數學推理：“探索與實踐”教學的應然追求

□ 江蘇省蘇州市張家港市塘市小學 陳燕華

數學推理是一種基本的數學思維形式，它雖然不以直觀具體的案例呈現，但廣泛存在于學生數學概念探索、數學問題解決、數學實踐創新等諸多學習環節，對學生數學學科高品質學習和思維能力多維度發展有著重要的影響作用，并伴隨著學生思維的終身發展。小學數學教師需加快教學模式轉型，從傳統“講讀式”“灌輸式”教學轉變為“探究式”“實踐式”教學，多元啟動學生數學推理思維，提高學生數學課堂學習求知欲望與思維活力，改善學生數學學科學習方式，推進學生數學學科核心能力養成與發展。

一、合情推理，培養學生歸納能力

1.創設推理情境

情境教學手段可以增強數學知識呈現的真實性和生動性，讓學生更加自然的融入到數學知識學習場景中。教師依托數學故事、數學問題、數學史實、生活現象等教學素材，創設數學合情推理情境，快速激活學生數學課堂學習思維積極性，并指導學生在情境驅動下，更有方向性投入到數學新知的自主探索中，增強學生數學知識探索學習的感性認知體驗，提高學生數學課堂探索學習效率。

蘇教版二年級下冊《認識方向》章節教學中，教師以生活場景做切入創設教學情境，用地圖圖片的方式，展示學生熟悉的校園環境，并投放：“小紅想要從學校教學樓出發去往食堂，她應該怎么走？小明想從學校的操場趕去報告廳，他應該怎么走？”等啟發性問題。與學生校園生活密切相關的情境創設，迅速消除數學新知學習的陌生感，學生按照自己的想法積極回答，得出“向左走”“往前走”“向東走”等不同形式的答案。教師記錄梳理學生的作答內容，指導學生思考哪種表達形式更加準確易懂，將學生課堂思維引向用東、西、南、北等方向詞語表述位置關系的探索學習，助力學生在辨析、推理中準確掌握課堂教學核心知識。

2.厚積推理素材

合情推理從來不是憑空而來的。要想讓學生在數學課堂中展開合情推理，就必須為學生提供豐富的推理素材，支撐學生數學表象認知形成，輔助學生順利完成合情推理學習任務。教師厚積合情推理教學素材，既要深潛教材當中，發掘教材中有利于學生合情推理思維展開的顯性教學資源和隱形教學資源，又要加強課堂之外輔助性教學素材的篩選整合，為學生系統構建數學新知，高效完成合情推理學習活動提供有力支持。

教學《角的初步認識》相關知識時，讓學生明確角的構成要素是課堂教學的重點所在。教師除了直觀展示教材中提供的各類“角”的圖片外，還為學生提供多組裁剪好的“角”卡片，引導學生觀察這些圖片和卡片素材，總結它們的共同點，嘗試推理角的構成要素。豐富的推理學習素材無疑為學生課堂學習思維深入展開搭建了有效落腳點，學生通過觀察分析可以順利歸納出“角有一個頂點和兩條邊”的學習結論。教師繼續投放新的學習材料，在各類角的圖片中混入沒有頂點、邊是曲線等干擾素材，要求學生辨析這些圖片哪些是角、哪些不是，訓練強化學生數學新知學習印象，提升學生數學概念理解的準確性。

3.提煉推理內涵

合情推理教學是個循序漸進的教學過程，學生在推理情境、推理素材的支持下，能夠形成多樣化的推理學習成果，但受限于思維能力，這些推理結果有很多都是淺層次的，還需要教師進行梳理指導。教師樹立動態化教學意識，根據學生合情推理的學習表現，適時、適度干預學生學習思維，啟發學生圍繞推理學習結果進行內涵提煉及對比分析，觸發學生數學課堂深度學習，鍛煉學生系統歸納的學科能力。

《長方形和正方形》章節教學，學生在分析長方形、正方形圖形特點過程中，容易出現遺漏某一個或多個圖形特點的學習問題。教師密切關注學生課堂學習表現，當學生出現這些認知遺漏時，恰當干預學生推理學習程序，指導學生從邊、角兩個維度展開合情推理，全面歸納長方形和正方形的圖形特點。該學習任務的完成難度并不高，學生明確思維方向后，自然可以有序、全面的進行圖形分析和歸納總結，順利達成學習任務要求。這樣專注學生數學課堂動態學習成效的教學指導，高度尊重學生數學推理學習的主體地位，能夠讓學生數學學科思維得到更有效的訓練。

