初中數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)教學(xué)”探索

□ 江蘇省南通市如皋市下原鎮(zhèn)下原初級中學(xué) 浦金才

著名教育家布魯納說，“學(xué)生進(jìn)行學(xué)科學(xué)習(xí)的實質(zhì)就是掌握該學(xué)科的基本知識結(jié)構(gòu)”“學(xué)習(xí)就是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織或重新組織”。初中數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)教學(xué)”，就是要立足學(xué)生已有“認(rèn)知模塊”，營造學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“思維場”，用“問題串”等引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生。通過“結(jié)構(gòu)教學(xué)”，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效遷移，進(jìn)而能有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。

一、把握“銜接點(diǎn)”，解讀學(xué)習(xí)“認(rèn)知塊”

著名教育家奧蘇貝爾曾經(jīng)這樣說，“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學(xué)生學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，并據(jù)此展開教學(xué)。”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把握學(xué)生認(rèn)知的“銜接點(diǎn)”，認(rèn)識學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“認(rèn)知模塊”。學(xué)生的認(rèn)知模塊是豐富的，它包括學(xué)生的已有核心知識、共享知識、境域知識、結(jié)構(gòu)知識、隱性知識等。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)都是不同的，個體的情況千差萬別，它包括學(xué)生的已有知識儲備、已有經(jīng)驗和思維水平等。只有把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“銜接點(diǎn)”，才能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)步入“最近發(fā)展區(qū)”，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“跳一跳能摘到桃子”。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生基于自我的認(rèn)知模塊不斷進(jìn)階。比如教學(xué)人教版八年級下冊《特殊的平行四邊形》這一部分內(nèi)容，筆者在教學(xué)中從學(xué)生生活實際入手，展示學(xué)生生活中的平行四邊形圖片（如活動衣架、伸縮門等），引導(dǎo)學(xué)生感知、操作將平行四邊形推拉成長方形、將長方形推拉成平行四邊形的過程，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一個生長性的情境；從學(xué)生已有知識經(jīng)驗—“平行四邊形”“三角形”等相關(guān)知識入手，催生學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生認(rèn)識到矩形是一種特殊的長方形。在這個過程中，筆者及時介入、適度追問：矩形特殊在什么地方？怎樣的平行四邊形是矩形？怎樣的四邊形是矩形？通過這樣的一種追問，能架設(shè)學(xué)生已有知識和未知的橋梁，從而促進(jìn)學(xué)生展開從一般到特殊的思考，幫助學(xué)生從特殊性的視角給矩形下定義。在這個過程中，激活學(xué)生的已有認(rèn)知。過去，我們研究三角形、平行四邊形是從哪些角度展開研究的？研究矩形，你準(zhǔn)備通過哪些元素去進(jìn)行研究等。引導(dǎo)學(xué)生借助于研究三角形、平行四邊形的經(jīng)驗，去思考研究矩形的方法。通過對學(xué)生的“認(rèn)知模塊”的激活，引導(dǎo)學(xué)生掌握系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生形成一個線條清晰的學(xué)習(xí)思維輪廓。

把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接點(diǎn)，不僅能讓學(xué)生所學(xué)的新舊知識進(jìn)行有效地銜接，促進(jìn)學(xué)生新舊知識的有效遷移，更能引導(dǎo)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)方法、思想等。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接點(diǎn)，把握學(xué)生的“認(rèn)知模塊”，才能讓教師的教學(xué)富有挑戰(zhàn)性，才能讓教師的教學(xué)貼地而行。

二、激活“生長點(diǎn)”，構(gòu)建學(xué)習(xí)“問題串”

結(jié)構(gòu)教學(xué)要摒棄傳統(tǒng)的碎片化的教學(xué)方式，通過“問題串”“問題群”等，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)的指向，并能進(jìn)行自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。要讓問題具有整合性、開放性、研究性和建構(gòu)性，促進(jìn)問題對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極導(dǎo)引。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要把握學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的銜接點(diǎn)，更要通過構(gòu)建“問題串”，激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)。通過激活學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識理解、遷移搭建重要的平臺。

