考慮多性能約束的車輛主動前輪轉向靜態輸出反饋控制

毛營忠， 馮智勇， 郭會茹

(武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室；汽車零部件技術湖北省協同創新中心， 武漢 430070)

近年來，以提高汽車安全性與舒適性為目標的先進駕駛人輔助系統(ADAS)已成為社會的研究熱點.作為ADAS的關鍵技術之一，基于主動前輪轉向(AFS)的人機共駕技術成為研究人員關注的重點.其中，AFS系統可根據車輛狀態產生輔助轉角對駕駛人轉角進行修正，從而對橫擺角速度進行跟蹤控制來提高車輛的安全性與操縱穩定性.

由于車輛運動的強非線性和不確定性，AFS的控制方法一直是研究的重點[1].文獻[2]基于模型預測控制(MPC)，通過對障礙物信息的實時檢測來提高AFS系統的性能，從而提高車輛在不同軌跡下的跟蹤效果.文獻[3]將滑模控制方法應用到AFS中來實現對車輛期望橫擺角速度的跟蹤，提高了線控轉向車輛的操作穩定性.文獻[4]基于非線性輪胎模型提出一種新型線性時變MPC方法以提高極限工況下AFS車輛的穩定性.文獻[5]提出了一種基于等價輸入干擾估計的轉向控制方法，通過估計器估計控制輸入通道上的等效擾動來抑制外界干擾對車輛的影響.文獻[6]由相平面法出發提出了AFS系統的介入原則，并設計了AFS系統的滑模變結構控制器，使緊急救援車輛的穩定性和安全性得到改善.文獻[7]研究差動助力轉向(DDAS)系統與AFS系統之間的協調控制問題，通過對電機轉角與方向盤轉矩的實時修正來降低兩者之間的干擾，提高車輛的轉向性能.

由于在抑制外部擾動與解決模型參數不確定性方面的優越性，魯棒控制方法在AFS系統中的應用是目前的研究熱點之一.文獻[8]基于AFS系統的動態特性，考慮了車輛輪胎側偏剛度的不確定性，設計一種參數能夠綜合魯棒控制方法來提高車輛的路徑跟蹤性能.文獻[9]提出一種模型跟蹤與內模控制混合的二自由度魯棒內模控制技術，解決了AFS控制中系統性能與魯棒性之間的矛盾，提高了橫擺角速度的跟蹤性能.文獻[10]基于魯棒控制的方法設計了AFS系統的雙環控制器以抑制干擾并改善車輛橫擺角速度的跟蹤性能.文獻[11]考慮外界擾動與模型不確定性，提出一種基于線性矩陣不等式的AFS魯棒控制方法，將橫擺角速度與質心側偏角作為約束以保證系統的魯棒穩定性.文獻[12]研究側向風的干擾問題，考慮系統的H∞性能指標設計了AFS系統的輸出反饋魯棒控制器，同時避免了對車輛質心側偏角的測量，降低了控制器的設計成本.文獻[13]建立了歸一化左互素因子分解(LCF)模型來處理模型中的不確定性，從而設計了考慮H∞性能約束的魯棒控制器，并且加入了前饋控制，提高了系統的性能.文獻[14]將含有不確定性參數的車輛模型轉化為線性參數可變(LPV)模型，并設計了考慮系統的H2與H∞性能約束的靜態輸出反饋(SOF)魯棒控制器.

