加權(quán)迭代最小二乘法在線估計鋰電池容量研究

崔一凡，鄭岳久

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

0 引言

面對日趨嚴重的能源短缺與環(huán)境污染問題，環(huán)境友好的電動汽車應用越來越廣泛。鋰離子動力電池作為電動汽車的核心部件，具有比能量高、功率密度大、質(zhì)量輕等優(yōu)點。車輛運行時，電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）中的電池狀態(tài)估計影響車輛的整體控制，尤其是關(guān)乎電池的安全性與耐久性。容量作為電池的重要性能參數(shù)，是BMS 中所有管理算法的重要輸入。然而，電動汽車使用過程中的充放電循環(huán)會使鋰離子電池老化、性能逐漸降低，電池容量的在線精準估計成為一項難題。

目前關(guān)于電池容量估計的研究比較豐富，估計方法分為基于經(jīng)驗模型的容量預測方法與基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的容量估計方法兩種。基于經(jīng)驗模型的容量預測方法利用電池的使用循環(huán)歷史實現(xiàn)容量的估計與預測，例如Song 等研究了動態(tài)工況下電池的壽命衰減情況，但由于經(jīng)驗模型為開環(huán)模型，精度難以保證；韓雪冰對容量衰減模型進行在線校正，但考慮到實際工況的復雜性、電池的一致性以及經(jīng)驗模型參數(shù)的失配問題，電池容量的在線估計仍難以實現(xiàn)。基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的容量估計方法主要利用充放電數(shù)據(jù)實現(xiàn)電池容量的預測與估計，根據(jù)原理可分為基于電池的某種特征和基于充放電電量變化與對應荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）變化之比兩大類。基于電池特征的容量估計方法一般適用于恒流充電工況，常用特征包括電池差分電壓（Differential Voltage，DV）、充放電曲線以及增量容量（Incremental Capacity，IC）曲線等。但該類方法的電池特征參數(shù)多從完整的充放電曲線中提取，耗時長且不符合實車運行狀況。基于充放電電量變化與對應SOC 變化之比的方法又稱為SOC-電量增益法，適用于動態(tài)工況下的電池容量估計。常用SOC-電量增益法為兩點間累計電量法，簡稱為“兩點法”，即選擇兩個不同時刻點，根據(jù)兩點間的SOC 變化值與電量變化值求得電池容量。但該法中兩點的選擇多基于經(jīng)驗，有很大隨意性。基于此，本文在SOC-電量增益法的基礎(chǔ)上提出一種基于全SOC 區(qū)間內(nèi)的電池容量估計方法，降低了隨機選擇導致的誤差，有效提高了在線估計精度。

1 SOC-電量增益法研究現(xiàn)狀

SOC-電量增益法的原理如式（1）所示，SOC 與電池容量的關(guān)系可表示為：

式中，

C

為電池總?cè)萘浚?p>ΔQ

為電量變化量，

ΔSOC

為SOC 變化量，

SOC

(

t

)為

t

時刻電池的荷電狀態(tài)，

SOC

(

t

)為

t

時刻電池的荷電狀態(tài)，

I

(

t

)為

t

時刻的電池電流，

η

為庫倫效率（一般

η

≈1），3 600 為將秒換算成小時的因數(shù)。

作為一個間接量，SOC 不能直接被測量，通常通過對狀態(tài)參數(shù)的計算得到。目前主流的SOC 估計算法包括開路電壓法、基于現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)估計方法等。開路電壓法是一種直接且復雜度較低的方法，然而獲得準確的開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）值需要滿足長時間靜置的條件，因此在車輛行駛過程中并不能保證容量估計的準確度。基于現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)估計方法是目前常用方法，其通過最優(yōu)估計算法直接或間接地進行SOC 估計，進而預測電池容量。常用最優(yōu)估計算法包括最小二乘法（Least Squares，LS）、卡爾曼濾波法（Kalman Filter，KF）以及粒子濾波法（Particle Filter，PF），復雜度均較高。

SOC-電量增益法本質(zhì)上是一個線性回歸問題。基于此，Plett提出一種加權(quán)總最小二乘（Weighted Total Least Squares，WTLS）法，將電流傳感器噪聲與SOC 誤差噪聲納入考慮，以實現(xiàn)電池容量的精確估計。使用線性回歸的方法不僅可以避免兩點法存在的缺點，還可以通過添加權(quán)重減少電量積分精度和SOC 估計精度對電池容量估計的影響。

