浙教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析與思考

李慧琳 韓祥臨

摘? ? ? 要 以浙教版初中數(shù)學(xué)教材作為研究對象，采用文獻(xiàn)研究法和文本分析法，從數(shù)學(xué)史融入教材的“三大領(lǐng)域”、融入位置、融入方式三方面進(jìn)行分析，結(jié)果顯示浙教版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史在“三大領(lǐng)域”的分布失衡，且相差較大。因此對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材提出了均衡各領(lǐng)域的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，增加數(shù)學(xué)史在正文中的運(yùn)用，注重運(yùn)用重構(gòu)式的改進(jìn)建議。

關(guān) 鍵 詞 浙教版初中數(shù)學(xué)教材? 數(shù)學(xué)史? 分布領(lǐng)域? 教材改進(jìn)

引用格式 李慧琳，韓祥臨.浙教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析與思考[J].教學(xué)與管理，2022（04）：71-74.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)，教材可以適時地介紹知識的相關(guān)背景，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。美國數(shù)學(xué)史家克萊因在表述數(shù)學(xué)教育的核心思想時指出：數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。教材是課程內(nèi)容的重要載體，也是教師教學(xué)的主要依據(jù)，“講歷史，講思想，講文化”是教材編寫的指導(dǎo)思想之一[1]，因此研究數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史具有重要意義。

研讀現(xiàn)有的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)對于數(shù)學(xué)教材與數(shù)學(xué)史的研究主要集中在以下五個方面：一是對不同國家或地區(qū)的數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行維度劃分，基于比較研究法對各維度進(jìn)行對比研究;二是關(guān)于數(shù)學(xué)史如何更好地融入教材的理論探討與研究;三是教師對教材中的數(shù)學(xué)史的認(rèn)識和運(yùn)用程度的調(diào)查研究;四是對我國流行教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致的分類統(tǒng)計并分析;五是針對教材中某一個小的知識點(diǎn)如何融入數(shù)學(xué)史。研究對象以人教版和北師大版居多，對于浙教版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史研究甚少，故本文選取浙教版初中數(shù)學(xué)教材為研究對象，分析其數(shù)學(xué)史融入教材的現(xiàn)狀，以期為更好地改進(jìn)教材提供建議。

一、教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析

浙江教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材（2014年第3版）共六冊，對其中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容做了具體詳盡的統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果顯示六冊教材中共有數(shù)學(xué)史料54處。其中七年級教材共融入20個數(shù)學(xué)史料，內(nèi)容分別為數(shù)的由來和發(fā)展、中國古代在數(shù)發(fā)展方面的貢獻(xiàn)、編青銅上的確定數(shù)、印第安食物罐上的寬與高的比為■、神奇的？仔、數(shù)學(xué)中的符號、丟番圖、七巧板、對頂角的幾何證明、古代風(fēng)箏的骨架角度、地球有多大、“雞兔同籠”問題（31頁和38頁兩處）、盈不足問題、《九章算術(shù)》中的“方程”、古算題、面積割補(bǔ)、古希臘的欺騙性土地分配事件、完全平方公式以及楊輝三角與兩數(shù)和的乘方。八年級數(shù)學(xué)教材共有數(shù)學(xué)史料20處，內(nèi)容包含三角形內(nèi)角和180°、費(fèi)馬和他的猜想、古代藏寶地圖、溫特沃斯和史密斯在《平面幾何》中證明全等、泰勒斯判定三角形全等的方法、將軍飲馬、趙爽弦圖、《九章算術(shù)》題目、勾股定理的證明、從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展、巴比倫公元前梯子問題改編、誰將獲得最后一個小組出線名額、坐標(biāo)思想的由來、笛卡爾的故事、紙草書、歷史解一元二次方程的改編、韋達(dá)定理、一元二次方程發(fā)展小記、《幾何原本》第一卷命題 3以及《路邊苦李》故事。九年級教材中融入了14處數(shù)學(xué)史料，內(nèi)容包含數(shù)學(xué)家曾做的拋硬幣實驗、趙州橋的橋拱圓弧半徑、《幾何原本》第三卷命題20、拿破侖經(jīng)典題目“只用一個圓規(guī)把一個圓分成四等分”、美妙的鑲嵌、黃金分割、《蒙娜麗莎》人像符合黃金分割、古希臘帕特農(nóng)神廟、《九章算術(shù)》題目、《算經(jīng)海島》題目、圓周率、“趙爽弦圖”、日晷以及杜登尼的“蜘蛛和蒼蠅”問題。

