機電產品不完全數據可靠性評估方法

傅惠民， 付越帥， 李子昂

（北京航空航天大學小樣本技術研究中心， 北京 100191）

0 引言

在機電產品壽命試驗、生物試驗、外場調查等工程實際中，由于受試驗條件限制和一些無法預料的因素影響，試驗中經常出現中止數據，從而形成不完全數據，其中隨機截尾的不完全數據一直是工程上統計分析的難題。目前， 主要采用極大似然方法對不完全數據進行統計分析[1]，但是無法進行高置信度的可靠性評估和壽命預測。對此，文獻[2]建立了不完全數據的秩分布，給出平均秩和百分位秩公式， 解決了百分位值和百分率的置信區間估計問題，在此基礎上，文獻[3]提出一種不完全數據最佳線性無偏估計方法，文獻[4]給出一種區間統計量及其分布，用于區間刪失數據的統計分析，文獻[5]建立一種不完全數據可靠性評估和壽命預測方法。 本文進一步從理論上推導出指數分布不完全數據的可靠度和可靠壽命單側置信下限公式，并在形狀參數或其下限已知的情況下，建立了兩參數Weibull 分布的可靠度和可靠壽命單側置信下限公式， 從而可以根據隨機截尾不完全數據對機電產品進行高精度小樣本可靠性評估。

1 指數分布不完全數據可靠性評估方法

設產品壽命t 服從平均壽命為θ 的指數分布，對應的概率密度函數f（t，θ）和可靠度函數R（t，θ）分別為

上述是基于式（7）和式（8）進行證明的，如果基于式（7）和式（9）進行證明，則證明過程中的置信度均需改為置信水平。 也就是說，無論基于式（8）還是式（9），下式均成立

此時，式（23）只與產品由r 個失效數據t1，t2，…，tr和n-r個未失效數據tr+1，tr+2，…，tn組成的不完全壽命數據有關，而與原先選取的試驗至t0時刻的產品試樣數據無關。 由此可知，式（3）成立，且滿足式（4）。

根據式（23）和置信限曲線的等同性可知，當給定時間t 時，根據產品由r 個失效數據t1，t2，…，tr和n-r 個未失效數據tr+1，tr+2，…，tn組成的不完全壽命數據，可以求得該產品置信水平為γ 的可靠度R（t）單側置信下限RL，γ由式（5）給出，且滿足式（6）。 至此，式（3）和式（5）證畢！

上面的證明過程巧妙之處在于： 首先通過引入一個試驗至t0時刻的產品試樣， 得到客觀真實的而不是人為主觀的先驗分布式（7）～式（9），然后再令t0→0，移除其在后驗分布中的影響，得到只與r 個失效數據t1，t2，…，tr和n-r 個未失效數據tr+1，tr+2，…，tn組成的不完全數據有關的可靠壽命單側置信下限式（23），即式（3）。

定時截尾和定數截尾數據是不完全數據的兩種特殊情況。 與它們的計算公式相比，對于定時截尾情況是相同的：定時截尾可靠壽命單側置信下限公式與式（3）完全相同，可靠度單側置信下限公式與式（5）完全相同，并且均滿足置信水平γ 的要求。 對于定數截尾情況略有差別：定數截尾可靠壽命和可靠度單側置信下限公式即為將式（3）和式（5）中的χ2γ（2r+2）替換為χ2γ（2r）后的表達式，其給出的是置信度， 而本文給出的是置信水平， 略偏于保守，但是兩種公式均成立。

2 Weibull 分布不完全數據可靠性評估方法

對于機電產品壽命t 服從兩參數Weibull 分布的情況，工程實際中形狀參數α 或其下限α0通常可通過以往試驗數據等獲得， 例如波音公司統計得到： 鋁合金結構α0＝4；鈦合金結構α0＝3；鋼結構α0＝2.2。 因此，下面給出形狀參數α 或其下限α0已知情況的Weibull 分布不完全數據可靠性評估方法。

2.1 形狀參數已知時的可靠性評估方法

設產品的一組隨機截尾的不完全壽命數據，其中有r個失效數據t1，t2，…，tr和n-r 個未失效數據tr+1，tr+2，…，tn，則可以證明，該產品置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命單側置信下限為

式（24）和式（26）證畢！

2.2 形狀參數下限已知時的可靠性評估方法

對于形狀參數α 未知但其下限α0已知的情況，可以證明，當給定的可靠度R 滿足

對比式（24）和式（39），可知式（34）給出的tRL，γ的置信水平仍為γ。 進一步還可證明，式（38）不等式右邊部分為形狀參數α 的單調減函數，所以當式（33）成立時，式（38）和式（39）也必然成立，從而式（34）成立。 證畢！

同樣方法，可以證明式（36）成立（略）。

3 算例

已知某零部件的疲勞壽命N 服從兩參數Weibull 分布，且形狀參數α=3.8。 表1 列出了該零部件的一組不完全壽命數據，其中總試樣數n=6，失效數r=1，下面采用本文方法對該零部件進行可靠性評估。

表1 某零部件不完全壽命數據

根據式（24），可求得該零部件置信水平γ=0.95、可靠度R=0.999 的可靠壽命單側置信下限NRL，γ為

4 結論

采用可靠性更新方法， 從理論上推導出指數分布不完全數據的可靠度和可靠壽命單側置信下限公式， 并在形狀參數或其下限已知的情況下，給出了兩參數Weibull分布的可靠度和可靠壽命單側置信下限公式， 從而建立一種機電產品不完全數據可靠性評估方法， 可以根據隨機截尾不完全數據對機電產品進行高精度小樣本可靠性評估。