根據(jù)以上研究結(jié)果，本文提出一種基于OCV 的容量在線估計方法，使用加權(quán)迭代最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares，IRLS）提高在線估計的精度和魯棒性，實現(xiàn)全SOC 區(qū)間的電池容量估計。該法首先基于一階RC 模型，采用帶遺忘因子的最小二乘法（Forgetting Factor Recursive Least Square，F(xiàn)FRLS），在不同電池壽命條件下進行OCV 在線辨識；其次利用OCV 在線估計結(jié)果間接獲得SOC 值，基于SOC-電量增益法的思路，使用IRLS算法估計電池容量。該法能克服兩點法存在的隨意性，在動態(tài)工況下具有較高的容量估計精度和較小的計算量。

2 容量在線估計方法

2.1 基于FFRLS算法的OCV 在線辨識

等效電路模型簡單實用、精度可靠，在BMS 系統(tǒng)中廣泛使用。常用的電池等效電路模型為

n

-RC 模型，該模型包含描述電池OCV 的電壓源部分和描述電池內(nèi)部各種擴散與活化極化過程的RC 并聯(lián)元件。理論上，RC 元件的個數(shù)越多，模型精度越高，但也增加了計算的復雜程度。一階和二階RC 模型能較為準確地描述電池動態(tài)特性，且計算量適中，因此成為三元鋰離子電池（LiNiCOMnO，NCM）的首選。考慮到一階RC 模型已經(jīng)可以達到足夠高的端電壓估計精度，且模型結(jié)構(gòu)更簡單，計算量更小，因此選取該模型進行OCV 的在線辨識。如圖1 所示，一階RC 模型包括理想電源（用OCV 表示）、歐姆內(nèi)阻

R

以及一個RC 并聯(lián)元件。模型的外特性方程可表示為：

式中，

U

為極化內(nèi)阻兩端電壓，

U

為輸出端電壓，

I

為電流，

R

為極化內(nèi)阻，

τ

為時間常數(shù)，

τ

=

R

C

。

Fig.1 First-order RC model圖1 一階RC 模型

帶遺忘因子

λ

的FFRLS算法能消除時變參數(shù)系統(tǒng)中舊數(shù)據(jù)對新數(shù)據(jù)辨識結(jié)果的影響，提高算法的收斂速度以及辨識時變參數(shù)的能力，適用于動態(tài)工況下的參數(shù)辨識。標準的最小二乘形式為

y

=

φθ

+

e

，帶遺忘因子

λ

的FFRLS算法遞歸方程如表1 所示。一般情況下

λ

=0.95

～

1，經(jīng)過參數(shù)調(diào)整，發(fā)現(xiàn)

λ

=0.98 時，辨識結(jié)果具有良好的穩(wěn)定性與收斂速度。根據(jù)一階RC 模型的外特性方程，確定算法的輸出向量、輸入向量以及待辨識參數(shù)的具體表達式，并代入表1 中的遞歸公式，即實現(xiàn)了FFRLS算法的參數(shù)辨識。

Table 1 Parameter identification process of FFRLS algorithm表1 FFRLS 參數(shù)辨識過程

2.2 一階RC 模型的參數(shù)辨識方案

一階RC 模型中包含OCV、歐姆內(nèi)阻

R

、極化內(nèi)阻

R

和時間常數(shù)

τ

4個參數(shù)，隨著電池的老化，模型參數(shù)也隨之發(fā)生變化，因此需要進行在線辨識。理論上以上4個參數(shù)均需要辨識，但由于觀測量只有電壓、電流信號，若待辨識參數(shù)數(shù)量較多，實際應用時可能會出現(xiàn)結(jié)果波動的情況。因此，為提高算法的可靠性且降低計算復雜度，可以簡化待辨識參數(shù)，只辨識對模型輸出精度影響較大的部分參數(shù)，將其他參數(shù)當作與SOC 相關(guān)的已知參數(shù)。模型中不同參數(shù)對輸出精度的影響程度不同，可用模型參數(shù)的敏感性描述。文獻［9］對電池整個SOC 范圍和生命周期內(nèi)的模型精度進行分析，考察各參數(shù)的敏感性，最終確定歐姆內(nèi)阻

R

為敏感性最高的關(guān)鍵參數(shù)。因此可以認為，本文采用的一階RC 模型輸出精度受歐姆內(nèi)阻

R

的影響較大，受極化內(nèi)阻

R

和時間常數(shù)

τ

的影響較小。即隨著電池的老化，歐姆內(nèi)阻

R

作為影響模型精度的關(guān)鍵參數(shù)，應不斷進行辨識與更新，而極化內(nèi)阻

R

和時間常數(shù)