一般來說，問題串往往是由幾個核心問題、主問題等構(gòu)成的。并且，這些問題往往是有層次性、結(jié)構(gòu)性的，是逐步深化的。通過結(jié)構(gòu)化的問題串，能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思維，推動學(xué)生的數(shù)學(xué)深度探究，從而能讓學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。比如教學(xué)人教版九年級上冊《根與系數(shù)的關(guān)系》這一部分內(nèi)容時，為了助推學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，筆者精心設(shè)計了這樣的“問題串”：一元二次方程中的“兩根之和”與“系數(shù)”之間有沒有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？怎樣證明？你還能提出怎樣的問題？探討根與系數(shù)的關(guān)系有什么作用？其中，“問題串”中的第一、第二個問題，有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想；第三個問題有助于激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)驗證、探究的興趣，調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)驗證、探究的積極性；而第四個問題，則有助于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生提出新的問題，諸如兩根之差與系數(shù)有沒有關(guān)系？兩根之積與系數(shù)有沒有關(guān)系等。最后一個問題，有助于學(xué)生對自我的探究結(jié)果進(jìn)行反思、審視，并能促進(jìn)學(xué)生對根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。通過這樣的“問題串”，能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維爬坡，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知等逐步從低階邁向高階。如有學(xué)生在學(xué)習(xí)中，通過對幾個一元二次方程的例子，探究根與系數(shù)之間的關(guān)系，形成自己的不完全歸納法；有學(xué)生根據(jù)求根公式求出一元二次方程的根之后，通過計算的方法發(fā)現(xiàn)了根與系數(shù)之間的關(guān)系。在這個過程中，有學(xué)生感悟到，根據(jù)一元二次方程中的根與系數(shù)的關(guān)系以及其中的一個根，可以求出另一個根、未知系數(shù)等，從而使學(xué)生認(rèn)識到了學(xué)習(xí)“根與系數(shù)的關(guān)系”的意義、作用。

在結(jié)構(gòu)教學(xué)中，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新知建構(gòu)，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行舊知完善。為此，要引導(dǎo)學(xué)生的心理同化與順應(yīng)，讓學(xué)生將新知納入舊知結(jié)構(gòu)之中，促進(jìn)新舊知識的統(tǒng)整。結(jié)構(gòu)教學(xué)，不僅要求學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)構(gòu)化，更要求學(xué)生的學(xué)習(xí)過程結(jié)構(gòu)化。通過結(jié)構(gòu)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生知識創(chuàng)新，同時為學(xué)生的知識遷移應(yīng)用奠定重要的基礎(chǔ)。

三、了解“困惑點(diǎn)”，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)“思維場”

在初中結(jié)構(gòu)教學(xué)中，教師要了解學(xué)生的“困惑點(diǎn)”，從而幫助學(xué)生及時疏導(dǎo)疑難雜癥。美國著名教育家加涅認(rèn)為，“學(xué)生的一個學(xué)習(xí)流程往往就是學(xué)生的信息輸入輸出流程”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中遭遇障礙、困難、困惑，就會堵塞正常的信息輸入輸出流程。為此，教師在教學(xué)中要充分調(diào)研，精心創(chuàng)設(shè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“思維場”，幫助學(xué)生設(shè)計破解學(xué)生認(rèn)知困惑、障礙等的招數(shù)，幫助學(xué)生打開思維、認(rèn)知等的閘門，讓學(xué)生在思維引力作用下，激發(fā)學(xué)生的有效認(rèn)知。

