力學(xué)課程中梁變形的討論*

劉 云 郝 穎 唐克東

（華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450045）

力學(xué)課程的基本原理可以分析物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和構(gòu)件的承載能力，其中也蘊(yùn)含著人生的哲理。如何在教學(xué)過(guò)程中向?qū)W生講解工程結(jié)構(gòu)原理，又恰當(dāng)?shù)匾胨颊?nèi)容，讓學(xué)生學(xué)習(xí)課程知識(shí)，學(xué)會(huì)思考人生，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的廣度，提高學(xué)生的創(chuàng)造力是目前力學(xué)教學(xué)實(shí)踐中需要探討的問(wèn)題。在以“課程思政”促進(jìn)人才培養(yǎng)能力全面提升的要求下，“課程思政”融合案例更好地將專業(yè)課程中豐富的專業(yè)技能及其所蘊(yùn)含的思政元素實(shí)現(xiàn)自然的融合，使學(xué)生體會(huì)到基礎(chǔ)知識(shí)在現(xiàn)代科技進(jìn)步中仍發(fā)揮重要的基礎(chǔ)和支撐作用，從而在實(shí)踐中運(yùn)用唯物辯證法逐步提高創(chuàng)新思維能力，實(shí)現(xiàn)繼承與創(chuàng)新的辯證統(tǒng)一，達(dá)到“價(jià)值塑造、能力培養(yǎng)、知識(shí)傳授”三位一體的育人目標(biāo)。

力學(xué)課程有很多的知識(shí)點(diǎn)可以通過(guò)工程案例進(jìn)行分析，這為通過(guò)融合思政元素進(jìn)行教書(shū)育人提供了廣闊的平臺(tái)。從“棟梁之材”看“梁”變形的一個(gè)力學(xué)應(yīng)用案例中，理解與百姓生活之本“衣食住行”中“住”密切相關(guān)的力學(xué)課程重要內(nèi)容“梁”的重要性，古語(yǔ)“棟梁之材”或“棟梁之才”意為房屋大梁的木材，現(xiàn)引申為擔(dān)當(dāng)國(guó)家重任的人才。這兩種說(shuō)法在古文中出處甚多，如戰(zhàn)國(guó)時(shí)期莊子在《莊子·人間世》指出：“夫仰而視其細(xì)枝，則拳曲而不可以為棟梁?！彼纬醢彩恫恼摗分赋觯骸胺虿闹茫瑖?guó)之棟梁也，得之則安以容，失之則亡以辱?！边@兩種說(shuō)法中“棟梁”之“梁”是房屋、橋梁結(jié)構(gòu)的重要組成部分。與“梁”有關(guān)的基礎(chǔ)課程“材料力學(xué)”是工科學(xué)生一門傳統(tǒng)的主要專業(yè)基礎(chǔ)課，其知識(shí)點(diǎn)、公式、實(shí)驗(yàn)多，工程實(shí)踐性強(qiáng)的特點(diǎn)，決定了它是一門從理論到工程實(shí)踐的過(guò)渡課程。這要求不僅要處理好與先修課程的銜接關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生工程思維的模式，也應(yīng)為其服務(wù)于工程應(yīng)用及后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

在機(jī)械類和土木類兩類“材料力學(xué)”教材中，要求學(xué)生重點(diǎn)掌握梁的強(qiáng)度和剛度。分析“梁”剛度的變形疊加法是材料力學(xué)中最常用的方法之一，可分為載荷疊加法和逐段變形效應(yīng)疊加法。逐段變形效應(yīng)疊加法也稱為逐段剛化法。材料力學(xué)教材中對(duì)載荷疊加法的分析很詳盡，求解簡(jiǎn)支梁的位移也很方便，而逐段變形效應(yīng)疊加法僅表明了梁段局部變形與梁總體位移的幾何關(guān)系，其求解位移的原理和適用性較少闡述，這點(diǎn)引起了很多學(xué)者的注意。蔣持平等闡明了逐段變形效應(yīng)疊加法的理論基礎(chǔ)，指出逐段變形效應(yīng)疊加法適用計(jì)算梁、鋼架系統(tǒng)和超靜定結(jié)構(gòu)的位移，并在組合變形和非線性位移問(wèn)題中做進(jìn)一步的推廣。李堯臣提出求解靜定問(wèn)題的剛化概念在這里沒(méi)有普遍的意義，細(xì)化逐段變形效應(yīng)疊加法適用于外伸梁、懸臂梁、有外伸或懸臂部分的鋼架和彎扭組合的折桿，一般不適用于簡(jiǎn)支梁，提議該方法可改稱為分段懸臂梁疊加法。苑學(xué)眾從多個(gè)方面分析，討論了變形效應(yīng)疊加法可求解有條件簡(jiǎn)支梁中截面的變形，提出一種彎曲變形疊加的方法將簡(jiǎn)支梁轉(zhuǎn)化為懸臂梁求解，后提出變截面懸臂梁的剛度疊加法，利用虛懸臂梁法求解簡(jiǎn)支梁、超靜定梁的約束力和鋼架鉸支座處的位移。蔡路軍等提出傳統(tǒng)的疊加法是構(gòu)件不變、載荷疊加，而逐段剛化法，是載荷不變、構(gòu)件疊加。對(duì)逐段變形效應(yīng)疊加法在超靜定拉壓桿、階梯軸、變截面梁和平面鋼架問(wèn)題的應(yīng)用做了闡述。上述學(xué)者的研究說(shuō)明逐段變形效應(yīng)疊加法適用于外伸梁、懸臂梁、有外伸或懸臂部分的鋼架和超靜定結(jié)構(gòu)的位移，下面證明逐段變形效應(yīng)疊加法位移計(jì)算的可行性。