總體來看，浙教版六冊教材中共有數(shù)學(xué)史料54處，其中七年級21處，八年級20處，九年級14處，每冊出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史數(shù)量依次為：9，11，14，6，10，4。雖然六冊教材都有融入數(shù)學(xué)史料，但集中在七上、七下和八上這三冊書，約占總體數(shù)學(xué)史數(shù)量的68%，而八下、九上和九下三冊書中的數(shù)學(xué)史約占總體數(shù)量的37%，說明編寫者注重在低年級的教材中融入更多的數(shù)學(xué)史料，這符合學(xué)生心理發(fā)展由具體到抽象的階段性特點(diǎn)。教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容十分廣博，包括中西方不同國家、不同領(lǐng)域、不同時期的內(nèi)容。

1.數(shù)學(xué)史在“三大領(lǐng)域”的分布

由表1可以看出，數(shù)學(xué)史分布在“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)量最多共有32處，約占總體的59%;在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的融入數(shù)量次之，共21處，約占比39%;而“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域僅有一處數(shù)學(xué)史融入，約占總體比重的2%，即為用頻率估計概率時給出了古代數(shù)學(xué)家擲硬幣的實驗數(shù)據(jù)。由此可見，數(shù)學(xué)史在“三大領(lǐng)域”中的分布嚴(yán)重失衡。產(chǎn)生這種現(xiàn)象與領(lǐng)域本身的知識特征有很大關(guān)系，“圖形與幾何”在歷史上的資料是很多的，數(shù)學(xué)家們對此的爭論也多，比如勾股定理的證法就有20多種[2]，故此領(lǐng)域可引入的數(shù)學(xué)史較多;“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的知識歷史研究比較困難，且浙教版初中數(shù)學(xué)教材有關(guān)“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容只有三章，導(dǎo)致教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容更少。

2.數(shù)學(xué)史融入的位置

從表2可以看出，教材中各個位置都有出現(xiàn)數(shù)學(xué)史料，但各個位置數(shù)學(xué)史料數(shù)量有一定差別，集中在閱讀材料、作業(yè)題、章節(jié)前、正文四個位置。其中閱讀理解的數(shù)學(xué)史料與作業(yè)題包含的數(shù)學(xué)史料數(shù)量相等，分別占總體的24%，如八年級上冊證明一節(jié)給出閱讀材料“費(fèi)馬和他的猜想”來充實說明在數(shù)學(xué)的發(fā)展中占有重要地位，七年級下冊關(guān)于二元一次方程的應(yīng)用直接給出我國古算題讓學(xué)生求解。章節(jié)前的數(shù)學(xué)史共有12處，約占總體的22%，如七年級上冊在近似數(shù)一節(jié)前介紹曾侯乙編鐘上的準(zhǔn)確數(shù)，八年級上冊勾股定理一節(jié)前介紹趙爽弦圖等。正文中的數(shù)學(xué)史料共有10處，占比為19%，例如七年級下冊乘法公式中的完全平方公式是歐幾里得首次在《幾何原本》中抽象出來的。設(shè)計題、課題學(xué)習(xí)和探究活動處分別有一處數(shù)學(xué)史。總體來看，數(shù)學(xué)史在教材中的分布比較寬泛，這說明編者注重將數(shù)學(xué)史穿插于教材的各處，以達(dá)到有物有則的效果。

