“圖形表征”在數學解題中的應用探究

陳姍姍

摘? 要：圖形表征具有直觀性的特點，在平面向量的學習中運用較多，在解題過程中對已知條件、待求問題和解題過程進行表征，能夠簡化運算思路、強化運算法則、優化運算程序.

關鍵詞：圖形表征;數學解題;平面向量

表征是認知心理學中的一個重要概念，是指知識在學生頭腦中的呈現和表達方式. 因此，對問題的表征，既取決于問題本身，又取決于學生對問題的理解. 常見的多元表征有語言表征、符號表征、圖形表征、情境表征和操作表征. 而圖形表征是一種可視化的表征形式，它可以使抽象的問題形象化、復雜的問題簡單化，既有利于教師多角度傳授知識，也有利于學生多方位理解和接受知識. 在簡化運算思路、強化運算法則和優化運算程序上，其優勢更加突出.

平面向量是連接代數與幾何的橋梁，是代數問題幾何化和幾何問題代數化的有效載體. 相較于幾何問題，學生更容易理解代數問題. 但是向量問題的解決僅僅依賴代數方法往往會導致事倍功半或者半途而廢. 因此，巧妙借助圖形表征會產生意想不到的效果.

一、圖形表征已知條件，簡化運算思路

數學題目已知條件的抽象性是學生讀不懂題目的主要原因，把抽象問題具體化是數學學習的常見思路. 向量具有方向性，向量運算不只是數字計算，學生對向量的運算規律不熟悉，容易對理解題意造成影響. 因此，僅從代數角度思考無法讓學生深刻理解向量運算的意義. 根據圖形表征直觀性的特點，如果能把題目中的條件圖形化，就可以使抽象的問題直觀化，促進學生對題目的理解，從而設計運算路徑，簡化運算思路.

題目1? 已知[P]為[△ABC]所在平面內一點，且滿足[AP=15AC+25AB，] 則[△ABP]的面積與[△APC]的面積之比為? ? ? ? .

對于剛接觸平面向量的學生來說，這道題目有一定的難度. 因為學生無法準確地理解已知條件[AP=][15AC+25AB，] 從而無法確定點[P]的位置. 而求解這道題目的關鍵恰恰就是確定點[P]的位置，從而構造[△ABP]與[△APC.] 此題解法較多，但是無論哪種解法，都必須理解[AP=15AC+25AB]的意義. 要么對式子進行變形，要么用圖形對式子進行表征. 經過教師引導及學生討論，總結常見解題方法如下.

方法1：特殊化，構造一個腰長為5的等腰直角三角形，得到[△ABP]與[△APC]的面積之比為1∶2.

方法2：利用向量加法的平行四邊形法則，根據[AP=15AC+25AB]作出平行四邊形，如圖1所示. 可得[S△APE=25S△APB，S△APF=15S△APC.] 而[S△APE=S△APF，] 故[S△APBS△APC=12.]

方法3：如圖2，在[AC]上取一個三等分點[D，] 則[AC=3AD.] 這樣可以得到[P，B，D]三點共線. 可得[S△APD=13S△APC=23S△APB，] 故[S△APBS△APC=12.]

方法4：由題意，得[5AP=AC+2AB.]則[2AP-][2AB+2AP=AC-AP，] 即[-2PA+PB=PC.] 如圖3，以[PA，PB]為鄰邊作[?PAEB，] 則[C，P，E]三點共線. 連接[PE]交[AB]于點[O，] 則[PC=2EP=4OP.] 所以[S△APBS△APC=][2S△APOS△APC=2OPPC=12.]