二、演繹推理，培養學生操作能力

1.舊知經驗推理

小學生已掌握的數學舊知、思維方法、學習經驗等，都可以作為數學新知探索學習的認知起點，為學生演繹推理順利進行提供輔助。教師全面剖析數學新知與學生舊知經驗之間存在的對接融合點，引導學生把這些舊知經驗當做演繹推理依據或前提，運用多種推理手段，展開數學新知遷移學習，促使學生自主建構數學學科認知體系，加深學生數學知識學習印象，讓學生積累更多演繹推理學習成功經驗。

教學《長方體和正方體的表面積》知識內容時，長方體和正方體表面積計算的一般方法就是將各個面的面積相加即可，其中主要涉及到的長方體和正方體的立體圖形特點及長方形和正方形的面積計算方法兩個模塊知識，都是學生已經熟練掌握的舊知內容。教師層次性推進課堂教學流程，導學階段中，著重帶領學生回顧這些數學舊知，激活學生相關知識學習印象。在此基礎上，組織學生利用舊知經驗推理長方體和正方體的表面積計算方法和計算公式，引導學生構建數學新舊知識的聯系橋梁，推動學生數學課堂遷移學習，提升學生數學課堂認知品質。

2.實驗操作推理

數學實驗操作活動具有化抽象為具象的教學效果，是強化學生數學課堂學習直觀感知，鍛煉學生動手操作能力、實踐探究能力的重要路徑。教師做好數學操作實驗教學資源開發整合，增設數學實驗學習機會，指導學生在數學問題或實驗任務的驅動下，探索推理數學規律、數學公式、數學定理等知識內容，讓學生形成更多主動思維學習成果，推動學生數學新知的自然生成，提高學生知識建構的準確度。

《多邊形的內角和》小節知識教學需要以操作實驗形式教學，組織學生對四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的內角和進行演繹推理。實驗開始前，教師引領學生回顧“三角形的內角和是180°”的數學規律，為實驗活動演繹推理奠定知識基礎。實驗過程中，教師賦予學生充分的自主權，讓學生按照自己的想法推理各多邊形的內角和分別是多少度。舊知回顧影響下，學生有意識思考這些多邊形與三角形的關系，對這些多邊形一一進行分割后，逐步發現把多邊形分成多個三角形進行內角和計算的實驗推理方法，很快便總結出多邊形內角和的計算公式，極大地提高了學生數學新知探索的學習效率，也增強了學生數學推理思維的層次性、有序性。

3.合作探究推理

小學生的認知基礎較為薄弱，思維能力也存在很強的局限性，在獨自進行演繹推理時，容易出現方向偏差和理解片面的問題，限制學生數學課堂探究學習效果。教師做好必要的學情調研分析，對抽象性強、理解難度大的知識內容，盡量采取合作學習的探究教學模式，組織學生圍繞數學課題展開說理討論，交流自己的個性化想法，促使學生在合作討論中碰撞出更多思維火花，準確、全面的推理數學知識。

《平行四邊形的面積》小節教學中，正確推導平行四邊形的面積計算公式，需要讓學生理解如何運用圖形轉化的方法將平行四邊形轉化成長方形，構建二者的圖形要素聯系。教師以合作學習形式展開探究推理教學，組織學生小組內交流討論，利用平行四邊形卡片，探索圖形轉化方法，推導平行四邊形的面積計算公式。合作探究模式彌補了學生獨立思考的思維局限性，學生通過交流討論，能夠發現自己操作方法、操作步驟中的不足之處，在相互促進下正確完成平行四邊形轉化成長方形的操作任務，并根據圖形前后變化，明確平行四邊形底和高與長方形長和寬的對應關系，推導出平行四邊形的面積計算公式。