1 逐段變形效應(yīng)疊加法原理的證明

逐段變形效應(yīng)疊加法是在計(jì)算靜定梁、鋼架及其組合結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，先計(jì)算各段的變形（其余部分剛化）在需求位移處引起的位移，然后疊加（代數(shù)和或矢量和）。下面以任意載荷作用下懸臂梁為模型，依托于梁的撓曲線近似微分方程，證明逐段變形效應(yīng)疊加法在懸臂梁位移計(jì)算及應(yīng)用中的可行性。

懸臂梁受荷載集度為q(x)的分布荷載作用，抗彎剛度為EI，撓度以向上為正，轉(zhuǎn)角以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎珺C梁段部分的任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為θ(x)、w(x)（如圖1所示）。、為AB梁段剛化時(shí)BC梁段在荷載作用下x位置處的撓度和轉(zhuǎn)角，θB、wB為BC梁段剛化時(shí)在荷載作用下B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角（如圖2、圖3所示）。

圖1 懸臂梁受分布荷載作用變形圖

圖2 AB梁段剛化時(shí)懸臂梁變形圖

圖3 BC梁段剛化時(shí)懸臂梁變形圖

材料力學(xué)中眾多的推理和演繹是在小變形假設(shè)條件下完成的，小變形是材料力學(xué)最基本的概念之一。在小變形、材料服從胡克定律的條件下，彎矩與荷載間的關(guān)系、梁的撓曲軸近似微分方程是線性的，梁的撓曲線近似微分方程為：

當(dāng)AB梁段剛化時(shí)，抗彎剛度E1I→∞，AB梁段彎矩方程為M'1(x)，BC梁段彎矩方程為M1(x)，此時(shí)撓度為w1。由圖2及公式（1），可得：

當(dāng)BC梁段剛化時(shí)，抗彎剛度E2I→∞，BC梁段彎矩方程為M'2(x)，AB梁段彎矩方程為M2(x)，此時(shí)撓度為w2。由圖3及公式（1），可得：

將公式（2）、（3）代入公式（1）后得

即為：

又疊加后的撓度w為，將公式（1）代入公式（5），可得：

梁段分兩段證明時(shí)，圖2與圖3疊加可得到一變形體、一剛體的兩根梁和兩倍的原始荷載，根據(jù)剛化原理、加減平衡力系原理，去掉剛體及作用在其上的一組平衡力，則變形體只受到一組平衡力作用，并不影響原圖中梁段的變形[14]。利用逐段變形效應(yīng)疊加法，可知撓度w為逐段剛化后，各變形段w1和w2的代數(shù)和。這一結(jié)論顯然可推廣到多個(gè)荷載作用時(shí)的情況。當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)荷載時(shí)，分別求出每一荷載單獨(dú)作用時(shí)引起的變形，然后將變形疊加，即為這些荷載共同作用時(shí)的變形。在小變形，材料服從胡克定律時(shí)，θ(x)、w(x)與BC段變形的關(guān)系為線性，依據(jù)逐段變形效應(yīng)疊加法可得其表達(dá)式為：

2 逐段變形效應(yīng)疊加法原理的應(yīng)用

根據(jù)懸臂梁的證明方法，逐段變形效應(yīng)疊加法在外伸梁上的應(yīng)用也可證明。外伸梁BC梁段任意截面的位移可類似圖3、表達(dá)式（1-6）證明（如圖4所示）。AB梁段剛化時(shí)BC梁段部分在荷載作用下x位置處的撓度和轉(zhuǎn)角為θq(x)、wq(x)（此時(shí)wB=0）（如圖5所示）。BC梁段剛化時(shí)B點(diǎn)在荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角為θB、wB（此時(shí)wB=0）。可得BC梁段自由端任意截面的轉(zhuǎn)角θ(x)與撓度w(x)與式（7）相同（如圖6所示）。