τ

則可作為已知參數(shù)。通過以上分析，確定待辨識參數(shù)為OCV 和歐姆內(nèi)阻

R

。

根據(jù)一階RC 模型確定FFRLS算法的輸出與輸入向量，將式（3）變形為式（4），得到算法的輸出向量、輸入向量及待辨識參數(shù)分別如式（5）、式（6）、式（7）所示。

式中，

U

為實測端電壓值；極化電壓

U

由式（8）迭代計算得到，其中

R

、

τ

、

R

均由當前SOC 查表得到。基于新鮮電池25℃條件下的新標歐洲循環(huán)測試（New European Driving Cycle，NEDC）測試數(shù)據(jù)和遺傳算法得到極化內(nèi)阻

R

和時間常數(shù)

τ

的初始值，以此作為參考值。

2.3 采用加權(quán)迭代最小二乘法的容量估計

最小二乘線性回歸問題的本質(zhì)是求(

y

-

Δy

)=

kx

的解，該式假設(shè)在因變量

y

上存在噪聲。將式（1）變形為：

式中，

x

表示一段時間間隔內(nèi)電量的變化，

y

表示對應時間間隔內(nèi)SOC 的變化；

β

為常數(shù)值，

β

為系數(shù)值，均屬于待估值；

ν

包含SOC 估計過程中的各類誤差噪聲。

電池總?cè)萘恐档挠嬎愎綖椋?/p>

SOC 由OCV 在線估計值查表得到，因變量

y

易出現(xiàn)異常值或隨機誤差項

ν

，從而產(chǎn)生異方差性，此時再采用最小二乘法估計模型會使參數(shù)精度降低且不具有漸近有效性。因此，引入迭代加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)，采用IRLS 代替最小二乘法進行參數(shù)量估計。根據(jù)前一次回歸殘差大小確定因變量

y

中各觀測值的權(quán)重，將SOC 存在的誤差或異常值情況考慮在內(nèi)。

將式（10）轉(zhuǎn)換為矩陣形式，表示為：

式中，

Y

為

n

*1 觀測向量；

X

為

n

*2 已知矩陣；

H

為參數(shù)估計量，

H

=[

β

,

β

]；

V

表示隨機誤差向量。利用最小二乘法解得參數(shù)

H

的估計值為：

3 耐久性實驗

選用同一批次的4個18650 電池進行循環(huán)壽命實驗，實驗參數(shù)如表2 所示。將溫度、充放電倍率和放電深度作為影響電池老化的因素，設(shè)計如表3 所示的實驗方案。實驗在45℃、25℃和10℃溫度下交替進行，分別代表夏季高溫、常規(guī)溫度以及冬季低溫的工作條件；電池充放電循環(huán)過程中的SOC 范圍分別為0%～100%和30%～80%，放電深度（DOD）為100%和50%；以標準充電電流0.9A 進行充電，選擇6A、3A 的大倍率電流進行放電以加速電池老化。

Table 2 Basic parameters of the tested batteries表2 電池基本性能參數(shù)

Table 3 Experimental scheme表3 實驗方案

圖2 為實驗流程，包括一個循環(huán)周期的電池衰減、基本性能測試以及對應的NEDC 動態(tài)工況測試，其中基本性能測試包括標準容量測試和電池混合脈沖功率性能測試（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）。

Fig.2 Experiment procedure圖2 實驗流程

首先進行25℃下的基本性能測試與NEDC 動態(tài)工況實驗，隨后調(diào)節(jié)溫度至某一衰減環(huán)境溫度并以0.9A 的標準充電電流將電池SOC 調(diào)至實驗所需狀態(tài)，最后按所設(shè)放電電流進行一個循環(huán)周期的充放電循環(huán)。當電池在某一衰減環(huán)境溫度下完成一個充放電循環(huán)周期后，調(diào)節(jié)溫度至25℃進行基本性能與NEDC 測試。在每個衰減環(huán)境溫度下重復以上過程2次，整個實驗周期以電池容量衰減至20%為結(jié)束點。

4 實驗結(jié)果與分析

4.1 電池衰減特性

共獲得4 塊電池包括初始狀態(tài)在內(nèi)的14 次標準容量測試數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果表明，4 塊電池的容量逐漸減少，容量保持率逐漸下降，具體如圖3 所示。雖然電池還未衰減至電池壽命終止值，但通過已有數(shù)據(jù)足夠驗證算法的估計效果。

