某核設施變截面矩形水箱結構的力學分析

寇子琦， 劉海， 李壯飛， 王濱生， 宋天舒， 侯鋼領,3

（1.中核四○四有限公司第二分公司，蘭州 732850；2.哈爾濱工程大學，航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學煙臺研究(生)院，山東 煙臺 265599）

0 引言

矩形水箱結構廣泛地應用在航空航天、交通運輸、建筑橋梁和化工機械等眾多領域。隨著工藝改進、結構優化和力學性能提升等方面需要，變截面水箱結構的應用日益廣泛[1]。與等截面矩形水箱結構相比，變截面水箱結構具有受力合理、安全可靠、經濟性好等優點，但其在變截面處存在應力突變、中心軸不連續等特點[2]，導致該結構理論力學面臨諸多困難。矩形水箱結構力學性能分析是該類結構應用和相關行業規范的理論依據[3]。等截面水箱結構的力學分析始于經典的板殼理論。根據水箱結構特點，Faupel應用卡式定理的彈性變形法，提出了剛性框架模型，實現了該結構簡化力學分析[4]。針對剛性框架模型僅使用于長寬比大于4的情況，曾昭景等通過邊界位移連續，建立了矩形水箱結構的正向板、側向板的板組合分析模型[5]。該模型具有適合各種長寬比，可以給出在典型荷載作用下的理論近似解等優點。但該方法還沒有推廣到變截面矩形水箱結構。

針對變截面水箱結構力學分析，國內外眾多學者進行了廣泛的研究。在理論分析方面，Pope應用結構的對稱性，研究了變厚度薄板的力學性能[6]。Gangnon等應用Mindlin板理論，結合有限條方法，考慮剪切變形的影響，完成了變厚度矩形厚板力學分析[7]。Kashtalyan和Nemish考慮了可變厚度正交各向異性板的三維彎曲，并給出了該類結構的雙三角級數解[8]。Tash和Neya應用位移勢能函數，解決線性變厚度板的力學分析，但沒有考慮變截面板的突變性[9]。基于國內外研究成果，針對變截面水箱結構具有變截面處應力突變和中心軸不連續峰分析難點，在曾昭景提出的板組合分析模型的基礎上，文中提出在變厚度板的變截面處的上部板、下部板施加不同的附加彎矩，應用經典板理論的分段求解法和轉角變形連續性，給出了各種工況及其組合作用下該結構的理論近似解。結合某工程實例，與有限元數值模擬比較，驗證文中方法具有較好的計算精度。

1 工程概況

防護水箱是某退役核設施的外圍護結構，發揮著生物屏蔽，熱屏蔽和承重結構等作用。該結構平面為正方形，箱體由內板、外板和肋板等鋼板焊接制成。鋼板采用A3低碳鋼，材料力學性能采用文獻[10]相關規定，基礎采用混凝土筏板。外板與外側防護砂廊接觸，內板與堆芯結構相連，該結構剖面圖見圖1。其中水箱由不同厚度的上部水箱和下部水箱組成，屬于變截面水箱結構。上部水箱和下部水箱的截面厚度分別為H1和H2，H1和H2之比約為1:2。水箱各個部件之間采用焊接連接，屬于超靜定結構。

圖1 防護水箱結構示意圖

2 變截面水箱結構的理論分析

2.1 水箱結構計算模型

該水箱箱體屬于中空結構，如圖2所示。與結構整體尺寸相比，中空結構厚度為小尺寸變量。根據文獻[11,12]的彎曲等效剛度法，將中空結構等效為板的彎曲剛度。采用公式如下：

圖2 箱體板橫斷面尺寸

式中，E為彈性模量；H為水箱外緣厚度；h為水箱內緣厚度；n為肋板板條數；t為截面肋板板厚；a為板長；μ為泊松比。

應用文獻力法分析，將水箱結構等效為板組合模型，4個面沿著各自的棱邊切開。相鄰板連接處等效為鉸接相連和約束彎矩組合，如圖3所示。此時，水箱結構是正向板、側向板的組合，并將水箱結構分析等效為板分析。

圖3 水箱結構簡化模型

在上部板①、下部板②交界位置，板截面厚度成階梯型變化，也就是板截面發生變化的地方。以x、x+dx坐標面截出的微元體為例，如圖4所示。采取如下等效處理：

圖4 變截面微元體

（2） 兩截面高度比H1:H2為1:2。則按等截面求解時，只需將左截面施加的合力矩取半。同理，合剪力也是如此。

采用上述等效后，變截面板處轉化為經典薄板理論的中性軸偏移型板。因此，分別進行正向板、側向板的力學分析，并通過位移邊界的連續，可以給出變截面水箱結構的理論解。

2.2 正向板位移函數

正向板為兩對邊簡支一邊固定和一邊自由（SSCF）的連續板，承受線性荷載q（工況1）、側向沿線分布力矩 M（x）（工況 2）和沿 x=±a/2 承受力矩 M（y）（工況3）3個工況的組合，如圖5所示。此時，正向板撓度wf表示為：

圖5 正向板受力分解圖

（1） 工況1，線性均載q作用。在矩形板承受橫向荷載q時，板結構微分方程為：

將橫向載荷q（x,y）表示為三角級數成級數形式：

式中，am（x）為 q 在區間[0,d]的傅里葉系數。

應用分段求解法，將正向板分成上板①和下板②兩部分單獨求解。將式（4）代入式（3），得到分段撓度表達式

式中，Am、Hm。均為待定常數；DⅠ為上板彎曲剛度；DⅡ為下板彎曲剛度。

上述式（5）、式（6）在滿足板周邊邊界條件外[13]，還需保證在y=b處具有連續性，連續性條件見表1所示：

表1 線性荷載下變截面連續性條件

因此，可得到線性荷載作用下SSCF變厚度連續板的撓度表達式。此時，上板①和下板②在x=0,a處的轉角分別為：

式（7）、式（8）中的 S0、S01、S1、S2、S3、S4分別為 1、y、的傅里葉展開系數；S02、S03、S5、S6、S7、S8亦為上述 6 個非圓函數在區間[0,c]上對的傅里葉展開系數。