三、應用推理，培養學生抽象能力

1.整合公式內容

數學公式是小學數學學科教學的基礎知識內容，只有讓學生正確掌握數學公式的形成過程、應用方法，才能切實培養學生運用數學公式解決問題的能力。強調“探索與實踐”的數學學科教學自然不能無視數學公式的教學意義，更不能簡單化采取死記硬背、生搬硬套的公式教學方法。教師整合剖析數學公式教學內容，善于利用數學公式間的共通點、聯系點設置應用推理學習活動，將學生數學公式學習思維引向更廣層面。

《圓》章節涉及到圓的周長、圓的面積、扇形的周長、扇形的面積、圓環的面積……諸多公式內容，公式學習任務繁重。教師整合這些公式教學素材，從深層次解讀它們的核心屬性，在每節課的新知授課當中，有意識的引導學生思考新公式的推導形成過程，發掘它們與已學公式存在哪些聯系。如推導扇形的面積計算方法需要將扇形視作圓的一部分，其面積計算公式S=nπr2/360 便是對圓的面積計算公式S=πr2的延伸應用。通過數學公式的整合教學，既能達到讓學生知其然，并知其所以然的教學效果，還能系統呈現數學公式間的潛在聯系，拓寬學生數學應用思維域度，使學生更加從容的分析和解決復雜數學問題。

2.構建概念體系

小學數學學科教學內容涵蓋多個知識領域，各部分知識內容彼此獨立又聯系密切。教師關注學生數學概念體系構建，以應用推理為路徑，指導學生梳理數學概念的形成過程、本質內涵及聯系特點，拓寬學生數學學科思維視野，織密數學學科碎片化知識間的聯系網絡，引領學生在靈活應用中，逐步完善數學概念認知體系，明確不同數學概念的應用場景和應用方法，培養學生數學學科學習的綜合性思維。

《扇形統計圖》是小學階段數據統計知識的最后一小節內容，教師結束階段性教學任務后，凸顯數據統計各模塊知識間的概念聯系，向學生投放統計本班同學參加各類社團的人數情況、某人身高和體重的動態變化情況、家庭各類支出項目占比情況等數據統計分析任務，要求學生回顧已學的各類統計圖表形式，思考這些統計項目適合選用何種統計圖進行數據分析。這種強調綜合性的概念應用訓練活動讓學生數學應用思維得以充分發散，有利于學生歸納總結條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖在數據分析中的優劣勢，構建完整的數學概念體系，學會將其靈活應用到不同數學問題場景。

3.延伸實踐應用

加強數學學科實踐教學活動設計，用實踐推動學生數學學科核心能力養成，早已成為小學數學教師的普遍共識。教師具備較強的拓展教學能力，能夠根據數學課堂教學內容特點和學生學科能力成長需求，針對性延伸設計數學實踐應用活動，推進學生數學學科學習的學以致用。生活實踐、課題學習、社區調查、探究實驗等，都可以作為數學實踐教學延伸的活動載體，教師靈活多變的選擇不同實踐活動形式滲透應用到日常教學中，激發和保護學生數學實踐學習熱情，提高學生實踐學習活動參與效度。

“小數、分數和百分數的互換”相關知識教學后，三種數字形式都廣泛存在于學生日常生活當中，與學生生活應用存在千絲萬縷的聯系。教師將數學訓練活動延伸到課堂之外，要求學生搜集整理生活中常見的小數、分數、百分數，分析它們分別代表著什么具體意義，并完成三者間的準確轉換。相比于枯燥單一的習題訓練，學生對這種實踐應用的訓練方式顯然有著更高的接受度和學習興趣。從學生實踐學習反饋報告來看，學生訓練的數量和質量都達到了教師預期，有些學生甚至自主完成了數十組的實踐訓練任務，不僅及時鞏固了數學新知學習印象，還培養了學生用數學視角審視生活事物的認知習慣，增強了數學學科學習情感。

小學數學學科教學中，教師有意識的將數學推理作為一種基本的數學方法滲透融合到課堂教學當中，能夠不斷強化學生主動思維意識，增強學生數學探索思維的條理性、層次性、有序性，為學生探索數學規律、理解數學概念、推導數學公式等學習活動推進提供有效助力。合情推理、演繹推理、應用推理，都是貼近數學學科教學特點的推理教學形式，教師立足小學生獨特學情，精心設計各類數學推理學習活動，促進學生數學推理能力不斷發展，拓展學生數學認知思維深度與廣度，真正提升學生數學學科學習力。