“思維場”能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生的積極參與。“思維場”可以助推學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、探究。作為教師，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)積極主動參與的條件，為學(xué)生留足思維的空間，幫助學(xué)生建立起動態(tài)韻味的發(fā)現(xiàn)場、探究場、質(zhì)疑場，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、質(zhì)疑。比如教學(xué)人教版八年級上冊的《平方差公式》，筆者呈現(xiàn)了一組“結(jié)構(gòu)性習(xí)題”：（200-1）×（200+1）、（2a+1）(2a-1)、（x+y)（x-y）、（y+1）(y+1)。通過這樣的一組結(jié)構(gòu)化習(xí)題，構(gòu)建了一種結(jié)構(gòu)化的思維場，催生學(xué)生的結(jié)構(gòu)化發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，誘發(fā)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化猜想。通過這一組習(xí)題的計算，學(xué)生很快就自主發(fā)現(xiàn)了“平方差公式”。有學(xué)生說，前三個題目都是已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，所以計算結(jié)果為兩項；有學(xué)生說，應(yīng)用多項式的乘法計算后發(fā)現(xiàn)，這些式子通過計算展開之后都是四項，其中中間的兩項有可能被消去，也可能不能消去，前面三個題目中的計算結(jié)果中的中間兩項都被抵消了，而最后一道題目中的計算結(jié)果的兩項沒有消去等。通過這樣的結(jié)構(gòu)化思考、探究，學(xué)生逐步領(lǐng)悟到了“平方差公式”的本質(zhì)。在打造學(xué)生思維場的過程中，教師要充分發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者等的作用，讓思維場能融合學(xué)生的經(jīng)驗、思維等。置身于思維場之中，學(xué)生能展開積極的再創(chuàng)造，并能展開積極的反思，促進(jìn)對自我認(rèn)知的質(zhì)疑與批判。

在打造學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維場的過程中，教師要留有一定的時空，讓學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造。基于學(xué)習(xí)思維場營建的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往遵循著問題情境、觀察探究、形成結(jié)論的過程。要讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、質(zhì)疑中走出傳統(tǒng)的簡單思維、認(rèn)知的窠臼，幫助學(xué)生拓展自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造、再發(fā)展，助推學(xué)生提升自我的數(shù)學(xué)認(rèn)知，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

四、把握“關(guān)節(jié)點(diǎn)”，創(chuàng)造學(xué)習(xí)“生成器”

前蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基認(rèn)為，“教師的教學(xué)技巧不在于能預(yù)知課堂的所有細(xì)節(jié)，而在于能根據(jù)課堂當(dāng)時的具體情況，巧妙地在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中作出不知不覺的相關(guān)變化。”這種讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)生不知不覺變化的過程，就是動態(tài)生成的過程。動態(tài)生長這一概念是相當(dāng)于預(yù)設(shè)的，更需要教師的教學(xué)機(jī)智，同時還需要學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的眼光、審視科學(xué)世界的數(shù)學(xué)思維等，從而讓學(xué)生達(dá)到事半功倍的效果。

比如教學(xué)人教版八年級下冊《勾股定理》這一部分內(nèi)容之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)，把握“勾股定理”學(xué)習(xí)過程中的相關(guān)的重要關(guān)節(jié)點(diǎn)，創(chuàng)造學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生成。反思1：勾股定理揭示了哪一類三角形的什么元素之間的關(guān)聯(lián)？反思2：在探索“勾股定理”的過程中，我們應(yīng)用了哪些思想方法？反思3：應(yīng)用“勾股定理”，我們應(yīng)該注意什么？反思4：對于“勾股定理”，你還有什么要進(jìn)行表達(dá)？通過這樣的反思，引導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)勾股定理的猜想、驗證等。通過反思、總結(jié)，不僅能讓學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化，更能讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識探索過程以及思想方法結(jié)構(gòu)化。這種結(jié)構(gòu)化的總結(jié)，能讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精彩生成。學(xué)生在反思中互動、交流，呈現(xiàn)了對勾股定理探索過程的多個看法、觀點(diǎn)，同時促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化遷移等。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生的個性和良好的思維品質(zhì)。

把握學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中反思。通過反思，形成對相關(guān)知識的提煉和歸納。 在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的參與度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的品質(zhì)。在結(jié)構(gòu)教學(xué)中，認(rèn)知塊是基礎(chǔ)，問題鏈?zhǔn)蔷€索，關(guān)節(jié)點(diǎn)是關(guān)鍵，而思維場則是載體。只有引導(dǎo)學(xué)生通過問題鏈，構(gòu)筑認(rèn)知塊，把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，打造學(xué)生的數(shù)學(xué)思維場域，才能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。