SOF控制問題的求解一直是控制領域的難點和熱點問題[15].文獻[16]提出了一種坐標轉換矩陣(CTM)優化方法來求解線性系統的最優H2SOF、H∞SOF控制問題.與已有的一些基于線性矩陣不等式(LMI)方法相比，該方法最突出的優點是能得到局部最優解.由于CTM方法不需要復雜的非線性優化技術，使用簡單，可推廣到不確定性系統的魯棒控制問題.至今為止，CTM方法都是應用于線性連續或離散時不變系統，還從未應用于不確定性系統的研究.本文針對AFS系統控制問題，考慮輪胎側偏剛度的不確定性，建立車輛側向動力學多胞型模型.首次將CTM優化方法擴展應用于該類不確定性系統以解決基于SOF控制器的系統極點配置與H∞性能約束控制問題.通過對CTM的引入，并應用具有塊三角結構的松弛變量，提出考慮參數不確定性的LMI充分條件.擴展運用CTM優化方法，通過對多個CTM的迭代更新來求解模型各個頂點處的LMI以得到最優SOF控制器，保證對期望橫擺角速度的精確跟蹤，提高車輛側向穩定性.最后在MATLAB/Simulink和CarSim的聯合仿真試驗中驗證所設計控制器的可行性與有效性.

1 模型的建立

1.1 二自由度車輛模型

主動轉向系統主要研究車輛橫向運動特征，考慮側向與橫擺兩個方向的運動，建立二自由度車輛動力學模型如圖1所示.其中：vx和vy分別為車輛的縱向與側向速度；v為車輛實際速度；lf和lr分別為車輛質心到前、后軸的距離；ω為車輛橫擺角速度；Fyf和Fyr分別為汽車前后輪的輪胎側向力；αf和αr分別為車輛前、后輪側偏角；δf為車輛前輪轉向角；β為車輛質心側偏角.

圖1 二自由度車輛模型Fig.1 Two-degree-of-freedom vehicle model

當車輛前輪轉向角度不大時，車輛側向動力學模型可描述為

(1)

式中：m為汽車質量；Iz為車輛橫擺轉動慣量.

假設輪胎的側偏特性位于線性范圍內，則輪胎側偏力與側偏角具有如下近似關系：

Fyf=2kmfαf，Fyr=2kmrαr

(2)

(3)

式中：kmf和kmr分別為車輛前、后輪側偏剛度.當汽車質心側向速度較小時，質心側偏角可表示為β=vy/vx.

把式(2)和(3)代入式(1)，可得：

(4)

AFS控制器的作用是使車輛迅速跟蹤理想模型的質心側偏角以及橫擺角速度，將理想二自由度車輛模型所得到的理想質心側偏角設置為0，理想橫擺角速度滿足：

(5)

(6)

(7)

1.2 駕駛人模型

本文采用基于單點預瞄的駕駛人模型來進行車輛的路徑跟蹤，采用傳遞函數形式，由車輛與期望路徑之間的側向位置偏差來計算的最優方向盤轉角為[17]

(8)

式中：Gh為轉向比例增益；s為拉氏變換變量；tL為駕駛人微分時間常數；td1和td2分別為駕駛人的純延遲和肌肉延遲；ΔY(s)為車輛側向位置偏差，可表示為

ΔY(s)=Ye(s)etps-(Y(s)+vxtpψ(s))

(9)

其中：Ye(s)etps和Y(s)分別為車輛在期望路徑預瞄點處和實際的側向位置；tp為駕駛人預瞄時間；ψ(s)為車輛的橫擺角.

2 靜態輸出反饋控制器的設計

2.1 車輛動力學多胞型模型與問題描述

線性二自由度車輛模型中側偏剛度為一定值，但車輛在實際行駛中，受路面附著系數、輪胎垂直載荷變化等影響，側偏剛度具有不確定性.因此，基于飽和線性輪胎模型，對側偏剛度進行修正[18]：

kf=qfkmf,kr=qrkmr

(10)

式中：kf、kr分別為修正后前、后輪的側偏剛度；qf、qr為修正系數.

設qf、qr分別在區間[qfmin,qfmax]、[qrmin,qrmax]內變化，則這兩個參數可組成4個頂點：

(11)

將式(10)代入式(6)，可得線性時變的系統矩陣和輸入控制矩陣為[18]

Φ0+qfΦ1+qrΦ2

(12)

(13)

由式(11)與(12)可得各頂點處的局部狀態矩陣為

(14)

取采樣時間tsam=0.001 s，采用歐拉方法對各頂點處狀態空間的系統模型進行離散化可得[19]

x(k+1)=Ax(k)+B1w(k)+B2u(k)

(15)

(16)

式中：I為單位矩陣.

