基于教材，扎根課堂，發展學生的思維能力
——“雙曲線及其標準方程”課堂實錄與反思

馮 剛 (江蘇省奔牛高級中學 213131 江蘇省高中數學名師工作室 213001)

1 學情分析

教學對象是四星級高中的高二普通班學生，基礎知識、自主學習能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力都為中等．

2 教學內容分析

所用教材為人教A版選擇性必修第二冊[1]，教學內容是“3.2.1雙曲線及其標準方程”，它是在學生學習了橢圓及其標準方程、幾何性質之后，繼續學習的第二種圓錐曲線，也為拋物線的學習作鋪墊和方法引導，因此起到了承上啟下的作用．

教學目標 (1)經歷雙曲線軌跡的探索過程，體驗雙曲線的形狀特征，并歸納其定義；(2)經歷雙曲線標準方程的推導過程，并能根據條件求標準方程，能解決一些簡單的實際應用問題；(3)通過定義及標準方程的挖掘與探究，進一步體驗類比、數形結合、等價轉化等思想方法的運用，提高觀察、歸納、探究等能力．

教學重點 理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程．

教學難點 雙曲線標準方程的推導及變形化簡的等價性問題．

3 過程實錄

3.1 師生共同探究

在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點．在平面內，取兩個定點F1,F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，以點F2為圓心、線段PB為半徑作圓．

·探究1 當F1F2

師：(讓學生自己閱讀前提和探究問題，但是反應不明顯，教師給出提示)我們來分析一下這個問題，交點M是需要研究的動點，F1,F2是兩個定點，結合前面所學的知識，你能猜想交點M的軌跡嗎？

圖1

生1：我猜想是橢圓．

師：橢圓定義中的確涉及“動點到兩定點的距離”，那這里是不是橢圓呢？

生2：我發現MF1+MF2是一個定值，這個和等于PA+PB=AB，而且AB是一個常數．

師：非常棒！但你再想想滿足剛才的條件就能說交點M的軌跡是橢圓了嗎？

生3：還要滿足定值AB>F1F2．

師：這樣根據橢圓的定義就可以說明交點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓(教師用GeoGebra動態演示，如圖1)．再看第(2)問．

生4：點P在線段AB外運動時，兩圓半徑差的絕對值為AB，大于圓心距F1F2，所以兩圓是內含關系，沒有交點．

·探究2 當F1F2>AB時，(1)點P在線段AB上運動時，存在交點軌跡嗎？(2)點P在線段AB外運動時，兩圓交點的軌跡是什么？

生5：點P在線段AB上運動時，兩圓半徑和為AB，小于圓心距F1F2，所以兩圓是外離關系，沒有交點．

師：(第(2)問學生不會處理，教師用GeoGebra(下稱GGB)動態展示，如圖2)交點M的軌跡是雙曲線．而且當點P在線段AB的延長線上時，交點M的軌跡是雙曲線的右支，當點P在線段BA的延長線上時，交點M的軌跡是雙曲線的左支．兩支合起來叫做雙曲線．

圖2

師：生活中的雙曲線也很常見，如電廠冷卻塔、花瓶、法拉利主題公園的外輪廓線都用到了美麗的雙曲線．本節課我們的研究對象就是雙曲線．

3.2 建構數學

·研究曲線的一般過程

師：請回憶解析幾何中研究曲線的一般過程．

生6：先探求曲線的定義，然后根據定義推導曲線的方程，再根據方程研究曲線的幾何性質．

師：這里體現了解析幾何的基本思想，利用代數方法研究幾何問題．

·雙曲線的定義

師：你能借助探究2中的第(2)問給雙曲線下個定義嗎？

生7：MF1-MF2是定值，等于PA-PB=AB，且AB是一個常數．

生8：這只是動點M在雙曲線的右支滿足的條件，動點M在雙曲線的左支時，應該是MF2-MF1=PB-PA=AB，且AB是一個常數．

生9：還要滿足AB

師：大家說得非常好．總的來說，雙曲線的定義是“平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于F1F2)的點的軌跡叫做雙曲線”．兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．

師：若設定義中的非零常數為2a(a>0)，則雙曲線用集合的語言可以怎么表示？

生10：P={M||MF1-MF2|=2a,0<2a

·雙曲線的標準方程的推導

師：你能類比求橢圓的標準方程的過程，求出雙曲線的標準方程嗎？

生11：“建設限代化”：第一步要建系，第二步設點，第三步列限制條件，第四步代入坐標，第五步化簡．

師：很熟練，具體怎么操作？

師：大家動動手，試試看能化簡嗎？

(教師將大部分學生的兩種化簡方案投屏)