（2） 工況 2，彎矩 M（x）作用沿 y=b、d分布分別承受力矩如圖 5（b）所示。其撓度應滿足如式（9）齊次微分方程式：

與工況 1 解法相似，可得 MⅠ（x）、MⅡ（x）作用下撓度解分別為

式（10）、式（11）需要滿足周邊邊界條件和變截面處的連續性條件。在y=b處，連續性條件如表2所示。

表2 均勻力偶作用下變截面連續性條件

此時，上板①和下板②在x=0,a處的轉角分別為：

下板②邊緣轉角：

（3） 工況3，受未知力偶M（y）作用。

采用雙三角級數解法將力偶M（y）表示成單三角級數形式，既有與工況2過程相似，將式（14）代入（9）式，

式（15）、式（16）需要滿足周邊邊界條件和變截面處的連續性條件。考慮結構對稱性，在y=b處，連續性條件如表3所示：

表3 未知力偶作用下變截面連續性條件

基于此，上板①中x=±a/2處的邊緣轉角為：

下板邊緣轉角：

2.3 側向板位移函數

側向板的受力可以分解為兩部分，一是受線性載荷q作用；二是對邊簡支分布力偶M（y）作用。應用箱體對稱，并應用箱體外壁周圍均受線性荷載作用，因此側向壁板受力分解與正向板的工況2、工況3相同。基于此，側向板撓度wp可以表示為：

2.4 箱體結構的位移函數

在棱邊處，正向板的上部總轉角和下部總轉角分別為：

側向板的上部總轉角和下部總轉角分別為：

正向板和側向板在上部總轉角和下部總轉角數值相等，方向相反。即有

因此，可以計算給出各個參數。進而可以給出撓度、彎矩和應力等理論解。

3 計算結果驗證與力學分析

3.1 計算結果驗證

目前，以ANSYS、ABAQUS等為代表有限元軟件具有計算精度高，計算速度快、計算穩定性好等優點，可以分析各種復雜形狀、復雜工況結構力學性能[14]。

采用ANSYS軟件，建立變厚度水箱結構的有限元模型。應用水箱結構的對稱性取1/2水箱結構進行分析，采用shell181單元見圖6。

圖6 有限元模型

限于篇幅，選取下部板y=9.00（路徑1）和上部板y=3.43（路徑2）作為比較對象。解析解取前四項級數m=n=4，正向板和側向板的撓度和σx比較結果如圖7和圖8所示。

圖7 正向板的撓度和應力比較

圖8 側向板的撓度和應力比較

比較結果表明，文中方法與ANSYS計算結果在水箱結構的正向板和側向板的最大誤差僅為3.6%，計算精度很好。解析解的值均略大于數值模擬解，這是因為力學模型的相鄰板之間采用完全簡支的條件假設，而ANSYS模型采用實際情況，考慮棱角對轉動有一定的約束，因而使得求解的結果略大于有限元值。同樣原因，在棱角附近，理論解與數值模擬誤差較大。

3.2 力學性能分析

由于正向板的位移和應力比側向板大，且限于文章篇幅。在此，僅給出正向板的受力性能。

圖9 正向板的撓度和應力分布

正向板撓度從棱角到中間位置、從底部至頂部逐漸增大，最大值出現在箱頂中間位置，近似呈拋物體分布，數值為10.84mm。該計算結果符合三邊約束箱體的受力特點[15]。

箱板的應力呈對稱分布，其中應力σxf在箱體上部區域為壓應力，其余位置為拉應力。σxf壓應力最大值位于中心線與變截面交線下面，數值為-14.00MPa；拉應力最大值位于容器棱邊與變厚度截面重合位置，數值為38.60MPa。應力σyf在上部、下部的中心位置附件處均有負應力出現，其余位置均為正值。σyf壓應力最大值位于下板中心點，數值為-7.45MPa；而拉應力最大值位于箱體底部中心線處，數值為32.62MPa。即容器棱邊與變厚度截面重合區域和容器底部中心線區域均為高應力區。

4 結語

根據某退役核設施變截面水箱結構受力分析需要，通過在變厚度板的變截面處的上部板、下部板施加不同的附加彎矩，將變截面板中心軸的不連續等效為附加彎矩，可以較好地解決該類結構變截面處應力突變和中心軸不連續等難點。主要結論有：

（1） 將變截面板中心軸的不連續等效為附加彎矩，解決了該類結構變截面處應力突變和中心軸不連續等難點。因此，通過剛度等效，附加合彎矩、綜合剪力等經典板分析方法，可以給出了變厚度水箱體的力學分析解析解。

（2） 應用文中方法，給出了某退役核設施變截面水箱結構的解析解，表明了其撓度和應力分布特點。正向板頂部棱角的中間位置撓度最大，是位移監測監控的關鍵點。而水箱棱邊、變厚度截面區域、和容器底部中心線區域均為高應力區，是應力應變控制的關鍵部位。相關的研究結論，對水箱結構安全評估、災害防御和結構健康監測提供了良好的參考價值。

（3） 理論和仿真結果表明，承重水箱關鍵點位置的應力、應變均控制在允許屈服范圍內，但考慮到輻照、腐蝕等環境因素影響，因此在后期施工和維護中應加強對關鍵點位置的變形和應變檢測。