由式(16)可知，車輛動力學系統模型式(15)實質上是一個多胞型模型，系統矩陣和輸入控制矩陣可表示為如下形式[20]：

(17)

考慮到車輛的側向速度通常需要使用高性能傳感器來測量，因此從實際應用出發，采用基于輸出反饋的控制方法，選取x2、x3作為系統測量輸出變量，則有：

y=C2x+D21w

(18)

(19)

為保證實際橫擺角速度能夠跟蹤理想橫擺角速度，并使質心側偏角的理想值與實際值偏差盡量小，選取橫擺角速度與質心側偏角跟蹤誤差為系統的控制輸出，即

z=C1x+D11w

(20)

(21)

將式(18)和(20)進行離散化處理，結合式(15)，用于設計AFS控制器的車輛側向動力學模型可表示為

(22)

考慮SOF控制器的設計，其控制律可定義為

u(k)=Ky(k)

(23)

式中：K∈R1×2為控制增益矩陣，R1×2為所有1×2個實矩陣的集合.由式(18)可知，式(23)就相當于比例-積分(PI)控制.

將SOF控制器應用到系統式(22)中，可得以下閉環系統：

(24)

Acl=A+B2KC2,Bcl=B1+B2KD21

(25)

所設計的控制器應使系統在存在參數不確定性時具有魯棒穩定性，并且保證系統具有良好的動態與穩態性能.設Ezw為系統式(24)中由w到z的閉環傳遞函數，則控制目標可以表述為：對于一給定的正標量γ，為系統式(22)找到一個合適的控制器式(23), 使得閉環系統式(24)漸近穩定且滿足‖Ezw‖∞<γ；同時將閉環系統的所有極點配置在圓心在(-a, 0)，半徑為b的圓盤區域N(a,b)內.

2.2 靜態輸出反饋魯棒控制器設計

本節設計使系統同時滿足極點配置約束與H∞性能約束的SOF控制器，同時需要考慮系統模型參數的不確定性.SOF控制器的設計是一個困難的非凸問題，文獻[16]和[21]提出了一種CTM優化方法.

定義Tbj為一坐標轉換矩陣，當B2cj為一列滿秩陣時，則有：

(26)

以下引理給出了CTM的一個參數化解[15].

引理1當系統控制矩陣B2cj為一列滿秩矩陣時，總存在一非奇異矩陣Tbj∈R3×3使得式(26)成立，且有：

(27)

CTM在解決SOF控制問題上起了至關重要的作用，本文將在后續中加以說明.

以下兩個引理分別描述了線性時不變系統區域極點配置約束和H∞性能的約束[15, 22].

引理2閉環系統矩陣Acl的所有特征值都落在圓盤N(a,b)內，當且僅當存在一個正定矩陣P∈R3×3與矩陣S∈R3×3，使如下矩陣不等式成立：

(28)

引理3閉環系統(24)是穩定的并且滿足‖Ezw‖∞<γ當且僅當存在一個正定矩陣P∈R3×3與矩陣S∈R3×3，使得以下矩陣不等式成立：

(29)

通過適當運用CTM和松弛變量技術，文獻[22]提出了同時考慮系統區域極點配置約束和H∞性能約束的LMI充分條件，但并未考慮系統參數的不確定性，因此不能直接用于SOF控制器的設計.為解決這一問題，本文提出如下定理：

(30)

(31)

j=1, 2, 3, 4

(32)

那么存在一個SOF控制器使得系統(22)穩定且閉環系統式(24)滿足‖Ezw‖∞<γ，并且閉環系統矩陣Acl的所有特征值都位于圓盤N(a,b)中.在式(32)中表示的Tbij即為考慮參數不確定性的非奇異坐標轉換矩陣，i=1, 2,j=1, 2, 3, 4.而系統的靜態輸出反饋控制增益矩陣可表示為

