Schr?dinger-Poisson系統解的存在性

王 軍，王 莉，鐘巧澄

(華東交通大學 理學院，江西 南昌 330013)

0 引言

本文考慮下列Schr?dinger-Poisson系統：

(1)

其中：位勢函數V是不定的，即V有有限維負空間；Ω是R3的有界子集。

文獻[2-11]研究了Schr?dinger-Poisson系統各種解的存在性，但在不定位勢的情形下的研究較少。對于不定位勢的問題，正如文獻[12]所述，由于V在某些地方可能為負，能量泛函I將不再滿足一般的環繞定理。文獻[13]利用Morse理論得到方程(1)非平凡解的存在性。本文在其基礎上考慮更一般的增長性條件，并在此條件下依然得到相同的結果。本文還運用改進后的Clark’s定理得到無窮多解的存在性。對位勢函數V作如下假設：

對于非線性項，作如下假設：

為了保證全局緊性，通常對非線性項f(x,t)施加次臨界增長性條件：存在一個常數C0>0使得：

其中：1

αG(x,t)+c≥G(x,st)

成立，其中G(x,t):=tf(x,t)-4F(x,t)≥0。

αG(x,t)≥G(x,st)

成立，這等價于(f2)當c=0。

顯然，F(x,t)=t4ln(1+t4)滿足條件(f1)～(f3)。

下面陳述本文的主要結果：

定理1 假設條件(V)和條件(f1)～(f3)成立，那么方程(1)有一個非平凡解。

定理2 假設條件(V)和條件(f1)～(f3)成立，如果f(x,·)是奇函數，那么方程(1)有一列解使得I(un,φn)→+∞。

定理3 假設條件(V)和條件(f1)～(f3)成立，如果f(x,-t)=-f(x,t)對所有(x,t)∈Ω×R都成立，那么方程(1)有一列解{uk}滿足當k→∞時有‖uk‖X→0。

1 準備工作

下面回顧無窮維Morse理論的一些概念和結論。

設X是一個Banach空間，I:X→R是一個C1的能量泛函，u是I的一個孤立臨界點以及I(u)=c，那么：

Cq(I,u):=Hq(Ic,Ic{0})，q=0,1,2,…

稱為I在u的第q階臨界群，其中Ic:=I-1(-∞,c]和H*表示系數在z上的奇異同調。

若I滿足Palais-Smale(PS)條件(即任意滿足I(un)→c，I′(un)→0的序列{un}有收斂子列)且I的臨界值有下界α，那么由文獻[14]可知：

Cq(I,∞):=Hq(X,Iα)，q=0,1,2,…

指I在無窮遠處的第q階臨界群。眾所周知，上式的右邊并不取決于α的選擇。

命題1[15]如果I∈C1(X,R)滿足PS條件且對于某些k∈有Ck(I,0)≠Ck(I,∞)，那么I有一個非零臨界點。

命題2[16]假設I∈C1(X，R)在0處局部環繞，即X=Y⊕Z且對于某些ρ>0有：

I(u)≤0,?u∈Y∩Bρ;

I(u)>0,?u∈(Z{0})∩Bρ,

其中:Bρ={u∈X|‖u‖≤ρ}。如果k=dimY<∞，那么Ck(I,0)≠0。

為了研究泛函I，本文將利用涉及φu的項的以下性質：

命題4[18]設X是一個Banach空間，I∈C1(X,R)。假設I滿足PS條件，是偶泛函和下有界的，以及I(0)=0。如果對于任意的k∈，存在X的一個k維子空間Xk和ρk>0使得其中那么下列結論至少有一個成立：

2 重要引理

X上的等價范數，泛函I可以改寫為：

(2)

其中:u±表示u在X上的正交投影。

引理1 若條件(V)和條件(f1)～(f3)成立，那么泛函I滿足PS條件。

證明對于c∈R，設{un}是X上的PS序列，即I(un)→c且I′(un)→0,n→∞，這表明：

c=I(un)+o(1)且〈I′(un),un〉=o(1)。

(3)

在X上，wn弱收斂到w，

在Lr(Ω)(2≤r<2*)上，wn強收斂到w，

在Ω上，wn幾乎處處收斂到w，

(4)

設Ω1={x∈Ω,w(x)≠0}，則在Ω1上有：

因此，

|un(x)|→+∞幾乎處處在Ω1上。

(5)

(6)

再次利用條件(f3)，存在常數C2>0使得對任意x∈Ω和|t|≤C2，有：

(7)

F(x,t)≤M。

(8)

(9)

接下來證明|Ω1|=0。如果|Ω1|≠0，那么結合命題3、式(4)、式(6)、式(9)和Fatou引理，可得：

(10)

I(tnun)→+∞當n→∞。

(11)

由于I(0)=0,I(un)→c，所以tn∈(0,1)且

(12)

根據假設條件(f2)，對于0≤tn≤1有αG(x,un)+c≥G(x,tnun)，那么利用式(11)和式(12)可得：

(13)

(14)

證明反證。存在序列{un}?X使得I(u)≤-n但

(15)

因此，

4I(un)-〈I′(un),un〉≤-4n。

(16)

因此，利用式(15)可得：

這與式(16)矛盾。引理2證畢。

引理3Cq(I,∞)=0,q=0,1,2…。

成立。所以存在sv>0使得I(svv)=-A。令u=svv，則根據引理2可得：

因此，Cq(I,∞)=Hq(X,I-A)=Hq(X,XB)=0,q=0,1,2,…。引理3證畢。

3 定理的證明

定理2的證明 根據引理1可知I滿足PS條件，定理2的證明與文獻[12]中定理1.2的證明非常類似，故這里不再重復。

定理3的證明 根據f(x,-t)=-f(x,t)，易證泛函I是偶泛函以及滿足I(0)=0。此外，由于V∈C(Ω)有界，顯然I是下有界的。對于?k∈和ρk>0，令