師：上述過程嚴密嗎？

生13：兩次平方，可能會擴大范圍，導致變形不等價．不過第一次對方程①的平方是等價的，因為方程①的左右兩邊都是正數．第二次對方程②平方就不知道了．

師：方程②主要是左邊式子不知道正負，那只要知道x2或y2的范圍就可以了，哪里可以求出它們的范圍呢？

師：分類平方的確解決了方程①兩邊平方的變形等價性問題，但方程②左邊不知道正負啊？

師：推導雙曲線左支方程還有其他方法嗎？

生16：左支的方程①可以在右支的方程①中“用-x代換x”得到．

生17：可以根據雙曲線關于y軸對稱，只需在④式中用-x代換x．

師：那焦點在y軸上的雙曲線呢？

師：根據雙曲線的兩種標準方程，如何判斷焦點的位置？

生20：當x2系數為正數時，焦點在x軸上；當y2系數為正數時，焦點在y軸上．

3.3 典型例題講解

例1已知雙曲線的焦點F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到兩焦點的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．(解答過程略)

師：求雙曲線的標準方程時，需要關注什么？

生21：先定位，再定量．

例2已知A,B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．(解答過程略)

師：本題讓我們增強了軌跡思想．再思考一下如何準確確定點P的位置？

生22：可以再增加一個觀測點C，利用B,C或A,C測得的時間差，求出另一個雙曲線的方程，然后兩方程聯立方程組，即可求得點P的位置．

3.4 課堂小結(略)

4 三個版本教材中重難點處理方式的比較與分析

備課時，參考了三個版本的教科書，除了人教A版外，還有人教B版[2]以及新蘇教版[3]．

4.1 雙曲線情境引入方面

新蘇教版從“拉鏈試驗”引入；人教B版從“聲音時差測定位”實際問題再結合“拉鏈試驗”引入；人教A版是利用GGB工具綜合橢圓和雙曲線的定義對比引入．

新蘇教版從日常生活問題引入，直觀且可操作性強，提升了學生將實際問題抽象成數學問題的轉化能力，但說明不夠清晰.比如，學生在實驗中對“兩線段差為定值”的感受性較差，再如實際操作時，學生根本畫不出完整的一支雙曲線，需要教師“強行補畫”，很是牽強，或者教師會播放拉鏈視頻，硬是將“學生的真感受”變成了“虛假的視頻學習”．這些地方都是需要師生在教與學中共同思考和加工．建議類比橢圓的引入，仍然用一根定長細繩，加上一個可動的閉合器，實際操作時就可以實現畫出完整的曲線．先將這根細繩折成等長兩段，將其中一部分剪掉一段，這樣學生對“兩線段差為定值”的感受性就會很強，就是剪掉的那一部分(事實上，人教B版中就明確提出“將拉鏈截去一部分”)．然后將兩端點固定在畫板上的兩定點，再讓學生把筆尖靠著可動閉合器，畫出拉開或閉合時的軌跡曲線．

人教B版中的“聲音時差測定位”問題雖然是雙曲線的典型應用，但閱讀量大，對學生的抽象能力要求太高，作為情境缺失了“淺顯性”，不利于提升學生對新知的探究欲望．而這個問題結束后，又讓學生做“拉鏈試驗”，顯得有點累贅了．

人教A版利用GGB工具綜合橢圓和雙曲線的定義對比引入的這種方式，樸實而不浮夸，不特意去尋找效果不明顯和晦澀難懂的實例，而是從學生熟知的橢圓定義這個最近發展區入手，類比研究，對比分析，利用GGB作出的雙曲線美觀嚴謹，體現數學的簡潔與美．而且在明確提出F1F2>AB的前提下，學生很容易發現“兩線段差就是定值”即線段AB的長度．因此，這樣的情境既有助于概念的產生，又有助于學生對概念本質的理解．

4.2 推導方程難點處理方面

人教A版是先去掉絕對值符號化為兩根式差為±2a，然后類比橢圓方程的推導，將兩個根式移到等式兩邊，最后平方；新蘇教版沒有具體說明如何處理絕對值和兩個根式，直接就化簡到最后第二步；人教B版是先去掉絕對值化為兩根式差為±2a，然后對兩根式進行“有理化”處理，轉化為兩根式的和，再聯立兩根式差的式子求解．

