碳纖維布加固具多裂紋RC梁振動分析

陳業豐，陳得良

(長沙理工大學 土木工程學院，湖南 長沙 410114)

鋼筋砼梁結構作為重要的承重結構，在現代土木工程中應用廣泛，但它在制造和服役過程中極易產生裂紋。裂紋的存在將對結構剛度、強度、穩定性及使用壽命產生很大影響。就含裂紋砼結構的靜、動力學問題，Hamed E.等在考慮砼和預應力筋材料非線性的基礎上，運用虛功變分原理推導了含裂紋預應力梁的控制方程，通過數值算例研究了裂紋對預應力梁固有頻率的影響；王丹生等在結構振動波傳播理論的基礎上，把裂紋看作彎曲彈簧，利用斷裂力學理論分析了單裂紋砼梁裂紋深度和位置對梁動力特性的影響；余志剛等采用勒讓德正交多項式作為形函數，利用能量原理建立梁的高階有限元動力模型，提出了識別斜梁裂紋的計算方法；易偉建等利用Hilbert-Huang變換對含裂紋梁的脈沖錘擊試驗的跨中加速度進行分析，識別梁的非線性動力特征；陳得良等考慮裂紋應力強度因子和柔度系數的關系及鋼筋約束，基于Timoshenko梁理論建立含裂紋梁動力學方程，用三角級數展開分析方程，分析了裂紋深度、密集度、鋼筋約束對梁固有頻率的影響；劉峰引入裂紋強度因子，建立FRP加固具單裂紋梁的控制方程，研究了單裂紋對FRP加固梁動力響應的影響；Roberto Capozucca對具裂紋PRC/RC梁的振動問題進行試驗研究，結果表明具裂紋鋼筋砼梁非線性對梁的動力響應有很大影響。該文同時考慮鋼筋、碳纖維布的約束效應和含裂紋區域應力集中效應，利用Hamilton原理建立控制方程，采用Galerkin方法進行數值分析，研究裂紋數量、深度對跨中最大位移的影響和裂紋間距、深度及縱向鋼筋和碳纖維布對加固梁位移響應的影響。

1 加固梁受迫振動控制方程的建立

圖1為具多裂紋碳纖維布加固梁模型，加固梁的尺寸為L×2d×2b，As1、As2為受拉、受壓鋼筋的橫截面面積，za1、za2分別為受拉、受壓鋼筋的形心距離中性軸的距離，梁底兩端粘貼一層厚度為t的碳纖維布。設有i條裂紋分布于梁底，第i條裂紋的深度為ai，其與z軸的距離為xci，Psin(wt)為加固梁受到的正弦外力荷載。為方便研究，作如下假定：1)碳纖維布、砼、鋼筋都視為均質彈性材料；2)應變沿梁截面高度線性變化；3)裂紋微小且不閉合；4)不考慮碳纖維布、砼、鋼筋之間的剪切效應。

圖1 碳纖維布加固具多裂紋RC梁簡支模型

對于碳纖維布加固具多裂紋RC梁，其位移模式假設為：

(1)

式中：n為梁底裂紋數量；j=f、s、c，分別表示碳纖維布、鋼筋、砼；u和w分別為微小單元體在x、z方向的位移；Tsφi(x,z)表示裂紋區應力集中效應；Ts=1、0分別表示梁上是否存在裂紋，由于裂紋對應力、應變的影響主要作用于砼上，j=c時Ts=1，j=f、s時Ts=0；φi(x,z)為第i條裂紋對砼的影響因子函數，在x=xci和裂紋尖端處得到最大值，沿x軸向裂紋兩端呈指數衰減[見式(2)]。

e-α/d|x-xci|

(2)

式中：m、α為常數，分別表示裂紋周圍砼應力豎向線性變化的斜率和裂紋尖端周圍砼應力衰減情況，m按式(3)計算，α的取值為1.276；階躍函數u(d-ai-z)表示忽略微小裂紋對中性軸以上砼應力、應變的影響，表達式見式(4)；xci、ai為梁上第i條裂紋與z軸的距離和深度。

(3)

(4)

利用Hamilton 能量原理建立碳纖維布加固具多裂紋RC梁的動力學控制方程，采用變分原理可得：

(5)

式中：U、T、V表示多裂紋加固梁的總應變能、總動能、總外力勢能；t為時間變量。

對于細長梁，砼梁、鋼筋、碳纖維布的動能為：

(6)

式中：j=f、s、c，分別表示碳纖維布、鋼筋、砼；Aj、ρj、Vj分別表示對應材料的截面面積、密度和體積。

砼、鋼筋、碳纖維布的應變能為：

(7)

式中：Ef、Ec、Es分別為碳纖維布、砼、鋼筋的楊氏彈性模量；f(x)、fsi(x)、ff(x)按式(8)計算。

(8)

式中：zsi(i=1,2)、zf分別表示鋼筋和碳纖維布距中性軸的距離。

梁的外力勢能V為:

(9)

式中：q(x,t)為分布荷載。

將式(6)～(9)代入式(5)，并進行分部積分，得：

(10)

式中：α1、α2按式(11)計算。

(11)

2 方程求解

碳纖維布加固具多裂紋RC簡支梁模型的邊界條件為：在x=0和x=l處，δw=0，δw″=0。對w進行變量分離，設：

(12)

