A，f0=3 000 N/m，求解出幅值與軸向速度的變化規律。圖4可以看出一階共振時，幅值a1、a2與軸向速度的關系，從單值對應過渡到多值對應，與調諧參數的選取有關。圖5可以看出二階共振時，幅值a1、a2與軸向速度的關系都是多值對應，但是隨著調諧參數選取的改變，穩態解個數發生變化。當εσ2=-0.2時，只有軸向速度達到臨界值c=40 m/s時一階、二階模態才能被激發，而且也是同步激發。

(a) εσ2=-0.2

(a) εσ2=-0.2

4.3 振幅與外激勵力關系曲線

圖6、圖7給出了一階、二階主-內聯合共振時不同調諧參數下振幅隨外激勵力的變化曲線。給定參數F0x=3 000 N，d1=0.04 m，d2=0.03 m，i1=500 A，i2=500 A，c=45 m/s，求解出幅值與外激勵力的變化規律。圖6可以看出一階共振時，較小的外激勵力即可激發系統的共振現象，幅值a1、a2與外激勵力的關系，都是從單調增加過渡到多值對應。單值還是多值與調諧參數有關。圖7可以看出二階共振時，幅值a1、a2與外激勵力的關系都是多值對應，調諧參數的改變會導致穩態解的個數發生變化。當εσ2=-0.2時，激勵力增加到f0=4 000 N/m后就不再引起共振。這一特殊現象可以通過調整外激勵力或者激勵頻率來控制共振發生。

(a) εσ2=-0.2

(a) εσ2=-0.2

4.4 振幅與電流強度關系曲線

圖8、圖9給出了一階、二階主-內共振時不同調諧參數下振幅與電流強度的變化曲線。給定參數F0x=3 000 N，d1=0.04 m，d2=0.03 m，i1=500 A，f0=3 000 N/m，c=45 m/s，求解出幅值與電流強度的變化規律。圖8可以看出一階共振時，幅值a1、a2與電流強度的關系，從單調減少過渡到多值對應。單值對應還是多值對應與調諧參數有關。圖9可以看出二階共振時，幅值a1、a2與電流強度的關系經歷兩值對應到多值對應，調諧參數的不同導致穩態解的個數不同。當εσ2=-0.2時，電流強度增加到8 200 A后就不再引起共振。當εσ2=0時，電流強度增加到11 200 A后就不再引起共振。當εσ2=0.2時，電流強度增加到12 600 A后就不再引起共振。這一特殊現象可以通過調整電流強度或者激勵頻率來控制共振。

(a) εσ2=-0.2

(a) εσ2=-0.2

4.5 數值求解動態響應

對所給算例，利用MATLAB對無量綱化的振動微分式(9)及式(10)進行數值求解。當發生一階主-內聯合共振時，給定參數F0x=3 000 N，d1=0.04 m，d2=0.03 m，i1=500 A，i2=500 A，f0=3 000 N/m，c=45 m/s，εσ2=0.02。圖10～圖11給出了系統前兩階振動模態的時程圖、相圖、龐加萊映射圖。圖10(a)～圖10(c)為一階響應，圖11(a)～圖11(c)為二階響應，由圖可見一階模態的相圖呈中心對稱多圈相套情形，Poincare映射為分布在一閉曲線上的點集，表現為概周期形式。而二階模態的相圖呈中心對稱多圈相套的不規則形狀，Poincare映射為帶有一定幾何形狀的散點集合，此時發生了混沌。

(a) 時程圖

(a) 時程圖

5 結 論

(1) 推得平行導線間軸向運動導電梁的主-內聯合共振近似解析解和幅頻響應方程，給出響應幅值隨頻率調諧參數、激勵力、軸向速度、電流強度等參數的變化規律。結果表明，二階模態的作用已不能忽略，其數值與一階模態在同一量級且是同步激發，即一階、二階幅值穩態解個數隨著軸向速度、激勵力、載流強度的改變，在相同頻率范圍內的變化特征是一致的。

(2) 響應幅值與外激勵力、軸向速度及電流強度的關系曲線呈現出單調對應與多值對應多種變化趨勢，并取決于頻率調諧參數的選取。對于二階主-內聯合共振，在特定頻率下，外激勵力增加到臨界值后就不再引起共振。軸向速度達到臨界值時才能引起共振現象的發生。不同調諧參數的選取也會引起導致共振發生的電流強度臨界值發生變化。利用這些特征，可以通過調整外激勵力、導電梁的軸向速度、導線通電電流的電流強度來控制主-內聯合共振。

附錄：文中式(9)、式(10)中部分參數

i=1,2；n=1,2。