人教A版在定義式的化簡處理上給定了討論的方法，這樣束縛了師生的“手腳”，導致思維缺乏發散性．人教B版給出了“有理化”處理根式的方法，再結合解方程組思想進行化簡，思路清晰，方法明確，但這個方法學生不容易想到，沒有尊重學生對絕對值處理的第一思維.新蘇教版對于絕對值的處理沒有指明化簡的方向，教與學施展的空間非常大．事實上，多數學生在課上的第一想法是“直接平方”，這種方法并不比“討論去絕對值之后再平方”的方法計算量大，甚至在“平方變形的等價性”問題處理上可以利用雙曲線的標準方程彌補，而且“直接平方”的彌補過程也比“討論去絕對值之后再平方”少．因此，在教材難點問題處，少一些限定，多一些空間，才能給師生的思維留足余地，讓思維深入化、高階化，才能逐步提升學生的關鍵能力，同時，這樣的“大空間思維模式”教學也能培養出心胸寬廣的人．

5 教學感悟

5.1 做負責任的教師

陳大偉認為[4]：隨時對教學行為背后的教育假設提問，能夠清晰地表達教育假設的教師，是對教育假設有過思考，對教育有過研究的教師，這樣的教師是負責任的教師．本節課在引入部分，開課教師預設到如果先進行橢圓定義的回顧以及橢圓研究步驟的歸納，學生對雙曲線的研究會更自然一些．開課教師也預設到了按人教A版引入對學生要求偏高，可能不利于課堂“熱鬧”氛圍的形成．《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質．提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展．”[5]讓學生自己閱讀、自己分析，再到合作討論解決情境問題，有利于提升學生的閱讀理解能力、數學抽象能力．不是因為學生暫時能力不夠，就選擇“低層次弱思維”的情境問題，而是只有在“跳一跳夠得到”的問題中，學生不斷地自主分析、自我或合作解決問題，才能逐步提升核心素養．

5.2 做個具有較高教學實踐水平的教師

如果一個教師將基于某些假設的教學設計用于實踐，能被教學實踐證明其假設具有合理性和有效性，這樣的教師對教育有比較深刻的認識和理解，就是具有較高教學實踐水平的教師[4]．在推導標準方程的難點處理上，開課教師也預設到如果放手讓學生去嘗試，可能導致一節課教學內容完不成，但如果一味地教師引導，會讓學生感覺一節課下來思維能力并沒有得到增長，長期以往可能會導致學生產生“躺平”心態．所以開課教師堅持“先讓學生嘗試，然后投屏，師生邊看邊思、邊優化”的方式．事實上，這節課下來，不僅推導過程被投屏的這幾位學生增強了自信，其他推導過程一致的學生也很有信心，就算沒完成的學生也會在下一節課的問題中躍躍欲試．所以優秀的課堂需要把機會留給學生，把舞臺留給學生．

5.3 讓教師生活成為一種研究性的生活

陳大偉認為[4]：教學之前有假設、教學中和教學后能不斷反思和調整假設，不斷提升假設水平的教師是不斷成長和進步的教師，其教師生活是一種研究性的生活．吳康寧認為信息技術“進入”教學的最高類型是“融入”，旨在“創構”，包括：教學內容呈現方式的改造或重構，學習資源獲取方式的改造或重構……所有這些改造或重構，都是整個教學系統改造或重構的有機組成部分，目的都在于形成一種全新教學時空，最大限度地聯結學生的經驗，最大限度地激發學生的興趣，最大限度地挖掘學生的潛能，最大限度地引發學生的創造，最大限度地促使學生作為一個完整的人去完整地感知盡可能完整的世界．[6]開課教師反思到如果橢圓定義這節課中教師能當場做GGB演示，那雙曲線的定義就可以讓學生參與進來，讓學生自己做．這會讓學生終生難忘，這種課才是最難能可貴的．課堂小結可以賦予自我評價的功能，從學生需求出發，改變以往課堂小結以教師為主體的一言堂形式，使其變革為在教師指導下的以學生為主體的課堂自主小結．[7]因此在小結方面，要以人為本，要給學生展示的機會，PPT上只需要有“小結”兩個字，讓學生歸納并提出問題．通過一堂又一堂課的自主小結，逐漸培養學生自我評價的習慣和能力，滿足學生自我實現的需求，樹立學習自信心．