公理化思想在初中數學教學中的運用

黃小燕

公理化思想是指從數學基本概念角度出發，利用純邏輯推理法則，系統演繹數學過程，梳理數學關系。在初中數學教學中運用公理化思想，就是借助基本概念、基本命題進行數學邏輯推理，這一過程就是公理化思想的運用過程，能夠輔助學生更好地掌握數學教材中的多個數學概念、數學公理、數學命題，提高學生對這些命題的掌握與運用能力，培養學生的邏輯思維、推理論證思維與問題解決能力。

一、以公理呈現數學知識，培養學生邏輯思維

公理化思想對于初中數學教學內容具有啟示作用。在初中數學教學中，教師要強調對已有數學知識的運用和對已有數學學習經驗的結合。教師在進行數學概念類知識教學時，應該努力創設數學情境，激發學生對數學知識的原有認知，讓學生在原有認知結構中引入新學習的數學知識與基礎概念，思考新的學習內容，順利參與數學概念類知識學習。教師還需要思考如何在公理化視域下呈現數學內容，如何將公理化與新課程改革要求有機結合。公理化思想就是借助數學基本概念、基本命題展開的數學邏輯推理過程，側面提出了對學生邏輯思維、推理能力、問題分析與解決能力的要求，這與《課程標準》要求的數學核心素養的培養不謀而合。因此，需要選取數學知識內容化，以一種較為嚴謹的公理化方式構建數學概念、命題的邏輯思考空間，逐漸讓學生在推理中接觸公理化方法思想內核，發展學生的邏輯思維能力。

以初中數學《直線、射線、線段》的教學為例。這節課的數學概念類知識包括：線段、直線、射線特征概念，線段、直線、射線之間的區別概念。在原本的數學教學中，教師需要通過“畫一畫、比一比”的方式引導學生觀察、對比與分析，歸納提煉概念知識，還需要通過“一點出發畫無數條射線”的學習活動，輔助學生體會“兩點確定一條直線”的道理。為了讓學生體會公理化思想，逐漸掌握公理化方法，教師梳理本節課及本單元的知識點與概念，引入“希爾伯特公理體系”，借助其中的基本概念——點、線、面基本元素、結合關系、順序關系、合同關系，借助其中的基本公理——過兩點有一條直線、過兩點至多有一條直線、直線上至少有兩點且至少三點不在一條直線上等。在列出公理體系之后，教師借助多媒體視頻播放這些公理的動態演示圖，提出問題：借助基本公理進行推演，如何證明“過兩點有一條直線”“過兩點至多有一條直線”。學生會在原本對“線段”的認知結構中進行擴大與延伸，發現其與曾經學習的“線段”屬于同一知識體系，進一步拓展學生已有知識體系。之后學生結合“兩點之間線段最短”論證“過兩點至多有一條直線”這一基本公理，這一過程中學生經歷了“畫出過一點的直線”“嘗試畫出過兩點的多條直線”的動手操作與思考過程，這一過程是學生利用線段公理論證直線公理的過程，能夠進一步梳理學生的思考路徑，發展學生的邏輯思維。

二、以公理演繹論證過程，培養學生論證推理能力

公理化思想的運用能夠幫助學生合理推理數學關系，論證數學猜想，發展學生的數學論證推理能力。推理就是學生根據已有的數學知識、學習經驗，在主觀思想影響下，運用觀察、分析、實驗、歸類、類比、直覺等思維形式，構建出符合客體的認知過程，而這一過程的正確性是需要證明的，其結論是受到主觀思想影響的。論證推理則不同，它是不受主觀情感影響的，是完全基于客觀條件，根據數學基本公理，在一步步的證明過程中推理出來的，具有更強的說服力。在初中數學的學習中，一些情況并不能夠直接達到論證推理條件，這就需要合理利用數學公理、基本概念、基本命題演繹論證過程，驗證數學猜想與命題，得到較為準確的答案。

比如，在初中數學《角》的教學中，教師可以引入關于角的數學公理——“兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等”，“角邊角”公理是證明兩三角形全等的重要公理之一。在黑板上畫出一個△A'B'C'，提出論證推理要求：使用何種公理可以論證三角形的類型、角大小問題，運用這一公理的推理過程是什么？學生此時紛紛根據已有的三角形學習經驗、三角形知識儲備，提出：使用角邊角公理（ASA）可以對其進行論證，具體過程為“△A'B'C'，A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，作A'B'=AB，在A'B'的同旁作∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E交C”，此時可以得到△A'B'C'的三個角大小相等。之后，教師還可以結合學生對“線”部分概念的學習情況，提出要求：之前我們在學習“線段、直線、射線”時已經開始嘗試驗證基本命題與公理，今天可以利用量尺，分別測量你身邊的直角、鈍角、銳角，驗證“角的公理”。學生借助角的公理與定理——“同角或等角的余角相等”“同角或等角的補角相等”“三個內角的和等于180°”“直角三角形的兩個銳角互余”，一邊測量一邊驗證與推理，得到結論：這些公理在實際測量與計算過程中都是正確的，在幫助學生掌握“角的大小比較方法”的同時發展學生的論證推理能力，讓學生進一步掌握公理方法。

三、以公理梳理解題思路，培養學生數學問題解決能力

在初中數學學習過程中，演繹推理是解決數學問題的主要方法之一，學生開始嘗試利用數學公理、概念、定理等內容分析數學題目條件，演繹推理數學問題，導出證明數學猜想，得到數學答案。這種方法雖然能夠幫助學生形成良好的問題解決能力，但是學生掌握這一方法的過程仍需要教師給予指導與提點。初中數學問題的演繹推理，其本質思想與公理化方法是相一致的，就是借助基本概念、基本命題進行邏輯思考，能夠發展學生的邏輯思維能力、論證推理能力，鍛煉學生的問題解決能力。因此，教師仍舊要將公理化思想作為主要指導，在學生解決數學問題時，讓學生逐漸認識到“解題方法與公理化方法是一致的”，從而梳理學生的解題思路，讓學生將公理化論證過程作為主要解題過程。

在初中數學“運算”部分的學習中，數的幾條運算性質可以看作是簡單的公理，學生可以運用這幾條性質解決數學運算中的多種問題。比如：實數的運算性質、函數的運算性質、加法結合律、乘法序性質等。在《不等式》教學中，根據性質①“不等式兩邊都加（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變”，性質②“不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變”，性質③“不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變”，教師提出數學問題：當a>0時，3a>2a;當a<0時，3a<2a這一命題是否準確？學生將不等式的三個性質作為基本公理，利用教師提出的問題假設“a”的數分別為“1”“0”“-1”，分別驗證3a與2a的計算結果，將結果進行大小比較，發現“-1×3”小于“-1×2”，“1×3”大于“1×2”，符合基本公理描述，從而得到結論為命題正確，進一步鍛煉學生的公理化思想方法運用能力，發展學生的問題解決能力。

綜上所述，在中學數學教學中結合公理化思想，可以使學生更好地理清數學概念、辨別命題與定理之間的關系，實現邏輯思維能力、推理論證能力的發展。在中學數學教學中培養學生運用公理化方法，是一個漫長且艱巨的過程，需要教師結合初中數學知識特點，借助數學問題、數學概念，為學生提供公理化方法使用環境，讓學生在數學基本概念知識學習、數學論證推理、數學問題解決的過程中逐漸掌握公理化方法。

（作者單位：江蘇省南通市海門經濟技術開發區中學）

（責任編輯? 曉寒）