構(gòu)建抽象數(shù)學(xué)模型 發(fā)展學(xué)生建模思想

葉碧云

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷實際問題，將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進行解釋與應(yīng)用的過程;學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)知識的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度、價值觀念方面得到發(fā)展。”數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師可引入建模思想，立足學(xué)生實際生活和數(shù)學(xué)知識本身，構(gòu)建抽象數(shù)學(xué)模型，有助于發(fā)展學(xué)生的建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺使用數(shù)學(xué)方法分析與解決問題。

一、立足學(xué)生生活，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于利用數(shù)學(xué)與學(xué)生實際生活之間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生搭建生活化數(shù)學(xué)知識模型，將抽象的數(shù)學(xué)知識借助模型直觀表達出來。在構(gòu)建生活化模型的過程中，教師需要注意，生活化數(shù)學(xué)模型，就是將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為鮮活、直觀的生活場景，以便于學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)并透徹理解數(shù)與形的知識，同時啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，便于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中探究并熟練掌握這種模型化的學(xué)習(xí)方式。

以《連加、連減、加減混合》教學(xué)為例。學(xué)生需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是：連加、連減運算順序;用豎式計算書寫方法;利用連加、連減解決實際問題。在本部分內(nèi)容中，具有充足的生活化模型構(gòu)建條件——解決實際問題。教師設(shè)定生活化背景：小明和同學(xué)們幫助農(nóng)民伯伯摘南瓜（如教材中的例1），小明摘了5個，小王摘了6個，小紅摘了3個，其中被小李不小心弄壞了1個，問他們一共摘下多少個好的南瓜。至此，關(guān)于“連續(xù)加減法”的生活實際模型已經(jīng)形成，經(jīng)過思考學(xué)生得出結(jié)論：小明摘南瓜數(shù)量+小王+小紅+小李<D：＼學(xué)友＼山西教育＼2022-1＼2022-2＼Image＼image1.pdf>5+6+3+（-1）=13個南瓜。之后，教師提出：“為什么是13個呢？在混合加減法中，你們的計算過程是什么呢？”引導(dǎo)學(xué)生在直觀生活化模型的基礎(chǔ)上思考數(shù)學(xué)問題，此時這一問題的抽象性已經(jīng)得到弱化，學(xué)生按照計算算式進行豎式的羅列，得到本問題的豎式，形成連續(xù)加減法的豎式模型。通過對豎式模型的觀察與分析，學(xué)生得到結(jié)論：豎式中，相加的兩項數(shù)字是上下對齊的，若出現(xiàn)了“進位”，則需要在個位之前增設(shè)“十位”。

在本次數(shù)學(xué)生活化模型的構(gòu)建與分析中，學(xué)生借助教師搭建的生活化模型思考數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)了“連續(xù)加、減法”的運算方法，進一步明確順序為：按照從左到右的順序進行計算。之后，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過設(shè)立豎式形成豎式模型，進一步形成對連續(xù)加減法豎式的歸納分析，深化了對本節(jié)課數(shù)學(xué)知識的掌握，同時對“數(shù)學(xué)模型”形成初步認(rèn)知。

二、借助數(shù)學(xué)符號，應(yīng)用等比關(guān)系模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，包含大量關(guān)于數(shù)學(xué)符號的知識，比如小數(shù)點、百分?jǐn)?shù)、比、等比關(guān)系等，為了讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號，科學(xué)使用數(shù)學(xué)符號，教師可以在數(shù)學(xué)知識講解時，借助數(shù)學(xué)符號表示數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生自主分析，發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學(xué)符號中的抽象數(shù)學(xué)模型。通過觀察與分析模型，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)符號的內(nèi)涵與作用形成清晰的主觀認(rèn)知，之后再通過歸納與總結(jié)形成對數(shù)學(xué)符號的理解。

以《比的應(yīng)用》教學(xué)為例，學(xué)生在本節(jié)課需要完成的目標(biāo)是，在解決實際問題的過程中理解比的意義，運用比解決有關(guān)按比分配的實際問題，形成解決實際問題的能力。為了輔助學(xué)生更好地實現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)，教師首先為學(xué)生提供一組數(shù)據(jù)，具體為：學(xué)校有600名學(xué)生，我們班級有50名學(xué)生，在一次學(xué)校活動中，需要將各班級學(xué)生打亂，將我們班級學(xué)生混合入學(xué)校全體學(xué)生中，那這個混合是按照何種關(guān)系完成的呢？