3.數(shù)學(xué)史運(yùn)用的方式

汪曉勤在借鑒Tzanakis和Arcavi以及Jankvist研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，按照數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)程度，將數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式分成五類[3]：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。按照這五種方式將教材中運(yùn)用的數(shù)學(xué)史進(jìn)行分類統(tǒng)計，結(jié)果顯示這五種方式都有涉及（見表3）。浙教版數(shù)學(xué)教材運(yùn)用數(shù)學(xué)史最多的方式是附加式，約占總體的31%，如七年級上冊學(xué)習(xí)有理數(shù)時給出閱讀材料“中國古代在數(shù)發(fā)展方面的貢獻(xiàn)”。順應(yīng)式出現(xiàn)了15次，約占總體的28%，如七年級下冊二元一次方程組時給出根據(jù)古算題改編的盈不足問題。復(fù)制式出現(xiàn)了14次，占總體的26%，如九年級上冊的圓周角定理是直接引用《幾何原本》第三卷的命題來說明此定理。重構(gòu)式出現(xiàn)了7次，約占總體的13%。重構(gòu)式是指正文各欄目中借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識[4]，因此教材運(yùn)用重構(gòu)式的難度最大，運(yùn)用此方式的數(shù)量較少，如九年級下冊三角函數(shù)中使用劉徽的“割圓術(shù)”方法解決新的數(shù)學(xué)問題。點(diǎn)綴式只出現(xiàn)一次，即九年級上冊比例線段一節(jié)中展示帕特神農(nóng)廟建筑圖，用來反應(yīng)黃金分割率用于社會各個方面。

二、對教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容改進(jìn)的思考

1.開發(fā)資源，均衡各領(lǐng)域數(shù)學(xué)史內(nèi)容

“三大領(lǐng)域”作為義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，對于培育學(xué)生不同方面的數(shù)學(xué)能力起著舉足輕重的作用，而該教材中“數(shù)與代數(shù)”和“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)史內(nèi)容僅占總體的41%。因此，在教材編寫時應(yīng)進(jìn)一步挖掘這兩個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)史料，并將原始的數(shù)學(xué)史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)教育形態(tài)融入教材中，以促進(jìn)學(xué)生對知識的理解。

例如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的有理數(shù)運(yùn)算一節(jié)，可以在教材中引入《九章算術(shù)》中的有理數(shù)加法法則：“異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。”意思是（兩有理數(shù)相加）異號時（絕對值）相減（符號取絕對值較大者），同號（絕對值）相加（符號取其原來的符號），正數(shù)加零為正數(shù)（本身），負(fù)數(shù)加零為負(fù)數(shù)（本身）[5]。此法則與教材中法則意思相同，且對比教材中的敘述，此法則文字十分精煉，朗朗上口，學(xué)生樂于習(xí)誦。教師可以介紹中國是世界上最早系統(tǒng)總結(jié)出有理數(shù)四則運(yùn)算的國家，以及中國對于有理數(shù)運(yùn)算發(fā)展的貢獻(xiàn)等。這樣不僅使學(xué)生熟知了運(yùn)算法則，而且做到了弘揚(yáng)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，這是數(shù)學(xué)課程思政融入中學(xué)的有效途徑。

再如學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的中位數(shù)知識時，教材中可以展示這樣的故事：第一個可能使用中位數(shù)的例子出現(xiàn)在Edward Wright關(guān)于航海的著作中[6]。1599年，他在書中講解了在航行中如何用指南針確定輪船位置的方法。海浪的波動帶動輪船顛簸，導(dǎo)致即使同一時期在甲板上觀察指南針，得到的數(shù)據(jù)都會有很大的差異。為了盡可能保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，他把測得的觀察值按照大小順序列成表格，在此表格中，位于最中間位置的數(shù)據(jù)則是最可能接近真實值的數(shù)據(jù)。這時人們將中位數(shù)作為平均數(shù)的代替品來看待。這樣的數(shù)學(xué)故事可以使學(xué)生對于中位數(shù)的由來以及意義有更加深刻的體會。

2.調(diào)整結(jié)構(gòu)，增加數(shù)學(xué)史在正文中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)史位于正文的位置僅占總體的17%，最多的是在章節(jié)最后的閱讀材料處，所處這樣的位置是對數(shù)學(xué)史料的大材小用，難以讓師生注重其內(nèi)容，其所蘊(yùn)含的育人價值更是難以發(fā)揮。數(shù)學(xué)史進(jìn)入正文，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)方能充分反映數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)[7]。我們應(yīng)該調(diào)整教材的結(jié)構(gòu)，盡可能將數(shù)學(xué)史穿插、編排進(jìn)入正文中，引起師生的重視，更高效地滲透數(shù)學(xué)文化。