方法1是對已知條件進行特殊化的圖形表征，作為填空題，這樣做可以有效節省時間，簡化運算. 方法2和方法1類似，用向量加法的平行四邊形法則把已知條件[AP=15AC+25AB]圖形化. 也就是說，只要學生能夠把[AP=15AC+25AB]用圖形表征出來，接下來的面積問題就迎刃而解了，能夠有效簡化運算思路. 解決向量問題，尤其是向量的線性運算問題，圖形表征是常見思路，但是受思維定勢的影響，學生往往想不到對題目中的已知條件進行圖形表征. 方法3則是從三點共線的角度對條件[AP=15AC+25AB]進行表征，當系數之和等于1時三點就共線，于是就想到把[15AC]轉化成[35AD，] 從而得到[AP=35AD+25AB.] 因此易知[P，B，D]三點共線，這樣就確定了點[P]的位置，能夠想到這種方法的學生對三點共線的理解是比較透徹的. 方法4則是先對已知條件進行變形，然后再對變形后的式子[-2PA+PB=PC]用圖形進行表征，從而確定點[P]的位置.

表征的過程就是信息加工處理的過程，學生如果能在多元表征中靈活轉化數學對象，足以說明其對數學對象的理解深度. 題目1的四種解題方法均是先對已知條件進行圖形表征，只是表征的視角不同，但是其目的都是以形解數，即利用圖形的直觀性簡化數的運算，從而得到面積的比值.

二、圖形表征待求問題，強化運算法則

數學問題難以解決的原因之一是學生無法把已知條件和待求問題有邏輯地聯系起來，從而導致思維短路，尤其是向量問題中涉及線性運算法則的題目. 向量的線性運算法則與學生熟知的實數運算法則是不同的，學生對向量的線性運算法則的認識過程是循序漸進的，需要在多種情境中通過不同的表征形式進行剖析、理解和內化. 向量的模是學生理解的難點，尤其是經過線性運算后的向量的模，學生更不容易理解. 事實上，求解這類問題的關鍵是對運算法則的理解，只要能夠對向量的模進行圖形表征，通過圖形強化向量的運算法則，就能夠加深學生對概念的理解. 因此，在教學中，教師應該緊扣向量具有幾何特征這一關鍵點，對其進行圖形表征，以便學生直觀理解向量的線性運算法則.

題目2? 已知[a=b=2，a · b=-2，] 若[c-a-b=1，] 則[c]的取值范圍為（? ? ）.

（A）[12， 32] （B）[12， 52]

（C）[2，3] （D）[1，3]

部分學生在求解這道題時，首先想到利用向量的絕對值三角不等式從代數的角度進行解答，也就是由[c-a-b=c-a+b≥c-a+b，] 得[a+b-1≤c≤][1+a+b.] 接著求出[a+b]的值為2代入即可.

另外一種方法是圖形法，即用圖形表征待求問題中的[c.] 首先，把[c-a-b=1]變形為[c-a+b=1;] 其次，根據[c-a+b]的結構特點，利用向量的減法法則可知其幾何意義是[c]與[a+b]的差的模，根據平行四邊形法則作出[a+b;] 再次，根據向量減法的三角形法則作出[c-a+b;] 最后，根據圖4所示的圖形即可求解.

從這兩種方法來看，第二種方法的思維難度較大，但是從學習向量的意義來說第二種方法更好. 從代數法到幾何法，學生得到的不僅是這道題的答案，更是思維品質的發展，并且由圖形可以更加直觀地反映出向量減法的本質，可以說把向量減法的幾何特征發揮得淋漓盡致. 數學教學要在學生思維的關鍵點進行啟發和引導，以形解數不僅直觀，而且避免了煩瑣的計算. 因此，在向量教學中，要著重強調形對數的直觀闡釋，從形的角度強化運算法則，多角度提高學生的運算能力.

題目3 （多選題）已知[e1，e2]是兩個單位向量，當[λ∈R]時，[e1+λe2]的最小值為[32，] 則下列結論正確的是（? ? ）.

