低功耗設備常用儲能元件的Peukert模型適用性分析

代紅麗，張 瀟，謝 健，劉 偉，胡順仁

(重慶理工大學電氣與電子工程學院，重慶 400054)

近年來，隨著半導體、計算機和無線通信等技術的不斷進步，無線傳感器網絡和物聯網技術的應用日益廣泛[1]。這類網絡的節點通常由低功耗、低成本的無線收發器、微控制器和傳感器等元件構成，具有計算能力低、能量開銷小等特點。這些低功耗設備可以由儲能元件提供正常運行所需的電量，因此更能滿足大規模現場部署的需求，特別是在一些難以維護的應用場景[2]。此外，這類設備的工作電流較低，通常小于100 mA，同時為了有效延長使用時間，設備需要在工作/休眠狀態之間頻繁切換，因此其工作電流并不是恒定的[3]。

低功耗設備常用的儲能元件包括堿性電池、鋰亞電池和超級電容等。文獻[3]指出考慮到部署成本，以堿性電池為主要代表的一次電池往往是無線傳感器節點供電的首選。對于環境較為惡劣且對工作時間要求較高(通常以年為單位)的應用場景，鋰亞電池更有優勢，因為這種電池具有極低的自放電率和極寬的工作溫度范圍[4]。此外，對于能夠從環境中收集太陽能、風能等的應用場景，超級電容由于在充放電次數上的優勢已成為可充電電池不可或缺的補充[5]。

為了降低與儲能元件維護相關的成本，需要確保每個節點具有盡可能長的工作壽命。為了實現上述目標，有必要根據剩余電量對節點工作進行調度，以充分利用儲能元件，從而降低系統的維護開銷[6]。常用的剩余電量估計方法包括開路電壓法、安時積分法、卡爾曼濾波法以及神經網絡法等。然而，這些方法不是需要中斷節點的正常工作，就是計算量較大，難以滿足節點的實際需求。由于Peukert 模型能夠建立儲能元件使用時間與放電速率之間的關系，經過適當變形和處理，其亦可用于剩余電量的估計[7-9]。同時，由于Peukert 模型較為簡單，這類估計方法非常適合無線傳感器節點等低功耗設備。

目前，基于Peukert 模型的估計方法已經被推廣到各種儲能技術中，比如鉛酸電池、氫鎳電池[7]、鋰電池[8]、超級電容器等[10]。文獻[7-9]分別針對氫鎳電池、鋰電池和超級電容進行了基于Peukert 模型的恒流放電時間估計。在適用性研究的基礎上，文獻[11]分析了超級電容Peukert 常數與端電壓、老化條件和工作溫度的依賴關系。然而，現有研究存在三個比較明顯的問題：(1)主要面向電動汽車等大電流應用場景和恒定電流(或恒定功率)工況，未考慮低功耗設備所面對的工作模式頻繁切換的小電流工況；(2)未考慮堿性電池、鋰亞電池等常用的一次儲能元件，特別是鋰亞電池這種在惡劣環境中常用的儲能元件，現有研究幾乎沒有涉及；(3)主要面向單一類型的儲能元件研究Peukert 模型的估計準確性，沒有針對常用儲能元件進行橫向對比分析。

基于此，本文以小電流工況下Peukert 模型對于常用儲能元件的適用性為研究目標，通過實驗，對比分析了堿性電池、鋰亞電池和超級電容的Peukert 模型適用性，所得結果對進一步研究Peukert 模型在小電流工況下的性能具有重要的指導意義。

1 Peukert 模型

Peukert 模型最早用來描述鉛酸電池的放電容量隨放電電流的變化趨勢[9]，指出當放電電流減小時，所釋放的電荷量增加。Peukert 模型描述了電池有效工作時間隨等效放電電流的變化過程，在放電過程中，等效放電電流I的k次方與有效工作時間t的乘積是一個常數，如公式(1)所示：

式中：I為等效放電電流；t為從初始電壓放電至截止電壓所用的放電時間；k為Peukert 常數，其取值與儲能元件的電化學體系、材料和結構有關；C為一個經驗常數。為了得到Peukert常數k與經驗常數C，對公式(1)取對數并適當處理，可得：

這意味著，放電時間的對數和等效放電電流的對數成線性關系。因此，通過實際測量儲能元件的等效放電電流和放電時間，就可以通過線性回歸方法擬合得到Peukert 常數k和經驗常數C，從而得到目標儲能元件的Peukert 模型。已知經驗常數C和Peukert 常數k后，即可根據等效放電電流計算出目標儲能元件的有效放電時間。

2 實驗

考慮到低功耗設備所面對的工作模式頻繁切換的小電流工況，本文選擇將儲能元件串聯不同阻值的電阻進行恒阻放電實驗，如圖1 所示，利用NI USB-6361 數據采集儀進行數據采集，采樣率設置為1 Hz。NI USB-6361 是一款具有16 位精度且支持多通道輸入的數據采集儀，其在單通道輸入時的最大采樣率能達到1 MHz[12]。