Fig.3 Measured capacity results圖3 容量測試結(jié)果

25℃下的HPPC 測試可以獲得電池OCV 和內(nèi)阻數(shù)據(jù)。以Cell2 電池為例，初始狀態(tài)下標定的OCV-SOC 曲線如圖4 所示。一般研究中默認鋰離子電池的OCV-SOC 曲線隨電池衰減變化不明顯，在算法的開發(fā)過程中統(tǒng)一采用電池初始狀態(tài)下的OCV-SOC 曲線作為標定參數(shù)。但在由OCV辨識結(jié)果間接估計SOC 的過程中，因OCV 與SOC 的對應關(guān)系隨壽命變化而導致的SOC 估計誤差是本文需要考慮的因素。

Fig.4 OCV-SOC curve of cell 2 in initial state圖4 Cell 2 初始狀態(tài)下OCV-SOC 曲線

采用遺傳算法，根據(jù)NEDC 實驗數(shù)據(jù)可以實現(xiàn)一階RC模型參數(shù)的線下辨識。圖5 為基于Cell2 電池NEDC 數(shù)據(jù)的模型參數(shù)辨識結(jié)果，可以看出隨著實驗的進行，模型參數(shù)均有增大趨勢。

Fig.5 Model parameter identification results at different aging levels of Cell 2圖5 Cell 2 不同衰減程度下參數(shù)辨識結(jié)果

4.2 OCV 在線辨識結(jié)果

以Cell2 電池為例，基于新鮮電池25℃下NEDC 動態(tài)工況數(shù)據(jù)得到的OCV 和歐姆內(nèi)阻參數(shù)辨識結(jié)果如圖6 所示。圖中OCV 的參考值為根據(jù)當前SOC 值插值查表得到，

R

參考值為根據(jù)HPPC 測試計算出的

R

值查表得到。可以看出，參數(shù)在線辨識結(jié)果整體上與參考值基本吻合。以第32次循環(huán)和第224次循環(huán)的Cell 2為例，圖7（a）為電池在不同老化程度下的OCV辨識結(jié)果；圖7（b）為根據(jù)圖7（a）的OCV辨識結(jié)果，由SOC-OCV標定曲線間接估計出的SOC估計值。

Fig.6 Parameter online identification results based on NEDC operating conditions of fresh batteries圖6 新鮮電池NEDC 工況參數(shù)在線辨識結(jié)果

4.3 容量估計結(jié)果

基于Cell2 電池的SOC 估計結(jié)果和NEDC 數(shù)據(jù)，兩點法與本文提出的IRLS算法在不同衰減程度下的電池容量估計結(jié)果和精度對比如圖8 所示。從圖中可以看出，兩點法估計誤差大且穩(wěn)定性較低，而IRLS算法在整個SOC 范圍內(nèi)能夠保證較高的估計精度，且誤差穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)。圖9 為使用IRLS算法得到的Cell1、Cell3、Cell4 3 塊電池在不同衰減程度下的容量估計結(jié)果，圖中容量實測值由耐久性實驗環(huán)節(jié)中的標準容量測試得到。可以看出，IRLS算法的容量估計精度較高，誤差均在2%以內(nèi)。

Fig.7 Identification results under different cycles圖7 不同衰減程度下參數(shù)辨識結(jié)果

Fig.8 Capacity estimation results of Cell 2圖8 Cell 2 容量估計結(jié)果

Fig.9 Capacity estimation result of Cell 1，3，4圖9 Cell 1、3、4 容量估計結(jié)果

5 結(jié)論

本文基于SOC-電量增益法的容量估計思路，采用IRLS 法計算

ΔQ

與

ΔSOC

之間的線性關(guān)系，在全SOC 區(qū)間實現(xiàn)了容量的在線估計。首先利用FFRLS算法實現(xiàn)包含OCV 和

R

的一階RC 模型參數(shù)在線辨識，然后通過OCV 辨識結(jié)果查表間接得到SOC 估計值。在容量估計過程中，IRLS算法采用的迭代加權(quán)避免了兩點法選點的隨機性以及SOC 估計存在的誤差，確保了容量估算精度。通過模擬實車運行條件進行不同老化條件下的電池耐久性實驗以及相應的NEDC 動態(tài)工況測試，結(jié)果表明，與兩點法相比，IRLS算法具有更高的估計精度和更好的魯棒性。本文采用的是18650 電池，在后續(xù)研究中，會考慮其他電池的衰減特性，對模型的選擇以及對應的參數(shù)辨識方案進行改進，提高算法的普適性。此外，亦會考慮將本文方法與適用于恒流工況的容量在線估計方法相結(jié)合，以實現(xiàn)對全工況的容量估計。