（A）[e1，e2]的夾角是[π3]

（B）[e1，e2]的夾角是[π3]或[2π3]

（C）[e1+e2=1]或[3]

（D）[e1+e2=1]或[32]

作為一道多選題，題目3要解決的問題包括向量的夾角及和向量的模. 如何用圖形進行表征呢？經過題目1的訓練，學生已經具備了對已知條件進行圖形表征的活動經驗，再加上題目2做鋪墊，學生基本能夠想到對[e1+λe2]進行圖形表征，即用向量加法法則及向量的數乘構造出[e1+λe2，] 如圖5所示.

很明顯，當[e1+λe2]與[λe2]垂直時，[e1+λe2]取最小值，最小值為[32.] 再根據[e1=1，] 易知[e1，e2]的夾角是[π3]或[2π3.] 繼而可求得[e1+e2=1]或[3.] 利用圖形，沒有過多的運算就解答了此題. 圖形表征的準確、簡明、直接，不僅有助于簡化計算，而且有助于學生理解. 除了對解題思路的理解，還有對運算法則的理解. 當然，從數的角度也能夠求解題目3，即對[e1+λe2]平方后變形，然后用求函數最值的思想進行解答. 但是這種解法無法顯示向量既有數的特征又有形的特征的特殊性，也不利于后續其他內容的學習.

題目2和題目3顯然都是對向量線性運算法則的理解，在圖形表征的方式中強化向量的加法法則和減法法則. 其中既有向量的加法、減法，也有向量的數乘，通過這樣的圖形表征，學生進一步理解了向量的線性運算的意義. 向量的線性運算是向量學習的起點，也是關鍵點，僅從數的角度學生很難理解，借助圖形表征，學生可以非常清晰地理解，同時進一步強化對運算法則的理解.

三、圖形表征解題過程，優化運算程序

受解題經驗和思維定勢的影響，學生在解題過程中不善于根據解題過程及時調整思路、優化運算程序. 事實上，如果能夠在解題過程中對部分運算結果進行分析，則會產生“峰回路轉、柳暗花明”的效果. 向量的運算就有這樣的特點，對數進行圖形分析往往會發現數的特殊性，從而優化運算程序.

題目4? 已知[a=1， b=3，] 且[a-b=2，] 則[a+b]的值為? ? ? ? .

此題不難，對[a-b=2]進行變形化簡，得到[a · b=3.] 然后將其代入[a+b=a+b2=a2+2a · b+b2，] 即可得到[a+b=4.] 然而，有的學生從不同視角發現了亮點：由[a · b=3，] 得到向量[a，b]的夾角是[0°，] 從而迅速作圖;由已知條件再結合向量的絕對值三角不等式，可以知道向量[a，b]是同向的. 本是從數的角度解答此題，但由于在解答的過程中發現了圖形的美妙，從而對題目條件和待求問題進行了重新分析，優化了運算程序，既提高了解題的正確率，也提升了學生的運算能力.

部分學生在解題過程中往往會被一種解法牽制，不能夠及時變通，從而導致要么算不下去，要么花了大量不必要的時間和精力. 解題的過程不是單純的計算過程，而是要一邊運算一邊結合已知條件和待求問題進行思考，并針對得到的部分結果調整解題思路，進而優化運算程序. 尤其對于一些入口較窄的題目，只有在運算過程中不斷分析，才能更好地構建運算路徑.

數學運算不是一氣呵成的，而是需要不斷分析條件、嘗試解答、再分析、再優化的過程，這中間彎路和錯誤難以避免，只有不斷試錯，運算能力才能得到逐步提高.

多元表征有利于加深學生對數學知識的理解，有利于學生構建良好的知識結構，有利于增強學生全面審視問題的能力，并且有利于幫助學生形成最優的解題策略.

圖形表征具有直觀、簡潔的特點，有利于從形的角度簡化運算，在解決向量問題中優勢十分明顯. 數學解題是需要策略的，只花時間和精力進行計算是遠遠不夠的，要在運算思路、運算法則和運算程序上多下功夫.

參考文獻：

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