例如在學(xué)習(xí)單項式與多項式相乘時，可以在正文中給出這樣的一個探究活動：矩形長為a+b+c+d，寬為e，如圖1所示，請學(xué)生用兩種方法求矩形的面積。學(xué)生依據(jù)以前學(xué)過的知識可得：（a+b+c+d）e=ae+be+ce+de。然后介紹這種思想在我國稱為出入相補(bǔ)原理，此定理在我國的運(yùn)用不晚于春秋。劉徽在《九章算術(shù)》中多次運(yùn)用此原理解決問題，吳文俊在研究劉徽著作的基礎(chǔ)上首次概括出來出入相補(bǔ)原理的完整表述：若一個平面圖形從一處移到它處面積不變，若把它分割成幾個部分，各部分面積的和等于原來圖形的面積[8]。此題目符合出入相補(bǔ)原理的第二種情況。從這個探究活動學(xué)生就可以總結(jié)出單項式與多項式相乘的法則，并且了解其中蘊(yùn)含的中國古代數(shù)學(xué)思想。像這樣在正文中介紹數(shù)學(xué)史內(nèi)容，可以使數(shù)學(xué)史切切實實與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)聯(lián)起來，凸顯其對于教學(xué)的必要性，使學(xué)生感受中國卓絕的數(shù)學(xué)思想無處不在，從而將數(shù)學(xué)課程思政貫徹到中學(xué)教育。

3.改變方式，注重運(yùn)用重構(gòu)式

要提高教材中數(shù)學(xué)史的融入水平，就必須避免只以點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式等“為歷史而歷史”的顯性方式來呈現(xiàn)史料[9]，應(yīng)該增加重構(gòu)式的運(yùn)用。重構(gòu)式屬于一種隱性的融入方式，是對數(shù)學(xué)知識的揭示，通過對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行超越時空的整合，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的智慧，提高數(shù)學(xué)探究能力。由此可見，教材的編寫應(yīng)該盡可能展現(xiàn)“知識背景—知識發(fā)生—知識發(fā)展變化—知識應(yīng)用”的過程。

例如在編寫配方法一節(jié)時，可以在教材中隱性融入數(shù)學(xué)家花拉子米用幾何論證方程x2+10x=39的求解過程。首先給出方程x2+10x=39，以及從幾何角度此方程代表的圖形是長、寬分別為（x+10）和x的長方形的面積（如圖2）。接著給出問題：這不是正方形，無法根據(jù)上節(jié)課所說直接開平方求出邊長，也就是x的值。那么，可以通過什么方式把它變?yōu)橐粋€正方形？學(xué)生想到可以采用割補(bǔ)法，經(jīng)過自己動手得到割補(bǔ)以后變成正方形（如圖3），讓學(xué)生探求由于圖形的變化導(dǎo)致方程如何變化，從而總結(jié)出配方法。

這個過程就是花拉子米在代數(shù)發(fā)展止步不前的時代從幾何角度分析求解方程的過程。這樣重構(gòu)式的運(yùn)用方法讓學(xué)生經(jīng)歷花拉子米探索方程解的過程，對于加深學(xué)生理解為什么要在“方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方”的深度理解十分有幫助。領(lǐng)會數(shù)學(xué)家解決問題的思考方式，頓悟到自己遇到困難時可以嘗試從不同的角度思考問題，完成與數(shù)學(xué)家的一次“跨越時空的心靈之約”。

總之，浙教版初中數(shù)學(xué)教材應(yīng)該進(jìn)一步發(fā)掘數(shù)學(xué)史料，重點(diǎn)豐富數(shù)學(xué)史在“數(shù)與代數(shù)”和“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的融入，使各個領(lǐng)域都呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史百花齊放的場景，通過合理運(yùn)用數(shù)學(xué)史料加深學(xué)生對領(lǐng)域知識的理解與掌握。并且應(yīng)注重以重構(gòu)的方式在正文中融入數(shù)學(xué)史，使數(shù)學(xué)史在“重生”中大放異彩，發(fā)揮其深層次的育人價值。

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