(33)

證明由文獻[15]的定理1可知，式(31)可變換為如式(29)的形式，即

(34)

j=1, 2, 3, 4

成立，其中：

Aclj=Acj+B2cjKC22,Bclj=B1cj+B2cjKD21

(35)

因此，系統在每個頂點處穩定.由式(16)的定義可得：

(36)

則由文獻[20]的定理3.3可知式(34)與式(29)是等價的，即閉環系統式(21)穩定且滿足‖Ezw‖∞<γ.類似地，可以證明系統滿足區域極點配置要求，篇幅所限在此不再贅述.

由式(32)可知，LMI式(30)、(31)的解受坐標轉換矩陣Tbij的選擇影響.更具體地說，式(27)所示的矩陣中常數矩陣Tc1j的選擇將影響LMI式(30)、(31)的可行性，而非奇異矩陣Tc2j的選擇則不會[21].

本文所述的SOF控制器的設計是一個多目標優化問題，其局部最優解可以通過求解以下問題來逼近.

問題1尋找合適的坐標轉換矩陣，Tbij(更具體地說，Tc1j)，i=1, 2;j=1, 2, 3, 4, 使以下凸優化問題的解γ最小.

minγ

s.t. LMI (30) 與 (31)

(37)

因此，如何找到一個合適的矩陣Tc1j是SOF控制器設計過程中的關鍵.基于上述討論，本文應用文獻[23]中提出的NM-HS(Nelder-Mead and Harmony Search)混合算法與文獻[22]中提出的CTM迭代優化算法來求解問題1.首先，應用NM-HS混合算法來設計具有極點配置約束的SOF控制器增益矩陣K1，由初始的K1經過計算得到初始的CTM，Tbj；然后擴展并推廣運用文獻[22]中的算法3，考慮系統不確定性參數的加入，通過對8個常數矩陣Tc1進行迭代更新得到最優的Tbj并同時求解問題1得到γmin以求得局部最優解，再根據式(33)求得對應的SOF控制器.

3 仿真結果及分析

本文應用MATLAB/Simulink和CarSim聯合仿真環境對上節所設計的SOF控制器進行仿真驗證，仿真工況選擇雙移線工況和蛇形線工況，聯合仿真框圖如圖2所示.在AFS系統中，本文設計的SOF控制器用來計算圖2中的輔助轉向角δfc.

圖2 聯合仿真控制框圖Fig.2 Block diagram of co-simulation control

假設期望路徑已預先通過路徑規劃得到.仿真中使用的整車模型選擇為CarSim中的E-Class/Sedan，參數如表1所示，輪胎與路面的附著系數設為0.85.為了更好地表現控制器的控制效果，將駕駛人模型選擇為非熟練駕駛人，駕駛人特征參數設置為Gh=0.7,td1=0.06 s,td2=0.2 s,tL=0.09 s.由于駕駛人預瞄時間與駕駛人自身、車輛行駛速度和行駛工況等因素有關，所以在進行雙移線工況與蛇形線工況仿真中，將預瞄時間分別設置為0.58 s和0.53 s.

表1 仿真車輛模型參數Tab.1 Simulation vehicle model parameters

3.1 雙移線工況仿真

在進行雙移線工況仿真時，車速設置為24 m/s，應用NM-HS混合算法以及迭代算法對問題1進行求解，極點配置區域選擇為N(0, 0.99)，可求得初始的H∞范數γini=22.510 2，對應的初始SOF控制器增益矩陣Kini=[0.199 75.255 7]，經過CTM迭代優化后的H∞范數的最小值γmin=18.368 6，此時SOF控制器增益矩陣Kopt=[4.698 372.427 4]，仿真結果如圖3所示.其中：ωerr為橫擺角速度跟蹤誤差；ay為側向加速度；δ為車輛轉角；X和Y分別為縱向與側向位移；t為仿真時間.

