改進LMS 算法的仿真及其分析

吳柯蒙， 魏春雨

（沈陽建筑大學機械工程學院， 遼寧沈陽 110180）

0 引言

隨著科學技術與生產的發展，機械設備工作強度不斷增大，對工業生產中常用的旋轉機械的故障監測與診斷具有重大的工程實踐意義。 其中，振動信號分析是機械故障診斷技術中最有效的分析方法。由于每一個部件在運行過程中都有自己的振動特征，因此采用自適應信號處理對所測得的振動信號進行信號處理是十分有效的方法。

自適應信號處理方法能夠在迭代的過程中調整自身的參數，適應外界環境變化帶來的影響，并通過誤差信號調整自適應濾波器的系統參數。 1959 年，Widrow 和Hoff等人研究模式識別機時首次提出的最小均方（LMS）算法[1]是自適應算法中的使用方法最簡單且最常用的一種。該算法因為在處理實時信號時精度較高、穩定性較強，并可以在最大程度上保留該信號的信號特征而被廣泛應用信號降噪。 傳統的LMS 算法核心思想是通過對初始化的濾波器系數依據最小均方差準則進行不斷修正，進而使系統的系數隨著輸入序列而改變。但是，傳統LMS 算法的步長固定， 而想要提升算法的收斂速度需要有較大的步長值，與此同時為有較低的系統穩態誤差， 需要采用較小的步長值，二者很難兼得。由此可見，提升算法收斂速度時會加大系統的穩態誤差和穩態失調。 因此，許多學者對通過控制LMS 算法中的步長因子等方法來減小二者的矛盾[2-4]，通過該算法進行濾波解決降噪等方面的實際問題[5-7]。

1 傳統的LMS 算法

LMS 算法迭代公式如下：

假設時間為n 時，輸入信號矢量X（n）=[X1（n），X2（n），…，Xn（n）]T，自適應處理器的加權系數矢量W（n）=[w1（n），w2（n），…，wn（n）]T，則由圖1 自適應算法結構原理圖可得出[7]：

圖1 結構原理圖

2 改進的LMS 算法

針對LMS 算法常出現的收斂速度與穩態誤差相互矛盾等問題，本文對一些學者提出的變步長LMS 算法及應用進行了學習和分析。

文獻[9]中引入了一個步長反饋因子P（n）=pP（n）+X（n）e（n）。 該算法利用其二范數與誤差信號的相關值共同控制μ 值， 步長反饋因子中加入了輸入信號作為因變量，可以精確地跟蹤系統的變化。

文獻[10]更新權系數向量為：

W（n+1）=W（n）+2μX（n）e（n）+d[W（n）-W（n-1）]+d2[W（n-2）-W（n-1）]

其中，d 取值為d=0.001（d 為一個極小的數）。為解決步長下降至最小值過快的問題，該算法增加兩個動量項，有效的防止了輸入信號功率驟增所引起的算法發散。

綜上所述，以上三種算法都有各自的優點與缺點。

針對收斂速度與穩態誤差之間的矛盾問題， 本文提出了以下改進方法：通過參數α、β 分別調節因變量的取值大小和函數圖像的開口大小； 為加強輸入信號與步長之間的關系，提高算法系統跟蹤能力，引入一個步長反饋因子P（n）；Q（n）中加入誤差的相關值估計η（n）代替e2（n）調節步長因子來控制過去狀態對當前狀態的影響，提高算法抗干擾能力，降低算法對輸入噪聲的敏感性；更新權向量W（n），利用兩個動量項防止信號突變所帶來的算法發散，加強算法的穩定性。

綜上所述，改進后的算法流程為：

式（8）中，帶入步長反饋因子Q（n）的二范數調整算法在并未完全收斂時的收斂速度， 增強了算法的抗噪能力。 式（9）是當前數據與歷史數據的變化比。 式（10）中，Q（n）用于控制函數取值范圍，m 是用來調節自相關估計值對步長的影響， 一般取值大于1，k 是一個接近于0 的正值，是用來調整過去數據影響的遺忘因子。 算法中α、β、q、r、p 為常數，調整函數圖像開口大小與取值范圍，其中p、q 取值接近于1，r 為接近于0 的正值。

本文算法結合了上述三種算法的優點：①計算簡單；②具有較強的系統跟蹤能力； ③降低了輸入向量自相關矩陣特征值分散程度對算法的影響。

由于參數α 和β 對步長有較大影響，為了能夠更好的篩選出二者的最優值范圍，展示本文所提出的變步長算法的最佳狀態，通過仿真分別討論兩個參數的取值范圍和對算法的影響。 仿真實驗分別從，α 固定、β 變化和α 變化、β固定兩種情況下，討論步長因子與誤差函數之間的關系。

當α、β 兩參數對步長的取值有較大影響， 并且從圖2、圖3 中明顯看出：誤差值相同時，α 越大，β 越小，步長取值越小。 由圖可知，當e（n）→0 時，μ（n）→0，雖然步長因子μ（n）隨誤差函數e（n）的變化呈非線性變化，但該圖像在趨近于0 的部分變化過快， 會導致算法未完成收斂時收斂過快，穩態誤差變大，因此，需要對參數在實際應用中進行詳細的討論。

圖2 參數α 對步長的影響

圖3 參數β 對步長的影響

3 仿真實驗分析

4 與其它算法對比分析

為體現本文所提出的算法具有更優秀的性能，本文算法與以下三種算法進行比較，其中函數關系式與最優參數設定如下：

圖4、圖5 分別為信噪比（SNR）的值為1、15 和30時，理想輸出信號與各算法濾波后的對比。通過圖像可明顯看出不同信噪比對定步長LMS 算法與NLMS 算法影響較大，但對于改進后的文獻[8]中算法與本文算法影響不大， 并且從整體來看本文算法得到的曲線與理想值更接近，曲線更快趨于穩定狀態。

圖4 LMS 算法與NLMS 算法濾波后與理想輸出信號曲線比較

圖5 文獻[8]算法與本文算法濾波后與理想輸出信號曲線比較

圖6 為均方誤差曲線、圖7 為誤差信號曲線，通過分析圖像， 本文算法與其他算法相比收斂明顯更快，能夠更快的到達穩定狀態，抗干擾能力更強且系統穩定性更好。

圖6 四種算法均方誤差曲線對比圖

圖7 四種算法誤差信號曲線對比圖

5 結論

本文對已有的一些變步長LMS 算法與步長因子進行了結合改進，對LMS 算法進行了改進，更有效的解決了算法收斂與穩態誤差之間的矛盾問題， 并加強了系統的跟蹤能力和抗干擾能力。通過仿真實驗表明，在信噪比不同的情況下，本文算法在收斂速度、抗干擾能力與濾波能力均有增強，并且能夠更快速更有效的處理振動信號，達到降噪的目的。