課程思政背景下的復合函數求導*

陳小燕 秦勇 梁素梅

（云南機電職業技術學院）

復合函數求導是導數與微分章節的重難點內容，是導數計算中的“橋梁”，上接一般函數的導數計算，下連“隱函數、冪指函數、參數方程確定的函數”三大函數的導數計算。若復合函數導數計算未掌握，便在高等數學的學習中形成了阻礙，其難度打擊了不少學生學習高等數學的積極性，故而復合函數求導也是高等數學授課教師多年來積極探討的內容之一。筆者于2021年11月19日在知網上以“復合函數導數”為主題進行搜索，搜索到586條記錄，其數量接近“高等數學課程思政”的兩倍，本文是在高等數學課程思政實施的背景下，對復合函數求導的一種新的教學嘗試。

一、高等數學課程思政介紹

“課程思政”于2014年在上海被提出，是指將思想政治教育貫穿于教育、教學全過程，將思想政治教育融合于通識課、專業課教學中，與思想政治理論課同向同行，實現全員、全程、全方位育人，從而達到立德樹人目的。

云南機電職業技術學院于2019年開始課程思政建設，分三批立項，迄今共建25門課程思政，既有公共基礎課、也有專業課，高等數學課程思政項目于2020年立項，迄今實施課程思政教學1.5個教學周期。在我院的高等數學課程思政教學中，項目組組建了融合式教學團隊，將思政教師納入團隊，負責團隊的思想政治理論培訓和案例的思想意識把關，團隊制定了課程思政的授課計劃和教案，明確了“教什么”“怎么教”，充分挖掘了高等數學課程中的思想政治元素，在教學設計中做到了“兩結合一貫穿”，即將數學知識的傳授和價值引領相結合，將培育和踐行社會主義核心價值觀與培養具有工匠精神的技能人才相結合，將中華民族優秀傳統文化、數學文化貫穿始終截至目前，團隊研討開發課程思政案例十余例，錄制課程思政授課視頻數段，充分利用網絡資源，采用線上線下混合式教學，經問卷星調查，學生對引入的思政元素滿意度、對教師的教學滿意度達到88.5%，提高了高等數學課程的教學質量。

二、課程思政背景下復合函數求導教學設計

復合函數求導是導數計算中的重難點內容，是學生學習高等數學的一大阻礙，此重難點內容打擊了部分同學的學習積極性。故而，筆者在本章節的教學設計中引入了堅持不懈、攻堅克難的科學家故事，引導同學們鍥而不舍、迎難而上，培養同學們勇于嘗試和探索的科學研究精神；筆者在本章節的教學實施中分析了復合函數求導公式的邏輯性和對稱性，引導同學們發現數學中的美，一定程度上疏導了同學們的焦慮心情，培養同學們自主學習的能力和分析問題、解決問題的能力。在本章節的教學中，筆者采用雙螺旋式教學，數學知識的傳授和對綜合素質能力的培養雙線并行。在教學設計中，根據學生情況制定教學目標，確定“教什么”“怎么教”，在教學過程中使用“引、思、論、探、測、評”6個環節，具體設計流程如圖1。

圖1 教學設計流程

圖2 教學方法分析

（一）摸清學生情況，教學設計有理有據

在我院，《高等數學》課程僅針對大一學生開設，大一學生對本課程的學習具有一定的積極性，00后的大學生喜歡使用手機進行學習，已習慣登錄智慧職教平臺進行學習，為混合式教學提供了條件；復合函數求導位于導數的四則運算法則之后，在此之前，學生已掌握一般函數求導的方法，已具備對復合函數求導的基礎。但我院學生文理方向均有，學生的數學基礎參差不齊，對于數學概念、定理的理解能力不一樣，多數同學在學習上有畏難情緒，部分同學缺乏自主學習的積極性和獨立思考的能力。

（二）分析教學目標，明確本章節教學重難點，確定“教什么”

根據教材內容和學生情況，在復合函數導數章節的教學中，知識目標方面要使學生理解鏈式法則；技能目標方面要提高學生對數學概念、定理的理解能力，掌握復合函數的求導方法；素質目標方面要培養學生不畏艱難、勇于嘗試和探索的科學研究精神，進而提高學生的綜合素質。其教學重點為鏈式法則的使用，其難點內容為復合函數求導。