圖3 雙移線工況仿真對比結果Fig.3 Simulation comparison results under double line shifting conditions

由圖3(a)可以看出，經過優化后的SOF控制器可以大幅度地降低車輛橫擺角速度的跟蹤誤差，提高車輛的跟蹤性能.通過圖3(b)～3(d)可知，與初始控制器相比，優化后的SOF控制器控制效果更好；在優化控制器的作用下，車輛的橫擺角速度、質心側偏角以及側向加速度均明顯減小且快速達到穩態，說明車輛的舒適性與安全性得到提高.同時可以看出，施加控制后車輛的前輪轉角、橫擺角速度與質心側偏角響應速度加快，提高了車輛橫擺角速度的跟蹤性能.由圖3(e)和3(f)可知，優化后的控制器加入使前輪產生了一個額外的輔助轉角以確保跟蹤性能.當不施加控制時，僅依靠所建立的非熟練駕駛人模型雖然也能完成雙移線工況試驗，但是出現了較大的側向偏移量，路徑跟蹤效果不理想.施加控制后，駕駛人可順利地完成路徑跟蹤操作，且跟蹤誤差較小.上述結果表明，所設計的AFS魯棒控制器可以顯著提高車輛的操縱穩定性并改善乘坐舒適性.

3.2 蛇形線工況仿真

在進行蛇形線工況仿真時，車速設置為20 m/s，此時通過求解問題1可求得初始的H∞范數γini=15.145 8，對應的初始SOF控制器增益矩陣Kini=[0.306 19.981 3]，經過CTM迭代優化后可得H∞范數的最小值γmin=12.650 8，SOF控制器增益矩陣Kopt=[5.458 893.699 3]，仿真結果如圖4所示.

由圖4(a)可以看出，與初始控制器相比，優化后的控制器可進一步降低車輛的橫擺角速度跟蹤誤差.由于在初始控制器作用下車輛的橫擺角速度跟蹤誤差已達到一較小值，所以圖4(b)～4(d)中所示的兩種控制器的控制效果差別不大.同時由圖4(a)和4(e)可知，蛇形線工況下車輛的橫擺角速度跟蹤誤差在由優化后的SOF控制器產生的輔助轉角干預下大幅度降低，大大提高了橫擺角速度的跟蹤性能.圖4(d)～4(f)表明了施加控制后車輛的橫擺角速度、質心側偏角以及側向加速度均有不同程度的減小，說明了車輛的舒適性與穩定性都得到提高.同時由圖4可以看出，在優化控制器的作用下車輛的前輪轉角、橫擺角速度和質心側偏角的響應速度加快，從而保證了橫擺角速度的跟蹤性能.由圖4(f)可以看出，施加優化控制后車輛路徑跟蹤誤差明顯減小，AFS系統可很好地輔助駕駛人完成路徑跟蹤操作.綜上所述，所設計的AFS魯棒控制器可以很好地跟蹤期望的橫擺角速度，提高車輛極限工況下的操縱穩定性.

圖4 蛇形線工況仿真對比結果Fig.4 Simulation comparison results under serpentine line working conditions

4 結語

本文設計了一種基于SOF的AFS魯棒控制器，以提高車輛對期望橫擺角速度的跟蹤性能.為了處理系統側偏剛度的不確定性，建立了車輛側向動力學多胞型模型.通過對CTM與松弛變量的應用，提出了考慮系統不確定性的使系統滿足極點配置與H∞性能約束的充分條件，并首次將CTM優化方法推廣應用到具有不確定性的系統的魯棒H∞SOF控制器的設計問題，以提高系統的動態與穩態性能并保證良好的魯棒性.MATLAB/Simulink和CarSim的聯合仿真結果表明在雙移線和蛇形線等極限工況下SOF控制器能使車輛很好地跟蹤理想橫擺角速度，顯著提高車輛的操縱穩定性并改善乘坐舒適性.在極限工況下車輛輪胎進入非線性區，仿真結果也說明了SOF控制器能使系統保持良好的魯棒性.