將式(12)代入式(10)，得：

(13)

式(13)兩邊同時乘以sin(jπx/l)，并沿梁長積分，得：

(14)

式中：δ(x-l/2)按式(15)計算。

(15)

將式(14)寫成矩陣形式：

(16)

式中：M、K、Q分別為方程的質量矩陣、剛度矩陣和廣義力矩陣，按式(17)～(19)計算；T=[T1,T2,…,Tn]T為n階列向量。

(17)

(18)

(19)

式中：[I]為n×n單位矩陣。

3 計算結果與分析

建立一碳纖維布加固具多裂紋RC梁模型，分析其在簡諧荷載作用下的動力響應。梁長l=2 m，梁半高d=0.1 m，梁半寬b=0.05 m；砼的彈性模量Ec=2.4×104MPa，鋼筋的彈性模量Es=2.1×105MPa，FRP的彈性模量Ef=2.1×105MPa；砼的密度ρc=2 450 kg/m3，鋼筋的密度ρs=7 850 kg/m3，碳纖維布的密度ρf=1 550 kg/m3；碳纖維布厚度t=0.23×10-3m；受拉、受壓鋼筋截面面積As1、As2均為157×10-6m2。

3.1 裂紋數量和深度對梁跨中最大位移的影響

在加固梁跨中處作用大小P=1 kN、頻率為10 Hz的正弦載荷，裂紋均布于梁下側，裂紋深度a分別為0.01、0.03、0.05 m，梁跨中處最大位移見圖2。

圖2 裂紋數量對梁跨中最大位移的影響

由圖2可知：隨著碳纖維布加固梁上裂紋數量n和裂紋深度a的增加，梁跨中最大位移增大；相同裂紋數量下，隨著裂紋深度增加，梁跨中最大位移增大，但增幅變小；裂紋深度較小時，隨著裂紋數量增加，梁跨中最大位移增大；裂紋深度較大時，隨著裂紋數量增加，梁跨中最大位移趨向指數增大。

3.2 裂紋間距和深度對梁位移響應的影響

在梁跨中作用大小P=1 kN、頻率為10 Hz的正弦載荷，裂紋數量n=5條，圖3～5為裂紋深度a分別為0.02、0.05、0.08 m時裂紋間距對多裂紋梁的動力響應。

圖3 裂紋間距對具裂紋梁位移響應的影響(a=0.02 m，n=5條)

圖4 裂紋間距對具裂紋梁位移響應的影響(a=0.05 m，n=5條)

圖5 裂紋間距對具裂紋梁位移響應的影響(a=0.08 m，n=5條)

從圖3～5可以看出：在相同裂紋數量和裂紋深度下，具裂紋梁的最大跨中位移隨著裂紋間距的減小而逐漸增大，但增幅逐漸減小；裂紋深度a分別為0.02、0.05、0.08 m時，裂紋間距l/12和l/6對應的位移差值分別為3.29×10-6、1.59×10-5、2.28×10-5m。說明裂紋深度較小時，裂紋密集程度對梁位移響應的影響較小，但隨著裂紋深度的增加，裂紋間距對位移響應的影響逐漸增大。

3.3 鋼筋和碳纖維布對梁位移響應的影響

在梁跨中處作用大小P=1 kN、頻率為10 Hz的正弦載荷，裂紋間距為l/8，裂紋數量n分別為3、5、7條，鋼筋和碳纖維布對梁跨中處位移響應的影響見圖6～8。

圖6 裂紋數量n=3條時梁的位移響應

圖7 裂紋數量n=5條時梁的位移響應

圖8 裂紋數量n=7條時梁的位移響應

從圖6～8可以看出：具裂紋加固梁在不考慮鋼筋約束時的位移響應最大，同時考慮鋼筋約束作用和碳纖維布時梁的位移響應最小，其值與不考慮碳纖維布作用時加固梁位移響應的差值很小，可忽略不計；不考慮鋼筋約束效應時，隨著裂紋數量的增多，加固梁的位移響應逐漸增大，且增幅很大。對用碳纖維布加固具多裂紋RC梁進行受迫振動分析時，鋼筋的約束作用不可忽略。

4 結論

基于Euler-Bernoulli梁理論，同時考慮鋼筋和碳纖維布對砼的約束效應，引入Tsφi(x,z)函數分析裂紋對周邊砼應力、應變的影響，運用Hamilton原理建立碳纖維布加固具多裂紋RC梁的動力學控制方程，用三角級數展開的數值方法對方程進行分析求解，研究裂紋數量、深度、間距及碳纖維布和鋼筋約束效應對具裂紋梁的位移響應，得到以下結論：

(1)裂紋深度和數量對加固梁剛度有較大影響，隨著裂紋數量和深度的增加，加固梁跨中最大位移逐漸增大。

(2)裂紋密集程度對加固梁剛度有較大影響，裂紋深度和數量相同時，裂紋間距減小會導致含多裂紋加固梁的位移響應逐漸增大，且裂紋深度的增加會加大裂紋間距對位移響應的影響。

(3)碳纖維布對位移響應的影響比鋼筋約束效應的影響小，對碳纖維布加固具多裂紋RC梁進行受迫振動響應分析時，鋼筋的約束作用不可忽略。