（三）設計教學方法，明確“如何教”

經日常教學觀察和數據收集發現，學生在進入復合函數導數學習時，有前后內容銜接不順利、畏難情緒過重、對數學定理理解不到位、課時緊張等問題，故筆者在此章節采用了問題驅動法、線上線下混合式教學、類比教學法等教學方法。

（四）緊抓“引、思、論、探、測、評”六環節實施教學（見表1）

表1 課程思政背景下復合函數求導的教學實施

1.引：教師從課后作業和平臺課前測驗的情況，總結導數四則運算掌握的情況；利用的導數，對比與得出本章節的授課內容；要求學生聚精會神聽課，跟隨授課教師的步伐，總結前次課內容，分析個人的不足之處。 在對作業和測驗的分析中，展示優秀樣本，并強調要逐步形成好的學習習慣。

3.論：教師請2-3人回答問題，點評，然后與學生一起討論上述問題，概括結論，引出復合函數求導法則；學生回答問題，在老師引導下討論上述問題。

4.探：教師講述曹聰稱象的故事，啟發學生得出曹聰稱象的方法，并將此方法遷移到復合函數求導中，以此得到復合函數求導的鏈式法則，引導學生歸納總結其四個步驟并講解例題。學生根據老師的講述主動進行知識遷移，理解復合函數求導的鏈式法則，掌握其求解步驟，記錄筆記；通過對曹聰象故事和鏈式法則的講解，將中國古人的智慧和數學的邏輯美、對稱美進行展示，增強大家的民族自豪感，激發大家的學習積極性。

5.測：教師給出課堂練習題，觀察學生練習情況，給予適當提示和糾正；學生完成課堂練習，進行匯報；通過課堂練習，讓學生體驗團隊合作提高團隊協作能力。

6.評：教師通過對練習情況的觀察和練習結果的考察，利用科學家的故事疏導同學們的畏難情緒，評價各個小組團隊合作的情況和復合函數求導鏈式法則的掌握情況，布置課后作業，簡要提出下次課的學習任務；學生聽取老師評價，做筆記，針對自身情況進行總結；通過科學家故事的講解，引導大家克服畏難情緒，嚴格按照四個步驟，逐步掌握復合函數求導方法。

（五）做好教學反思，總結經驗再出發

本章節是導數計算中的重難點內容，故設計用4學時來完成教學，另在線上平臺還上傳了課前預習視頻、課后復習視頻和課后測驗。經個別交流、平臺互動和個人反思可見，在本章節的教學中還存在課堂教學中講解過長、留給同學思考的時間不足、未充分利用平臺數據、與實際生活關聯性不高等問題，在后期的教學實施中，將在上述方面進行改進。

三、課程思政案例

在以往教學過程和個別交流中發現，在復合函數求導章節中，個別同學畏難情緒重，其難度也打擊了部分同學的學習積極性，使其在思想上形成了一定壓力，進而抗拒學習。所以，在本章節的課程思政建設中引入了科學家不畏艱難、百折不撓的故事，幫助同學們重拾信心再出發；還引入了曹聰稱象的故事，幫助學生理解復合函數求導方法。

（一）有100次跌倒就有101次的爬起的愛迪生

托馬斯·阿爾瓦·愛迪生，世界著名的發明家、物理學家、企業家，被譽為“世界發明大王”，擁有重要的發明超過2000項，他發明的留聲機、電影攝影機和電燈對世界有極大影響。其實，愛迪生發明創造的過程并不是一帆風順的，而是屢敗屢試、總結經驗再試驗的過程。他在研制電燈的過程中經歷了上萬次的失敗。1878年9月，愛迪生決定向電力照明這個堡壘發起進攻，他決心制造出價格便宜、經久耐用，而且安全方便，普通百姓也能用的電燈。他先后用炭絲、白金、鋇、鈦、錮等接近1600種材料進行了上萬次的試驗，但都未達到理想狀態，但愛迪生并未灰心，而是不斷總結經驗、不斷試驗，終于在1879年10月21日，找到了可以連續發熱發光45個小時的材料，這是人類第一盞有廣泛實用價值的電燈，燈絲用碳化棉絲制成。但愛迪生并不滿足于此，而是為延長燈泡壽命而繼續研究。最后，愛迪生找到了竹這種植物，把炭化后的竹絲裝進玻璃泡，通上電后，這種竹絲燈泡竟連續不斷地亮了1200個小時。到了1906年，愛迪生又改用鎢絲來做，使燈泡的質量又得到提高，被一直沿用到今天。