圖4 外伸梁受分布荷載作用變形圖

圖5 AB梁段剛化時(shí)外伸梁變形圖

圖6 BC梁段剛化時(shí)外伸梁變形圖

在彎曲小變形，材料線彈性時(shí)，撓曲線近似微分方程、彎矩與荷載的關(guān)系為線性，可證明逐段變形效應(yīng)疊加法應(yīng)用于外伸梁位移計(jì)算的可行性。逐段變形效應(yīng)疊加法也可用在變截面懸臂梁和含有外伸或懸臂部分的鋼架，對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，可將超靜定結(jié)構(gòu)變換為靜定系統(tǒng)，其證明方法也相同。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中將思政元素自然而然融入融合案例，有機(jī)結(jié)合材料力學(xué)課程中與中華文明發(fā)展相關(guān)的知識(shí)過(guò)渡到專業(yè)課程力學(xué)原理的證明，避免力學(xué)課程授課難度較大，學(xué)生學(xué)起來(lái)比較吃力。深入挖掘力學(xué)原理中蘊(yùn)含的人生哲理，使學(xué)生在不斷地學(xué)習(xí)中，體會(huì)到中華文明的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，影響深遠(yuǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性及參與性，也提高了學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，從而實(shí)現(xiàn)專業(yè)和思政教育的相輔相成、相得益彰。

3 結(jié)論

無(wú)論是“棟梁之材”還是“棟梁之才”，在不同的歷史時(shí)期有不相同的范圍，隨著歷史的變遷，社會(huì)的發(fā)展，人們對(duì)建筑的要求更深，而梁的材料范圍也從古代的木材發(fā)展到鋼材、鋼筋混凝土和復(fù)合材料等，梁的截面也從矩形發(fā)展到現(xiàn)在的T形、槽型和工字形等，其目的是追求更高的強(qiáng)度和剛度指標(biāo)。根據(jù)我國(guó)一流人才培養(yǎng)目標(biāo)，重點(diǎn)分析了面向所有工科專業(yè)必修的力學(xué)課程的重要部分“梁”，彎曲變形的常見(jiàn)復(fù)雜問(wèn)題是外伸梁、變截面懸臂梁自由端位移的求解。本文針對(duì)“材料力學(xué)”課程特點(diǎn)和課程思政建設(shè)需求，基于“材料力學(xué)”課程中解決梁變形的問(wèn)題，提出通過(guò)拓展對(duì)“變形”的理解，將基本原理逐段變形效應(yīng)疊加法與課程思政有機(jī)結(jié)合，利用梁的撓曲線微分方程，闡明了梁與鋼架位移的逐段變形效應(yīng)疊加法的理論基礎(chǔ)，其原理是一種易于理解的方法。這使學(xué)生在加深對(duì)“變形”理解的基礎(chǔ)上，全面研究與梁剛度有關(guān)的變形。逐段變形效應(yīng)疊加法應(yīng)用于懸臂梁與外伸梁位移計(jì)算時(shí)的證明，說(shuō)明這種證明方法具有一般性，可在變截面懸臂梁、具有外伸或懸臂部分的鋼架，及超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算中做進(jìn)一步推廣，深入研究該問(wèn)題對(duì)于完善梁變形的教學(xué)內(nèi)容十分必要。

通過(guò)這類案例分析，將力學(xué)原理中蘊(yùn)含的人生哲理，在課堂中進(jìn)行展示并引發(fā)思考，對(duì)授課內(nèi)容有益補(bǔ)充的同時(shí)，又有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，提高課堂教學(xué)的效果，使得學(xué)生不只會(huì)解題，也清楚基本的概念與原理，并能將這些原理很好地應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)和生活，直觀地了解和看到我們當(dāng)下學(xué)習(xí)的課程內(nèi)容不是虛無(wú)的，是真實(shí)地應(yīng)用到實(shí)踐中，從而更能激發(fā)學(xué)生基于基本原理來(lái)分析個(gè)人對(duì)國(guó)家建設(shè)的貢獻(xiàn)與作用，激發(fā)科技報(bào)國(guó)的家國(guó)情懷和使命擔(dān)當(dāng)。“課程思政”在進(jìn)行教書(shū)和育人的環(huán)節(jié)中融入思想和政治元素，這要求教師應(yīng)有發(fā)展的眼光，在課程思政建設(shè)中堅(jiān)持專業(yè)知識(shí)與育人元素交織交融，引領(lǐng)和激發(fā)學(xué)生探索未知世界的欲望，積極鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)闊眼界，不斷加強(qiáng)和提高政治理念，實(shí)現(xiàn)“教書(shū)”與“育人”的相互促進(jìn)、雙向提升。在科技騰飛的年代，將思政元素融入力學(xué)課堂中，把枯燥的原理更好地展示給學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生思考，勇于探索、創(chuàng)新，這成為今后力學(xué)課程教學(xué)改革的一個(gè)重要方面，也為力學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)提供了新的思路。