學(xué)生根據(jù)教師提出的數(shù)據(jù)及基本條件思考，對問題中的基礎(chǔ)條件進行梳理，得到如下信息：（1）學(xué)校學(xué)生600名;（2）班級學(xué)生50名;（3）需要將50名與600名均勻搭配;（4）需要明確600名與50名之間的搭配關(guān)系。學(xué)生對這組數(shù)據(jù)進行觀察與計算，發(fā)現(xiàn)600÷50=12，得到結(jié)論為：在每12名學(xué)生中就有一名是我們班級的學(xué)生，這種關(guān)系就是合理且均勻的搭配關(guān)系。為了將比的模型進一步呈現(xiàn)出來，教師提出“請保證你的‘關(guān)系’是同時具備兩個元素的”，這時學(xué)生紛紛思考“比”與“除法”之間的不同與相同之處，提出：“我們可以借助除法的計算方法，通過比的形式呈現(xiàn)出來，這樣就能夠知道比例關(guān)系啦。”通過分析，學(xué)生分別得到比例關(guān)系為：（1）600∶50;（2）60∶5;（3）12∶1。最終學(xué)生得到本次實際問題的比的模型為12∶1，對“比”進行歸納總結(jié)：能夠利用比的符號表達數(shù)量關(guān)系，表達兩種事物之間的內(nèi)在規(guī)律。

在本次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生通過思考問題、梳理條件、整理數(shù)量關(guān)系等方法，得到了關(guān)于實際問題的比的模型。學(xué)生觀察、分析模型，發(fā)現(xiàn)“∶”這一符號就是表達兩個數(shù)之間的關(guān)系的符號，“11∶2”等比的式子能夠表達事物中兩個元素之間存在的數(shù)量關(guān)系，進一步加深對比的符號及其應(yīng)用的理解，形成對這一比的概念的深層主觀認(rèn)知。

三、組織探究活動，發(fā)展學(xué)生建模能力

新課程改革不斷深化，學(xué)生主體地位愈發(fā)明確，教師運用建模思想，不僅可以將數(shù)學(xué)模型作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的主要工具，還可以引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生建模解決實際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力。

以《圓與圓錐》教學(xué)為例，教師可以引起之前學(xué)習(xí)過的幾何體積計算方法，具體為：長方體計算方法為V=l×w×h;正方體計算方法V=a×a×a，提出建模導(dǎo)向問題：觀察這兩個常見的體積計算公式，你發(fā)現(xiàn)了什么？哪些為必要元素？學(xué)生紛紛思考與交流，表示：兩個幾何的體積都是三個立體元素相乘，包括了長、寬、高，其中正方體的體積計算要素均為“a”，也可以看作是三個相等的長寬高相乘。教師提出問題：請根據(jù)這一原理，大膽猜想，我們要是計算圓柱的體積，需要哪些元素呢？提出這一問題的目的是引起學(xué)生對圓柱體積的猜想，促使學(xué)生借助長方形體積計算公式構(gòu)建圓柱的體積計算模型，完成建模環(huán)節(jié)。通過一系列的觀察、對比與分析，一名學(xué)生表示：“我認(rèn)為，長方體的長與寬在體積計算公式中可以看作是長方體底面積，那我們是否可以將圓柱的體積計算公式設(shè)想為高×底面積？”最終這名學(xué)生構(gòu)建圓柱的體積模型為V=h×r2×π。學(xué)生通過自主構(gòu)建數(shù)學(xué)知識模型，推導(dǎo)出了本節(jié)課的主要知識內(nèi)容——圓柱的體積計算公式。

由此可見，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能夠有效發(fā)展學(xué)生的建模能力，培養(yǎng)學(xué)生通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。在教學(xué)中，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生進一步驗證已經(jīng)構(gòu)建的模型，驗證學(xué)生的推測，進一步強化學(xué)生的建模自信心，輔助學(xué)生養(yǎng)成借助模型解決數(shù)學(xué)知識的能力。

總之，數(shù)學(xué)建模思想是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的重要思想，也是輔助學(xué)生解決更多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，根據(jù)生活元素構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探究興趣，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識與生活體驗之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師借助數(shù)學(xué)知識構(gòu)建抽象模型，能夠?qū)⒕唧w知識點具象化呈現(xiàn)于學(xué)生眼前，讓學(xué)生對該知識點形成深入理解與認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識，嘗試將知識點轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。

（作者單位：江蘇省南京曉莊學(xué)院濱河實驗學(xué)校）

（責(zé)任編輯? 張妤）