所以，在學習和工作中，困難不可怕、失敗也不可怕，失敗乃成功之母，我們要像愛迪生一樣，學會思考、善于總結，有100次跌倒，就有101次爬起，總結經驗再出發，成功就在不遠處。在復合函數求導的過程中也一樣，我們要不怕困難，勇于挑戰，重視積累，一步一個腳印，逐步解決復合函數求導中的重難點問題，最終掌握復合函數求導這個知識點。

（二）“化整為零”的稱象思想

曹沖生五六歲，智意所及，有若成人之智。時孫權曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。”太祖悅，即施行焉。曹聰稱象的方法，就是典型的化整為零思想和類比轉化思想。古時候，沒有能稱象的工具，曹聰就用類比轉化思想，先記錄象站在船上水平面達到的高度，然后在船中放入石頭。當水平面上升到相同的高度時，船內石頭的重量和象的重量就是一樣的；然后，又用化整為零的思想，一部分一部分地稱石頭的重量，最后，將所有重量加起來，就是象的重量。實際上，復合函數的導數也是如此，整個復合函數導數很難求解，那么，我們便化整為零，將復合函數分割成幾部分，然后一部分一部分求導，最后再合起來。

在本章節引入曹沖稱象的故事，一是向大家介紹中國古人的智慧，增強大家的民族自豪感，激發學生的學習積極性；二是以實際例子說明數學來源于實際生活，服務于實際生活，建立“數學有用論”，增強學生學習主觀能動性；三是用類比轉化法得出復合函數求導的方法“化整為零”—鏈式法則，并以鏈式法則體現數學蘊藏的對稱美、邏輯美，幫助大家克服畏難情緒，舒緩緊張心情。

四、教學成效

通過課堂教學的觀察、課堂練習、課后作業、測驗和個別交流的反饋，在復合函數求導環節引入思政元素，達到了以下教學效果：

一是有效激發學生學習興趣，降低畏難情緒，提升學習主觀能動性，樹立自信心。授課教師在課堂上講解愛迪生發明之路的故事后，讓同學們明白了“世上無難事，只要肯攀登”，失敗是成功的墊腳石，失敗也是一種寶貴的經歷，同學們在學習上的畏難情緒明顯降低。授課教師在課堂講解曹聰稱象的故事，讓同學們體會到了數學思維的重要性，激發了學習數學的興趣，學習的主觀能動性得以提升。

二是有效拉近師生距離，高等數學不再“高冷”。授課教師在課堂上進行思想政治教育后，同學們體會到了老師的人文關心和關懷，拉近了師生之間的距離；通過對曹沖稱象故事的分析，讓同學們體會到高等數學思想與實際生活的聯系，使高等數學不再“高冷”。

三是有效提高教學質量。通過課堂練習、課后作業和測驗發現，引入了思政元素的復合函數求導后，同學們更易理解和掌握復合函數求導方法，高等數學其它知識點亦是如此。據統計，2018—2019學年上學期本教學團隊授課班級的及格率為84.14%，分數在90及以上的達5.08%；2019—2020學年上學期本教學團隊授課班級的及格率為87.67%，分數在90及以上的達6.27%；2020—2021學年上學期本教學團隊授課班級的及格率為89.84%，分數在90及以上的達9.6%，可見同一時期的及格率穩步上升，教學質量明顯提升。

經廣大學者研究和本教學團隊的教學實踐證明，在高等數學課程中融入思政元素是一種行之有效的方法，在復合函數求導環節引入思政元素，可以有效激發學生的學習興趣、有效對抗畏難情緒、有效拉近師生距離、有效樹立學生信心、有效提高教學質量，達到高等數學的育人功效。