圖1 恒阻放電實驗電路設置

堿性電池、鋰亞電池和超級電容三類常用儲能元件的主要參數如表1 所示。堿性電池和超級電容的截止電壓均設置為0.9 V，以滿足節點正常工作的電壓要求[3]。考慮到鋰亞電池的安全性要求，其截止電壓按照數據手冊的要求設置為2.0 V[13]。對于超級電容，在每次放電實驗之前，使用直流穩壓源對其進行足夠長時間的充電[9]。

表1 各電路結構的關鍵指標

為了減小儲能元件制造容差的影響，所測試的每類儲能元件均選擇同一廠家生產的同一批次產品。在放電過程中，NI USB-6361 數據采集儀記錄儲能元件的端電壓變化并傳輸至PC 端。使用LabView 軟件實時顯示采集數據，并以TDMS格式的文件進行保存。

對于每類儲能元件，選擇8 種不同阻值的電阻進行放電實驗。由于這三類儲能元件的標稱起始電壓和最大放電電流不同，因此所選擇的阻值亦不相同，如表2 所示。鋰亞電池可承受的最大持續放電電流為50 mA，因此選取的放電電阻不能低于72 Ω，而超級電容和堿性電池并無此條件限制。在8 組恒阻放電數據中，選擇5 組數據用于模型訓練，擬合得到對應儲能元件的Peukert 常數k和經驗常數C，而剩余3 組數據用于對擬合得到的Peukert 模型進行驗證。

表2 用于擬合和驗證的恒阻放電電阻 Ω

3 實驗結果與分析

分別對超級電容、堿性電池和鋰亞電池的恒阻放電數據進行處理，得到其等效放電電流與放電時間的關系，如圖2 所示，對于三種儲能元件而言，隨著等效放電電流的增大，放電時間均呈指數下降趨勢。

圖2 三類儲能元件等效放電電流與放電時間的關系

使用Matlab 對所選擇的訓練數據取對數后進行線性回歸，超級電容、堿性電池、鋰亞電池的Peukert 模型參數擬合結果如圖3 所示，對所得線性模型的斜率取反即可得到Peukert常數k，而線性模型的截距即為經驗常數C的自然對數。

圖3 三類儲能元件的Peukert模型參數擬合

為了量化擬合效果，分別計算上述線性回歸的擬合優度R2。擬合優度R2表示回歸方程對觀測值的擬合程度，可以取0～1 的任何值，其值越接近1，表示擬合效果越好。超級電容、堿性電池和鋰亞電池的擬合優度分別為0.996 0、0.999 4 和0.993 5，均非常接近1，表明擬合效果均很好。根據式(1)和擬合得到的參數，可得超級電容、堿性電池和鋰亞電池的Peukert 模型，分別如式(3)～(5)所示：

使用剩余3 組數據對擬合得到的Peukert 模型進行驗證，即根據Peukert 模型和等效放電電流計算得到放電時間的估計值，并與實測值進行對比。通過絕對誤差和相對誤差來評價Peukert 模型的適用性，其計算公式如式(6)～(7)所示，其中，tp是放電時間估計值，tm是放電時間實測值。此外，還計算了兩種誤差的平均值，如表3 所示，其中，#1、#2 和#3 分別對應表2 中用于Peukert 模型驗證的三種放電電阻的阻值。

由表3 可知，就單一儲能元件而言，雖然訓練數據的等效放電電流范圍涵蓋了驗證數據的等效放電電流范圍，但Peukert 模型對不同放電電流的估計誤差仍存在較大的差異。從整體來看，在目標工況下，Peukert 模型對這三類儲能元件均是適用的。然而，對于超級電容，使用Peukert 模型的估計準確性要低于堿性電池和鋰亞電池，其平均相對誤差為5.891%，而后兩者的平均相對誤差分別只有2.898% 和2.931%。超級電容的誤差較大，主要是由于自放電的影響。與堿性電池和鋰亞電池相比，超級電容的自放電更為顯著[11]。當放電電流較大時，放電時間較短，因此自放電的影響可以忽略不計。然而對于小電流恒阻放電工況，由于放電時間較長，因此放電階段由于自放電而產生的能量損失明顯增加。由于Peukert 模型無法描述自放電效應，因此必然會帶來較大的估計誤差。

表3 Peukert 模型的驗證誤差

4 結論

本文通過在小電流工況下對超級電容、堿性電池和鋰亞電池進行恒阻放電實驗，研究并對比了Peukert 模型對這三種儲能元件的適用性。實驗結果表明，對三種儲能元件進行恒阻放電時，放電時間和等效放電電流之間存在較為明顯的指數關系。進一步驗證可以發現，使用擬合得到的Peukert 模型對放電時間進行估計時，堿性電池的平均相對誤差最小，為2.898%，鋰亞電池次之，為2.931%，而超級電容的稍大，為5.891%。這意味著在目標工況下，Peukert 模型對超級電容、堿性電池和鋰亞電池均適用。所得結果對進一步研究Peukert模型在小電流工況下的性能具有重要的指導意義。